發輸電系統魯棒優化規劃研究綜述與展望

袁 楊，張 衡，程浩忠，柳 璐，張嘯虎，勵 剛，張建平

（1. 上海交通大學電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，上海 200240；2. 國家電網有限公司華東分部，上海 200120）

0 引言

發輸電系統優化規劃涵蓋了電源規劃、輸電網規劃、機組組合、備用優化及無功優化等研究內容，是電力系統規劃與運行的重要組成部分。發輸電系統優化規劃系列問題在數學本質上均可歸納為形式相似的最優化問題。本文所述的發輸電系統優化規劃問題集中在學術研究較為豐富的輸電網規劃、電源規劃與機組組合3類問題，圍繞魯棒優化在此3類問題的應用進行綜述與展望。

近年來，電力系統源、網、荷各環節的不確定性與日俱增。在電源側，可再生能源出力具有隨機性、間歇性、波動性，難以精準預測；電源的投建、退役以及投資運行成本受經濟政策影響，不完全與預期相符。在輸電網側，自然災害、極端天氣或者人為破壞造成了輸電線路故障的不確定性；此外輸電線路的最大傳輸容量與所處環境緊密相關，也具有不確定性。在負荷側，社會經濟發展水平與電力市場運行調節手段都會造成用電負荷偏離預期值。在此背景下，研究含不確定性的發輸電系統優化規劃問題具有重要的學術價值和現實意義。

從數學本質上看，含不確定性的發輸電系統優化規劃可以分為隨機優化、多場景優化、模糊優化以及魯棒優化。魯棒優化的求解結果能夠適應最惡劣場景，魯棒優化規劃已發展為解決含不確定因素發輸電系統優化規劃問題的重要方法。文獻［1-2］綜述了魯棒優化在發電調度、輸電網規劃中的應用，文獻［3］綜述了分布魯棒優化在電力調度中的應用，文獻［4］從概率密度、矩信息及基于這兩大類的分布魯棒機會約束方法角度，提煉了分布魯棒優化在電力系統應用的共性。雖然現有綜述對魯棒優化在電力系統的規劃或運行問題的應用進行了深入梳理，但是存在以下2 點局限：①聚焦魯棒優化在規劃／運行、發電／輸電環節的應用，難以全面歸納魯棒優化在發輸電系統優化規劃的應用方式；②分布魯棒優化是魯棒優化的重要分支，近年來在發輸電系統優化規劃的應用已愈發廣泛深入，相關綜述側重分布魯棒優化在調度中的應用，對在輸電系統規劃中的應用涉及相對較少，并且分布魯棒優化在源、網、荷各環節應用情況的差異性有待總結。

因此，本文將發輸電系統魯棒優化規劃研究分為考慮節點注入功率不確定性、電源容量增長及成本不確定性、輸電網絡狀態不確定性3 類，比較分析了每一類中經典魯棒和分布魯棒優化的應用發展脈絡和值得深入研究的關鍵問題，以幫助研究人員詳實地了解相關研究進展，厘清現有研究思路，提供后續研究方向。

1 魯棒優化問題的數學模型

魯棒優化的數學模型有多種分類角度。按照是否計及不確定因素概率分布特征，可分為經典魯棒優化和分布魯棒優化。限于篇幅，本文主要綜述單階段經典魯棒優化、兩階段經典魯棒優化、單階段分布魯棒優化和兩階段分布魯棒優化數學模型，其余數學模型可參考文獻［5］。

1.1 單階段經典魯棒優化

單階段經典魯棒優化適用于在不確定參數的實現前進行決策的問題，其優點在于形式相對簡單，較易求解，缺點在于決策過于保守［6］，表達式見式（1）。

式中：x為決策變量；X為決策變量可行域；u為不確定參數；U為不確定參數所屬的不確定集合；f為單階段經典魯棒優化的目標函數；hj為單階段經典魯棒優化的約束條件；m、j分別為約束條件總數和序號；max、min分別為取最大值、最小值函數。

