基于廣義斯塔克爾伯格博弈的微電網能源管理

陳雨甜，王秀麗，錢 濤，吳 雄

（西安交通大學電氣工程學院，陜西 西安 710049）

0 引言

為了減少環境污染和能源消耗以及提高電能服務質量，傳統電網正逐步向智能電網［1］轉型，微電網作為分布式電源接入智能電網的有效手段受到廣泛關注［2］。微電網是由分布式電源、儲能和相關負荷組成的小型發配用電系統，可實現區域內電能的產消一體化，它充分挖掘了分布式能源的價值，提高了電能效益。不同于傳統電網中電網向電力用戶單向傳輸電能，在微電網中用戶可以向電網傳遞所需電能信息，從而參與電能的分配［3］。

隨著微電網的快速發展，微電網能源管理成為研究熱點。有效的能源管理可以引導分布式電源就地消納，實現能源的有效配置，保證用戶側優質的能源服務，提高系統運行的安全可靠性?，F有研究集中于微電網和微電網［4-5］、用戶和用戶［6-7］、微電網和用戶［8-10］間的互動決策，大多基于特定場景展開，如電動汽車、分布式儲能裝置等。博弈論作為分析多主體交互決策的有力工具，在確定多主體多目標的最優決策中廣泛應用。文獻［8］建立主動配電網和電動汽車的主從博弈模型，通過電價引導電動汽車充放電，但文中側重分析配電網和電動汽車的博弈過程而忽略了電動汽車間的影響。文獻［9-10］分別基于非合作博弈理論和拍賣理論研究智慧社區中住戶和共享設施管理者之間的能源交易，但文獻［9］未考慮不同用戶差別定價的影響，而文獻［10］未考慮雙方的參與積極性問題。

在特定的時間和空間下，由于系統資源有限或受到系統安全穩定運行約束等影響，參與微電網能源管理的各主體決策變量滿足某些公共約束，此時博弈中的納什均衡問題NEP（Nash Equilibrium Problem）拓展為廣義納什均衡問題GNEP（Generalized Nash Equilibrium Problem）［11］。文獻［12］利用廣義納什均衡理論解決用戶的日前調度策略問題，設計一種分布式算法對問題進行求解，以最小化用戶用電成本。文獻［13-14］考慮所有電動汽車的充電量約束以及能耗約束，建立電動汽車充電的廣義斯塔克爾伯格博弈GSG（Generalized Stackelberg Game）模型，合理分配電網以及充電站的可用能源，其中文獻［13］利用超平面投影算法求解模型，文獻［14］將博弈模型轉化為混合整數線性規劃問題進行求解。文獻［15-16］分別提出一種分布式能源管理和交易方案——分布式能源管理調度（DEMANDS）和電能交易網絡拓撲控制（ENTRANT），以解決多個微電網和多個用戶之間的能量調度問題，不同的是，在建立的斯塔克爾伯格博弈模型中，文獻［15］將用戶作為領導者，文獻［16］將微電網作為領導者。上述文獻中的參與者不僅在效用函數上與其他參與者耦合，而且每個參與者的策略集合與其他參與者的策略有關，因此GNEP 比NEP 更復雜，更難以求解。文獻［17］提出幾種解決GNEP 的方法，如非線性迭代算法、利用Nikaido-Isoda 函數將其轉化為某類優化問題的方法和罰函數法。文獻［18］詳細分析廣義納什博弈GNG（Generalized Nash Game）和變分不等式VI（Variational Inequality）之間的關系，將GNEP 轉化為VI 進行求解。在微電網能源管理中，不同用戶之間通常需要共享資源，因此很有必要考慮用戶之間的相互影響，但這同時增加了模型的復雜度，使模型不易求解。為了實現微電網能源的優化管理，獲得最優的群體效益，本文聚焦一類具有共同約束的廣義博弈問題，在微電網和用戶的博弈過程中計及用戶之間的耦合關系，利用VI 相關理論求解模型，降低了求解難度，提高了求解速度。

