一次數學探究之旅
——記一道幾何證題的推廣

上海市華東政法大學附屬中學(200052) 許 超

例在ΔABC中,AB=AC,O為ΔABC內一點,∠A=80°,∠OBC=10°,∠OCB=20°,求∠CAO的度數.

分析很容易發現∠ACO= 30°,因此我們從這個角出發,將ΔBCO繞點C旋轉60°,于是就構造出了一個等邊ΔOCO′.

證明:將ΔBCO繞點C順時針旋轉60°,連結OO′,BO′,易知ΔOCO′為等邊三角形,則OC=OO′.在ΔBOC中,∠BOC= 180° -10° -20°= 150°,而∠BOO′= 360° -60° -150°= 150°= ∠BOC,易得ΔBOC∽= ΔBOO′,可知∠CBO′= 20°,∠BO′O=∠BCO= 20°,則∠AOO′= ∠ACB= 50°,則點A、B、C、O′四點共圓,則∠CAO′= ∠CBO′= 20°,易得ΔCAO′∽= ΔCAO,則有∠CAO=∠CAO′=20°.

回顧與反思:解完之后細細品味,如果點O的位置發生變化,如果點O不在ΔABC內,又會發生怎樣的變化呢?

推廣1在等邊ΔABC中,∠OBC= 10°,∠OCB=20°,求∠CAO.

分析此時點O處于ΔABC內,觀察這個圖形,我們不妨將ΔBCO繞點C順時針旋轉60°,于是就構造出一個等邊三角形.

證明將ΔBCO繞點C順時針旋轉60°,連接OO′,∠ACO′= 60° -40°= 20°= ∠BCO,則ΔBCO∽= ΔACO′,則∠O′AC= ∠OBC= 10°,在ΔAO′C中,∠AO′C= 180° -10° -20°= 150°,而∠AO′O= 360° -60° -150°= 150°= ∠AO′C,易得ΔAO′C∽= ΔAO′O,則∠OAO′= ∠CAO′= 10°,則∠OAC=10°+10°=20°.

回顧與反思:當我們推廣了點的位置以后,很容易就能想到若是外面的圖形不是一個三角形呢,會發生怎樣的變化呢?

推廣2在正方形ABCD中,∠OBC= 15°,∠OCB=15°,求∠CDO.

分析:將ΔAOB繞BO中點順時針旋轉180°,ΔDOC也是如此,于是構造出了一個等邊ΔBCO′.

證明作以上變換,易得四邊形ABO′O與四邊形DCO′O為平行四邊形,則AO=BO′,DO=CO′,又BO′=CO′=BC,則AO=DO=AD,則ΔAOD是一個等邊三角形,則∠CDO=90°-60°=30°

回顧與反思:當我們把等邊三角形推廣到正方形后,很自然地就能聯想到是否還能繼續推廣到正五邊形呢?

推廣3在正五邊形ABCDE中,∠OBC=6°,∠OBC=24°,求∠CDO.

分析:此題中∠OBC與∠OCB的度數均不太常見,但是如果我們注意到正五邊形單個角的度數和∠OCB的度數就不難發現其中的奧秘.

證明:以OC為邊構造等邊三角形OCO′,連接DO′,∠O′CD= 108° -60° -24°= 24°,而∠OCB= 24°,則∠OCB= ∠O′CD,于是易證ΔOCB∽=O′CD,則∠O′DC= ∠OBC= 6°.在ΔO′DC中,∠DO′C= 180°-24°-6°= 150°,而∠DO′O= 360°-60°-150°= 150°,于是∠DO′O= ∠DO′C,于是ΔDO′O∽= ΔDO′C,則∠CDO=12°.

回顧與反思:當我們推廣到正五邊形之后,很容易的又能產生聯想,那我能否把他推廣到n邊形呢?

推廣4在正n(3＜n ＜6,n ∈N)邊形A1A2···An中,∠OA3A2=求∠OA4A3.

分析:此題難度較大,但是細細分析其角度便不難發現“構造等邊三角形”的方法,便很容易解決.

證明以OA3為邊構造等邊三角形OA3O′,連接O′A4,∠A4A3O′=又∠OA3A2=則∠A4A3O′= ∠OA3A2,易證,ΔOA3A2∽= ΔO′A3A4,則∠A3A4O′= ∠A3A2O=在ΔA4A3O′中,∠A3O′A4=π -而∠OO′A4= 2π-也就是∠OO′A4= ∠A3O′A4,易得ΔOO′A4∽= ΔA3O′A4,則∠OA4A3=2∠OA2A3=

回顧與反思:推廣到n邊形后,由于∠OA2A3的限制,所以我們只能討論3＜n ＜6 的一般情況,但是我們卻得到了一個十分漂亮而又美麗的結論.此時若我們回過頭來再來看這個題目,ΔABC中OA、OB、OC三條邊長是否具有一定的數量關系,如果知道了這三條邊的長度,我們又能推得什么呢?

推廣5在正ΔABC中,點O為ΔABC內任意一點,OA=a,OB=b,OC=c,求正ΔABC的邊長.

分析:通過旋轉將這幾條邊轉化到一個圖形中,之后采用“面積法”輔助.

證明將ΔACO繞點C旋轉60°,連接OO′.易證,ΔAOC∽= ΔBO′C,則BO′=AO=a,根據海倫公式,有此時

同理,

回顧與反思:當證明到這個結論之后,下一個很自然的猜想就是這個結論能否推廣到正方形中?

推廣6在正方形ABCD中,點O為正方形ABCD內任意一點,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,求正方形ABCD的邊長.

分析基本方法不變,我們依舊嘗試把這幾條邊轉化到一起.

證明:將ΔABO逆時針旋轉90°,使 點B至點D,點O至 點O′.ΔABO∽= ΔADO′,OB=O′D=b,O′A=OA=a,OO′=則其中P1=令SΔO′OD=S1,則

同理,

其中S3=

其中S4=P4=

回顧與反思:當我們在正方形中依然推得這個結論后,就自然而然地想到能否在正n邊形中依然能夠推得這個結論?a2,··· ,OAn=an,求正n邊形A1A2···An的邊長.

分析基本方法依舊不變,還是把這幾條邊轉化到三角形中.

證明將ΔOA1A2順時針旋轉

推廣7在正n邊形A1A2···An中,OA1=a1,OA2=使點O至點O′,點A1至點A3.易知,ΔOA1A2∽= ΔO′A2A3,O′A2=OA2=a2,O′A3=OA1=a1,在等腰ΔO′A2O中,∠A2O′O=,A2H1=a2sin ∠A2O′O=O′O=2O′H1=

其中P1=則

一般地,Ak+1Hk=則

其中Pk=進行累加,

此時再從另一個角度計算正n邊形的面積,作出正n邊形的中心點O′′,連接O′′A1,O′′A2,··· ,O′′An,設正n邊形邊長為x,則SA1A2···An=nSΔO′′A1A2=

在此次數學之旅中,我們通過不斷變換點的位置與圖形的形狀,不斷的發現一個又一個美妙的結論.通過此次探究,希望能給幾何的學習提供一個方向,并且能夠從中獲得別樣