1.2 兩階段經典魯棒優化

兩階段經典魯棒優化適用于在不確定參數實現前、后2 個階段分別確定部分決策變量的問題。與單階段經典魯棒優化模型相比，兩階段經典魯棒優化的優點在于決策者可以在獲取不確定參數的取值后調整第2 階段決策，在保證魯棒性的前提下降低了保守性，但也增加了求解復雜性［6］，其典型形式見式（2）。

式中：y為第2 階段決策變量；Y為第2 階段決策變量可行域；f1、f2分別為第1、2 階段經典魯棒優化目標函數；gj為兩階段經典魯棒優化的約束條件。

1.3 單階段分布魯棒優化

經典魯棒優化是不確定因素在一定范圍內變化的條件下求解最優目標函數值，而分布魯棒優化將經典魯棒優化和隨機優化相結合，是不確定因素的概率分布在一定范圍內變化的條件下求解最優目標函數期望。單階段分布魯棒優化適用于在未知不確定參數的概率分布實現前進行決策的問題［7］，與單階段經典魯棒優化相比，優勢在于有效減弱了保守性，但魯棒對等變換更復雜，一般而言計算負擔更重，其表達式見式（3）。式中：P為不確定參數u的概率分布；ρ為概率分布簇；EP(f(x，u))為目標函數期望；sup 和inf 分別為取上確界函數和取下確界函數。

1.4 兩階段分布魯棒優化

兩階段分布魯棒優化模型適用于在不確定參數概率分布實現前、后2 個階段分別確定部分決策變量的問題［7］。與兩階段經典魯棒優化相比，兩階段分布魯棒優化能顯著降低決策保守性，但通常需要進行更復雜的魯棒對等變換，導致更沉重的計算負擔，其數學形式見式（4）。

1.5 魯棒優化模型求解方法

在發輸電系統優化規劃中主要采用兩階段經典／分布魯棒優化模型。這類模型通常是min-maxmin 3 層結構，求解思路為通過某些方式將中下層max-min 問題合并為max 子問題SP（SubProblem），與min 主問題進行主-子問題迭代求解。求解方法一般分為線性決策規則LDR（Linear Decision Rule）、Benders分解、列與約束生成C&CG（Column and Constraints Generation）三大類。LDR 構造兩階段決策變量與不確定變量的仿射關系式，將中下層問題合并為SP，適用于決策變量與不確定因素存在較強線性關系的問題，收斂速度快，但是對仿射關系的假設降低了解的最優性［8］；Benders 分解基于對偶理論將中下層問題合并為SP，使用SP生成約束（對偶割）添加到主問題［9］，其實質是約束生成算法，適用于變量較少而約束較多的問題，所得解的最優性優于LDR，但是通常迭代次數較多，求解速度相對較慢；C&CG基于KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件將中下層問題合并為SP，使用SP 生成約束（原始割）和變量（即列）添加到主問題，適用于變量較多而約束較少的問題，能以更少的迭代次數收斂到最優解［10］。此外，文獻［11］綜合應用Benders 分解與C&CG，在求解主問題的同時生成對偶割、原始割和變量，加速算法收斂；在某些發輸電系統優化規劃問題中，下層min問題含有0／1 決策變量，直接與中層max 問題合并無法保證解的最優性，為此，文獻［12］提出了嵌套列與約束生成NC&CG（Nested Colunm and Constraints Gneration），對中下層max-min 問題使用C&CG，生成列與約束加入上層min 問題，較好地保證了解的最優性，但是也顯著增加了迭代次數，求解速度較慢。

2 不確定集合構建方法

魯棒優化問題通過不確定集合的方式對不確定參數建模，本文分別綜述經典魯棒優化和分布魯棒優化的典型不確定集合類型及特點。

2.1 經典魯棒優化的不確定集合

2.1.1 多面體不確定集合

由不確定參數波動區間構成的不確定集合稱為多面體不確定集合（即盒式不確定集）［13］，如式（5）所示。

式中：uˉ、-u分別為不確定參數u的上、下界。多面體不確定集合形式簡潔，便于魯棒優化問題的對等變換，但對不確定性參數的刻畫較粗糙，造成優化結果過于保守。

2.1.2 基數約束不確定集合

基數約束不確定集合在多面體不確定集合基礎上對每個不確定參數偏差量進行約束，以更細致地刻畫不確定參數的波動情況［13］?；鶖导s束不確定集合在輸電系統魯棒優化中應用廣泛、形式多樣，其典型形式見式（6）。