在有限參與者的有限行為對策中使所有參與者達到最優策略的組合為納什均衡。在微電網的電能交易中，每個主體都是理性而自私的，利用納什均衡理論解決主體之間的利益沖突，使交易達到穩定均衡狀態，進而使交易的各主體達到自身收益的最大化，調動各主體參與交易的積極性。本文首先基于非合作博弈理論建立單個微電網和多個用戶的GSG模型，其中微電網是博弈的主體，決定單位能源的價格，引導用戶積極參與電能交易以及調整用電策略，用戶是博弈的從體，每個用戶都是理性而平等的參與者，根據已知電價做出購電決策并影響電價的制定，不同用戶的博弈策略相互耦合；其次，利用VI 相關理論證明廣義斯塔克爾伯格均衡GSE（Generalized Stackelberg Equilibrium）的存在，并通過固定步長的投影算法PACS（Projection Algorithm with Constant Step）和基于高斯-賽德爾的最佳響應算法BR（Best Response algorithm）求解用戶之間的廣義納什均衡GNE（Generalized Nash Equilibrium），得到用戶的最佳購電策略，并優化微電網電價；最后，通過某社區微電網的相關數據證明所建模型可優化用戶的購電量和微電網電價，提升社會整體效益。

1 系統模型

本文考慮孤島型微電網中用戶之間的交互決策，微電網中電能自給自足，與主網無電能交換。微電網中包含多種分布式電源，其通過配電設施直接向微電網中用戶供電，減少了電能的遠距離傳輸。微電網中購、售電雙方建立自行協商的價格體系進行自主交易。假設微電網一天中可出售的電能總量為E，其值為常量且保持不變，購電用戶總數為N，購電用戶集合為C，用戶n(n∈C)向微電網的購電量為xn。由于特定時間和空間下微電網中產生的電能有限，因此xn應滿足式（1）所示的約束。

微電網和用戶之間的電能交易過程為：用戶根據微電網制定的電價調整購電量，微電網根據用戶反饋的購電量重新制定電價。因此，建模的重點在于合理描述每個用戶和微電網的效用函數，同時準確模擬用戶和微電網之間的交互過程，確定使博弈雙方獲利最大的電價和用電策略。

1.1 用戶的效用函數

用戶的效用函數表征用戶用電的效能，是用戶消耗電能的函數，與用戶的購電量、電價、用戶滿意度和用戶用電量有關。每個用戶以最大化自身的效用函數為目標，在與微電網的博弈過程中不斷改變自身的購電量。根據實際用電情況，用戶在達到電能消費上限時會不斷地消耗電能，因此用戶購電的效用函數是一個不減的非負函數，而用戶的購電滿意度隨著購電量的上升會逐漸趨于飽和，因此用戶購電的邊際效益是一個不增的函數。在滿足式（1）的條件下，定義用戶n的效用函數Un為如下二次函數：

1.2 微電網的效用函數

微電網以最大化售電收入為目標制定電價，定義微電網的效用函數為：

2 GSG

2.1 博弈模型

非合作博弈模型廣泛應用于分析多主體的交互決策，每個參與者在利益相互影響的局勢下，獨立做出最優決策。斯塔克爾伯格博弈屬于最常見的非合作博弈，參與者按先后順序選擇相應的策略。在本文中，微電網和用戶都追求自身效益的最大化，兩者依靠電價和購電策略形成主從博弈關系，因此可采用斯塔克爾伯格博弈對其進行描述。其中，微電網是博弈的領導者，通過制定電價引導用戶制定用電策略，用戶是博弈的追隨者，根據已確定的電價不斷調整自身的購電量并影響微電網的定價策略。每個用戶都是理性而自私的，由于電能資源的限制，所有用戶的購電量之和小于E，用戶的購電決策相互影響，每個用戶的可行策略集與其他用戶的策略有關，xn∈Sn(xn，x-n)，其中Sn為用戶n的可行策略集。當其余用戶的購電策略給定時，用戶n通過最大化Un在自身策略集下確定最佳購電策略xn。微電網和用戶的博弈過程如圖1所示。

圖1 微電網和用戶的博弈過程Fig.1 Game process of microgrid and consumers

2.2 GSE

在上述博弈模型中，微電網通過電價對用戶的購電策略進行管理，每個用戶在給定的電價下選擇合適的購電量從而最大化自身的效用函數，因此當p確定時，用戶n的目標函數為：

實際上，從式（1）所示的約束可以看出用戶n的購電量xn不僅與電價以及用戶自身的用電策略有關，還與其他用戶的購電量x-n有關。用戶之間形成GNG，當x達到GNE 時，任一用戶單獨改變購電策略都不會再得到更好的結果。當得到用戶更新后的購電策略后，微電網據此更新電價，從而最大化自身收益，其目標函數為：