式中：ui為第i個不確定參數；uˉi、-ui分別為ui的上、下界；u?i為第i個不確定參數平均值；Ω為所有不確定參數的集合；Γ為不確定集合的預算，用于約束不確定參數總偏差量。

2.1.3 橢球不確定集合

橢球不確定集合彌補了多面體／基數約束不確定集合無法刻畫不確定變量相關性的缺陷，但是其魯棒對等變換為二階錐問題，應用于大規模問題的求解時計算量大［13］，在發輸電系統優化規劃中應用較少，其典型形式見式（7）。

式中：u為不確定參數u組成的不確定向量；μ0和∑0分別為u的期望向量和協方差矩陣；γ為以μ0為中心的橢球不確定集合半徑。

2.1.4 基于概率信息構建邊界的不確定集合

文獻［14］提出了基于概率信息構建邊界的不確定集合。此類不確定集合基于概率信息合理地縮小多面體不確定集合范圍，更加靈活，保守性更低，并且沒有顯著增加魯棒對等變換復雜性，較易求解，其典型形式見式（8）［14］。

2.2 分布魯棒優化的不確定集合

2.2.1 基于不確定參數矩信息的不確定集合

不確定參數的歷史數據中包含豐富的矩信息（如一階矩期望、二階中心矩方差、三階中心矩偏度等）?；诰匦畔⒌牟淮_定集合假定不確定參數的概率分布屬于具有相同矩信息的一簇概率分布，可以分為矩信息確定的不確定集合和矩信息不確定的不確定集合。

1）矩信息確定的不確定集合。

式中：Ξ為不確定參數u的支撐集合；S為不確定參數u的樣本集合，S通常取為不確定參數u的多面體不確定集合；EP為期望向量；P∈ρ(Ξ)表示不確定參數u的概率分布函數P屬于支撐集合Ξ上的概率分布簇；γ2為∑0的半定錐不確定集范圍參數；-?表示半定約束符號。由于具有相同矩信息的概率分布范圍較大且相互之間存在較大差異，基于矩信息的不確定集合仍然會導致較保守的優化結果［15］。

2）矩信息不確定的不確定集合。

式中：μ和σ2分別為u的期望和方差；μˉ、-μ和-σ2、-σ2分別為期望和方差的上、下界。與矩信息確定的不確定集合相比，矩信息不確定更加適用于發輸電系統優化規劃中歷史數據有限以及矩信息較不準確的場景，但也擴大了不確定集合的范圍，導致結果更加保守［15］。

2.2.2 基于概率分布距離的不確定集合

基于概率分布距離的不確定集合假定不確定參數的真實概率分布屬于某種參照概率分布（通常采用經驗分布）附近范圍內，其形式取決于選取的距離測度函數。典型的距離測度函數包括范數距離、KL（Kullback-Leibler）散度和Wasserstein距離。

1）基于范數距離的不確定集合。

基于范數距離的數學表示形式見式（11）。

式中：P1、PC分別為不確定參數u1和參照隨機變量u?C的概率分布；dl為P1、PC的范數距離；εd為dl的上限；l=1、2、∞分別對應于1-范數、2-范數以及無窮范數，其中1-范數和無窮范數因其線性性質便于魯棒對等變換，在電力系統分布魯棒優化中應用較多。但是1-范數和無窮范數衡量的是距離的絕對值，且會損失較多概率特征信息，造成距離測度的偏差［16］。

2）基于KL散度的不確定集合。

KL 散度起源于信息論，又稱相對熵，形式見式（12）。

3）基于Wasserstein距離的不確定集合。

式中：∏(du1，du2)為不確定參數u1、u2的聯合概率分布；Ξ2為所有可能的u1、u2聯合概率分布構成的集合，在Ξ2中尋找某個聯合分布使u1與u?C距離的期望最小，則此期望的下確界即為P1、PC的Wasserstein距離dW（P1，PC）。式（13）構建了以參照分布PC為中心、εW為半徑的Wasserstein 球形不確定集合。相較于KL 散度，即便2 個分布的支撐集沒有重疊，Wasserstein 距離仍然能刻畫分布間的距離，且當歷史數據足夠多時，一定能夠保證算法的收斂性［17］。但是基于Wasserstein球形不確定集合的魯棒優化計算復雜性較高，通常需要開發估計算法才能夠高效求解。

3 魯棒優化在發輸電系統優化規劃的應用

3.1 考慮節點注入功率不確定性

對節點注入功率不確定性的研究主要集中在風電和負荷?，F有文獻從多種角度考慮了風電、負荷的不確定性，這些模型從考慮不確定變量的概率分布特征上可分為基于經典魯棒優化和基于分布魯棒優化的模型。

3.1.1 基于經典魯棒優化的模型

文獻［18-19］率先在機組組合與輸電網規劃問題中引入多面體集合表示風電和負荷的不確定性，為后續研究奠定了基礎。為減少魯棒優化的保守性，文獻［20-21］采用加權的方式將魯棒優化和隨機優化相結合，建立了隨機魯棒機組組合模型。文獻［22］提出了風電出力區間不確定性的區間魯棒不確定集合。文獻［11］以棄風與切負荷風險最小為魯棒優化目標函數，較好地協調了經濟性與安全性。為提高兩階段魯棒優化的求解效率，文獻［23］只搜索w座風電場出力范圍構成的多面體頂點（文中定義為風電極限場景）。文獻［8］利用線性決策規則，假定發電出力是風電和負荷的仿射函數，避免了通過割平面算法引入大量額外約束。文獻［24］建立了輸儲聯合魯棒規劃模型，由于儲能投建在第2 階段決策，提出了NC&CG 算法加以求解。文獻［25］建立了多階段魯棒機組組合模型，并基于Benders分解思想設計了相應算法進行求解。

在考慮不確定節點注入功率相關性方面，現有研究思路有3 種：①將考慮相關性的場景與魯棒優化相結合；②基于統計參數構建刻畫相關性的不確定集合；③由數據驅動，構建含相關性的不確定集合。針對思路①，文獻［26］利用Taguchi正交數組測試抽取典型風電相關出力場景。文獻［27］提出啟發式矩匹配方法抽取風電相關場景并與文獻［28］的方法進行了對比。文獻［29］提出了考慮多場景概率的多面體不確定集合提取風電相關場景。文獻［30-31］則分四季聚類構建風電負荷相關場景。針對思路②，文獻［32］提出了多帶寬多面體集合，刻畫負荷波動范圍的時空相關性。文獻［33］基于時序自相關系數構建多面體不確定集以反映風電時間相關性。文獻［34］考慮了單時段各風電場的總波動不確定性和各時段單風電場波動不確定性，共同構成了刻畫風電場時空相關性的不確定集合。文獻［35］構建了含風電負荷協方差矩陣信息的橢球不確定集合以考慮風電負荷的時空相關性。思路③通?；跀祿诰蚧蚪y計分析方法構建更符合實際的不確定集合。由于不確定變量的相關性體現在歷史數據中，而這類不確定集合的邊界正是由歷史數據驅動生成，所以這類不確定集合大量削減了傳統不確定集合中實際不存在的場景，有效降低了保守性。文獻［36］利用狄利克雷過程混合模型DPMM（Dirichlet Process Mixture Model）構建了數據驅動的風電出力多面體不確定集合，并與傳統多面體不確定集合進行了對比，保守性顯著降低。文獻［37］運用高維閉包橢球算法，構建了基于風電出力歷史數據的高維橢球不確定集合。文獻［38］基于歷史數據構造一系列超平面，組合成基于超平面的不確定集合HPUS（HyperPlane based Uncertainty Set），結合了盒式不確定集合易于求解和凸包不確定集合保守性較弱的優點，在減輕計算負擔和減弱保守性間達到了較好的平衡。上述文獻已從風電和負荷的時間、空間、時空相關性3個角度展開研究，建模思路主要基于聚類、統計參數（如時間序列自相關系數、協方差矩陣）和數據驅動3 類，后續可將3 類思路結合，基于典型聚類場景下的相關性挖掘方法構建不確定集合，更細致刻畫節點注入功率的時空相關性。

總體而言，考慮節點注入功率不確定性的發輸電系統經典魯棒優化規劃大多為兩階段優化模型，其具有較高的求解效率且不存在收斂性問題。為了減弱模型保守性，可以松弛目標函數（例如以風險最小為目標），或者構建更合理的不確定集合（例如考慮相關性的不確定集合，注入功率變化范圍可變的不確定集合）。但是，由于此類模型未充分考慮最惡劣節點注入功率場景發生的概率，也未充分挖掘節點注入功率的歷史信息，模型保守性存在較大的減少空間。

3.1.2 基于分布魯棒優化的模型

按節點注入功率的矩信息是否有不確定性，可以分為2 類：①從歷史數據得出確定的矩信息，構建以式（9）為代表的不確定集合；②構建刻畫矩信息自身不確定性的不確定集合。對于類型①，文獻［39-42］構建了風電出力期望和協方差橢球不確定集合，轉化為半定規劃求解。文獻［43］在文獻［39-42］的不確定集合基礎上，增加了風電出力α-雙峰性不確定集合，仍然轉化為半定規劃求解。對于類型②，文獻［44-45］考慮了風電期望波動范圍的不確定性。文獻［46］考慮了風電期望和方差預測誤差的不確定性。文獻［47］構建了考慮風電期望、方差以及協方差約束的不確定集合。文獻［48］不僅約束了期望方差范圍，還約束了凈負荷在各時間段內總波動方差的范圍，以反映風電負荷的時間相關性。從數學本質上看，基于矩信息的不確定集合是經典魯棒優化不確定集合的松弛，一定程度上減弱了經典魯棒優化的保守性，但是仍然面臨2 個方面問題：①方差、協方差信息的引入導致分布魯棒模型呈現非線性，需要經過復雜的數學變換，將其轉化為半定規劃進行求解，在大規模系統中計算負擔沉重；②擁有相同矩信息的概率分布范圍十分廣泛，從不確定參數的歷史數據中挖掘更多的概率信息可以進一步降低模型保守程度。

在基于節點注入功率的概率分布距離信息的分布魯棒模型方面，文獻［49-52］均運用無窮范數與1-范數衡量風電出力實際概率分布與經驗概率分布的距離，由于上述2 種范數具有線性性質，可轉化為混合整數線性規劃求解。文獻［53］基于KL 散度構建了混合整數非線性機組組合模型，用廣義Benders分解求解。文獻［54-56］應用Wasserstein 距離刻畫風電出力實際與經驗概率分布的距離。在求解方面，現有文獻均基于以下引理［47］：對屬于支撐集合Ξ的變量u，以樣本集{u?1，u?2，…，u?Z}構建Wasserstein距離，如果損失函數Φ(u)上半連續，則最差的損失函數期望見式（14）。

式中：λ為拉格朗日對偶乘子；εr為銳化因子；τf為輔助變量。約束條件中的范數可取1-范數、2-范數或無窮范數，由研究人員按需設定。由于該引理引入的約束條件數量與樣本數量成正比，計算量較大，文獻［54-56］利用發輸電系統優化規劃問題的凸性，提出了不同的上估計方法對式（14）進行近似求解。文獻［55-59］構建了同時含風電出力矩信息和概率分布距離信息的不確定集合，進一步協調了模型的安全性與經濟性。與基于矩信息相比，基于距離信息的不確定集合需在高置信度下成立，將實際概率分布約束在以參照概率分布為中心的小范圍內，更充分地利用節點注入功率的歷史信息減弱了模型保守性，但求解復雜性相對較高，而且部分模型無法保證收斂。后續可研究更合理的距離信息不確定集線性化方法，同時嵌入具有線性性質的矩信息不確定集，構建含有豐富概率信息的混合整數線性發輸電系統魯棒優化規劃模型，更好地平衡了不確定集的保守性和算法的復雜性。

3.2 考慮電源容量增長及成本不確定性

電源的容量、位置、建設周期、退役時間以及投資運行成本等是電源不確定性的主要來源?，F有文獻從不同角度研究了電源不確定性對發輸電系統魯棒優化規劃的影響。

3.2.1 兩階段經典魯棒優化

文獻［60-62］基于基數不確定集合建立了考慮電源容量增長不確定性的兩階段魯棒優化規劃模型，其中文獻［60］考慮了電源投資成本和發電成本不確定性，文獻［61-62］考慮電源容量增長不確定性。文獻［47］對比分析了以最小悔值和以最小成本為目標的輸電網魯棒規劃。這些模型形式較簡潔，求解相對簡便，為結合隨機與魯棒的模型和多階段魯棒模型奠定了基礎。文獻［63-64］將電源投建退役視為長期不確定性，用基數不確定集合刻畫，將可再生能源的出力和負荷波動視為短期不確定性，用隨機場景方式刻畫，建立了隨機與魯棒相結合的優化模型。其中文獻［63］以電源容量為長期不確定性，在不同負荷場景中設置不同的發電出力分配因子。文獻［64］以發電成本為長期不確定性，利用K-means聚類形成多個發電與負荷相關場景，建立了發輸電系統隨機魯棒規劃模型。

3.2.2 多階段經典魯棒優化

文獻［65］利用多階段魯棒不確定集合刻畫了電源逐年建設、退役的不確定性，并與逐年規劃的結果進行了對比，逐年電源建設不確定性集合如式（15）所示。

總體而言，考慮電源容量增長以及成本不確定性的發輸電系統魯棒優化規劃均基于經典魯棒優化模型，并且已經發展到了多階段，更加符合電源逐年投建、退役的現實場景，但是解空間也顯著擴大?，F有研究仍然基于C&CG 算法進行求解，在模型擴展為大規模、多時段問題時計算負擔沉重。如何生成割約束，如何利用模型結構特性巧妙剪枝，使模型適用于實際大規模發輸電系統，是值得深入研究的問題。

3.3 考慮輸電網絡狀態不確定性

輸電網絡狀態不確定性的主要來源是元件老化故障、偶發自然災害（雷擊、山火、雪災、臺風等）以及人為惡意攻擊。在發輸電系統優化規劃問題中，為了刻畫輸電線路N-k故障，通常需要引入CkN種故障場景，計算量巨大。而發輸電系統魯棒優化規劃方法為考慮輸電網絡狀態不確定性提供了不同思路。

3.3.1 基于經典魯棒優化

文獻［67］率先用兩階段魯棒優化解決N-k故障約束的機組組合問題，其構建的元件N-k故障不確定集合見式（16）。

式中：L、G分別為所有線路、所有發電機集合；nl、ng分別為線路、發電機總數；k為預設的故障元件數量上限。模型迭代尋找最嚴重的N-k故障并優化相應的開機組合，直至最嚴重的N-k故障都無法造成功率不平衡為止。文獻［68-69］將此類型N-k故障集合應用到了輸電網魯棒規劃問題。文獻［70］將此類型N-k故障集合拓展為了多階段形式，以刻畫臺風在不同時間段對輸電線路的破壞情況?；隰敯魞灮紤]輸電網絡狀態不確定性的實質是枚舉了部分故障場景（即只尋找最嚴重的故障情形）并進行相應的優化規劃，顯著減輕了N-k故障約束的計算負擔，使得發輸電系統優化規劃模型中更細致地考慮N-k故障成為可能。

3.3.2 基于分布魯棒優化

文獻［71］提出了考慮故障概率矩信息的分布魯棒機組組合模型，其中N-k故障的分布魯棒不確定集合見式（17）。

式中：D為N-k故障的概率分布組成的模糊集合；W為線路狀態變量u的集合，需要滿足線路N-k約束；Μ+(W)為由W中線路狀態變量ul的概率分布組成的集合，即線路狀態變量ul的支撐集合；μ為線路故障的統計期望值（一階矩）向量；S為預先定義的系數矩陣；EP(Su)≤μ刻畫了特定故障情形的期望應在線路故障的統計期望值范圍內。在此故障集合下的機組組合問題就是尋找最惡劣的線路N-k故障概率分布，并最小化相應的機組啟停和運行成本期望。文獻［72］提出了考慮故障概率分布距離的分布魯棒輸電網強化模型，其N-k線路故障分布魯棒不確定集合見式（18）。

4 展望

4.1 同時考慮概率分布與時空相關性

優化結果偏向保守是魯棒優化的固有局限，模型變換復雜和計算負擔沉重則是分布魯棒優化的主要問題。對發輸電系統魯棒優化規劃而言，保守性主要來源于2 個方面：①僅利用了歷史數據所反映的不確定參數波動范圍而未考慮概率信息；②忽略了不確定因素時空相關性，導致不確定集合包含大量現實中不存在的場景。雖然不乏文獻分別從考慮時空相關性、考慮概率分布信息角度減弱魯棒優化的保守性，但是這些模型通常魯棒對等變換較為復雜，在大規模系統中應用困難。例如：矩不確定集合可以通過協方差刻畫相關性，但也導致魯棒對等變換是二階錐規劃／半定規劃［5］；基于Wasserstein 距離的分布魯棒優化，其對等變換問題規模太大，必須使用估計算法近似計算［17］。由于分別考慮相關性和概率信息已使模型較為復雜，鮮有文獻同時考慮概率信息與相關性。

因此，有必要用簡潔易解的方式同時考慮不確定參數的相關性與概率信息，有效協調發輸電系統優化規劃模型保守性、準確性和求解效率，從數學角度出發，這要求魯棒模型與對等變換盡量保持混合整數線性性質，并且需要避免使用假設或者估計算法。從可行性出發，綜合應用聚類分析和線性統計參數（如一階矩）構建節點注入功率不確定集合，即可在混合整數線性規劃前提下，計及多種運行方式下節點注入功率的時空相關性和概率信息，如式（19）、（20）所示。

式中：ps為第s種場景的概率，總共聚類得到Ns種場景；us為第s種場景下的不確定變量；u0s為第s種場景下不確定變量的均值；γ1s、γ2s分別為每種場景下，不確定變量與平均值的偏差控制參數。所提模型將不確定場景聚類，再構建各典型場景的均值偏差期望不確定集合，即可在混合整數線性規劃前提下，計及多種場景下的不確定變量相關性和概率信息，以此協調保守性、準確性和求解效率。

4.2 深入考慮安全穩定約束

現有發輸電系統魯棒優化規劃通過多種方式考慮了元件N-k約束，所得優化方案可以保障系統靜態安全，但可能無法滿足其他安全穩定要求。后校驗方法能夠判斷優化方案是否達到安全穩定標準，但存在2 點問題：①即便經過反復迭代，所得方案仍可能無法通過安全穩定校驗；②即便優化方案通過了安全穩定校驗，也可能不是滿足相應安全穩定約束的最優方案。因此，如何在發輸電系統魯棒優化規劃中深入考慮更多安全穩定約束，值得深入研究。對于可行性，暫態功角穩定、頻率穩定、短路電流等安全穩定要求均可以與魯棒優化模型結合。例如：通過暫態穩定SP 生成線性的暫態穩定割反饋給魯棒優化主問題進行主-子問題迭代，即可在不顯著增加模型復雜性的前提下，將暫態穩定約束嵌入發輸電系統魯棒優化規劃模型。具體而言，魯棒優化主問題生成暫態穩定SP 的邊界條件（例如初步規劃／調度方案），暫態穩定SP 的計算過程如下：通過時域仿真尋找故障失步機群，基于擴展等面積準則繪制失步機群等效加速曲線，再應用軌跡靈敏度分析，構建發電出力調整量與穩定裕度的線性關系表達式［72］，作為約束加入主問題，并擴展魯棒優化SP 的對偶目標函數和約束，進行主-子問題迭代求解?？紤]暫態穩定約束的發輸電系統魯棒優化規劃模型見式（21）。

式中：ε為暫態穩定裕度目標值，根據工程需求設定；η為暫態穩定裕度。

4.3 基于魯棒優化的彈性發輸電系統優化規劃

近年來，電力系統遭受自然災害或人為攻擊的頻率明顯上升，彈性電網成為研究熱點?！皬椥浴币箅娏ο到y遭受小概率、高損失極端事件（通常分為自然災害與人為攻擊2 類）時具有恢復力［74］，而魯棒優化的目標是尋找不確定因素極端實現場景下的最佳決策，正適合應用于彈性電網優化規劃問題?；隰敯魞灮膹椥园l輸電系統優化規劃一般為“防御-攻擊-防御”兩階段模型，第1 階段在極端事件前進行預防性決策，第2 階段在極端事件發生中、發生后進行實時及事后恢復性決策，其中不確定集合是刻畫極端事件的關鍵。在自然災害方面，可從3 個角度構建魯棒不確定集合：①刻畫自然災害時空演變特性，例如通過多階段、故障范圍變化的不確定集合刻畫臺風移動對電網的破壞［75］；②刻畫自然災害下元件故障概率不確定性，例如基于元件在洪水下的故障概率曲線以及洪水強度和頻率歷史變化范圍，構建元件故障概率不確定性的不確定集合［76］；③綜合考慮災害時空特性及元件概率不確定性［77-78］。在人為攻擊方面，物理信息系統協同攻擊作為一種新型的小概率、高損失極端場景受到廣受關注。攻擊者通過開斷刀閘等方式破壞網架結構，同時向信息系統注入虛假數據掩蓋物理攻擊，躲避調度中心的故障監測，造成負荷損失甚至系統崩潰。已有文獻基于兩階段經典魯棒優化對此類攻擊進行建模和抵御，還未計及物理信息攻擊的概率問題［79-81］。后續可基于分布魯棒優化對考慮物理信息協同攻擊概率的彈性發輸電系統優化規劃展開研究。角度有二：①攻擊者完整掌握電網拓撲的情況下，攻擊者可從多種角度對元件重要性、脆弱性進行評估，側重攻擊重要／脆弱元件，由此可構建考慮元件被攻擊概率的分布魯棒不確定集合；②攻擊者對不同區域電網拓撲結構掌握程度不同的情況下，攻擊者對各區域的攻擊意愿以及各區域元件重要性評估存在差異，可構建刻畫區域以及元件被攻擊概率不確定性的分布魯棒不確定集合，并通過調度／規劃措施進行抵御和恢復。

5 結論

本文對發輸電系統魯棒優化規劃研究進行了綜述和展望。從數學角度出發，現有發輸電系統魯棒優化規劃模型可以分為經典魯棒優化和分布魯棒優化兩大類，每一大類可分為單階段、兩階段兩小類，其中經典魯棒優化主要采用多面體和基數約束不確定集合，分布魯棒優化多采用矩信息或距離信息不確定集合。從研究物理問題角度出發，現有發輸電系統魯棒優化規劃模型可分為考慮節點注入功率不確定性、考慮電源容量增長及成本不確定性、考慮輸電網絡狀態不確定性這3 類?？紤]節點注入功率不確定性的研究最豐富，后續可以考慮用簡潔易解的方式同時計及節點注入功率的相關性與概率信息；考慮電源容量增長以及成本不確定性的模型已從單階段發展到多階段，如何高效求解隨之成為挑戰；考慮網絡狀態不確定性的研究可以分為不考慮和考慮故障概率信息這2 類，后續研究方向可以考慮更多安全穩定約束，或基于魯棒優化進行彈性發輸電系統優化規劃。