2.3 變分解的存在性和唯一性

GSG 問題的純策略不一定存在，而GSE 的存在性是提出2.1 節中問題Γ的基礎。證明GSE 的存在性即證明用戶間GNE 的存在性，GNE 即使存在，通常也不止1 個解，此時難以確定用戶的最佳購電策略集合。當GNEP 中的所有目標函數連續可微并對相應的決策變量偽凸，且決策空間是封閉凸集時，具有公共約束的GNEP 可以轉化為VI 進行求解，稱為變分解VE（Variational Equilibrium）。因此GNE和GSE 存在性的證明轉化為VE 存在性和唯一性的證明。VI(K，F)是在h維歐氏空間Rh的閉凸集K上確定一個向量y*∈K，該向量滿足不等式FT(y*)(yy*)≥0(?y∈K)，其中F為定義在K上的連續函數。在問題Γ中GNE滿足以下方程：

式中：S為所有用戶的決策空間；F(x)為所有用戶效用函數的相反數關于自身購電量的偏導數，即F(x)=-(?xUn(x))n∈C。

定理1 對于2.1 節中定義的GSG 問題Γ，有且僅有1個VE。證明如下。

所有用戶的決策空間S是封閉凸集，效用函數Un連續可導且是嚴格凹函數，根據效用函數Un的定義，其滿足對用戶購電量xn的偏導數不小于0，同時對xn的偏二次導數不大于0，因此VI 至少存在1 個解VE，VE同時也是GNEP的均衡解，則相應的GSEP至少存在1個GSE。

由于sn＞0，因此JF＞0，JF正定，F嚴格單調，VI至多有1個解。

綜上所述，VI 有且僅有唯一解VE，則GNEP 存在穩定解GNE，當GNE 確定后，微電網有唯一p*使GSEP達到GSE。

3 模型求解

3.1 GNE求解

當微電網價格p給定時，用戶之間購電策略的博弈轉化為GNEP，基于GNEP 和VI 的等價性，可以利用求解VI的方法求解相應的GNEP。將帶有公共約束的GNEP 轉化為帶懲罰因子λ（λ為所有拉格朗日乘子組成的向量）的NEP：

3.2 電價優化

當用戶之間的博弈達到GNE 后，微電網可通過用戶的購電策略優化電價。由式（12）可知VE 滿足式（17）。

4 算例分析

本文以某社區微電網為例，應用建立的GSG 模型，通過社區微電網的動態定價策略引導用戶的電能消費，并利用所提算法實現用戶之間購電量的GNE。該社區微電網中包含多種分布式電源和多戶居民用戶。其中分布式電源包含微型燃氣輪機、光伏板等，額定容量均在10～100 kW 之間；居民用戶購電滿足日常用電需求，家用電器的額定容量均在50～2000 W之間。由于特定時間和區域的限制，微電網產生的電能有限，用戶直接向微電網購電，購電總量不超過微電網可售電量，從而形成式（1）所示的約束。以每10 戶為1 個單位，即當n=1 時認為包含10戶用戶，根據普通居民用戶的用電情況，每戶居民預估用電量en的取值范圍為35～70 kW·h，sn的取值范圍為1～2。首先設置用戶總數N=5，微電網可售電量E=180 kW·h，初始電價p()0=0.3 元／（kW·h），用戶的基本參數如附錄A表A1所示。每戶用戶由于自身的用電習慣不同，en和sn均各不相同。

利用PACS 和BR 求解模型，則用戶購電量和微電網電價分別見圖2和圖3。從圖中可以看出，所提算法均有效收斂，收斂速度較快。在微電網和用戶的相互博弈過程中，用戶根據電網電價調整自身用電策略，微電網通過電價引導用戶選擇最優的購電方案，鼓勵用戶參與電量交易，提高售電利益，最終微電網和用戶都獲得了最優方案，用戶的最優購電策略為x*=［8.6399，33.0665，17.2234，35.3798，43.7089］kW·h，微電網制定的最佳電價p*=0.4405元／（kW·h）。

圖2 用戶購電量Fig.2 Electricity consumption of consumers

圖3 微電網電價Fig.3 Electricity price of microgrid

圖4 和圖5 分別體現了微電網可售電量E和用戶總數N對微電網電價的影響。在圖4 中設置N=5、p()

圖4 微電網可售電量對微電網電價的影響Fig.4 Influence of available electricity sales of microgrid on electricity price of microgrid

0=0.3 元／（kW·h）。由圖可見，在不同的E值下電網電價均收斂到有效值，隨著E的增加，p*降低，由于微電網可售電量增加，因此適當降低電價也可保證相應的收入，且由于用戶之間通過式（1）相互耦合，購電量之和不能超過E，E增加則用戶間的競爭減小，用戶的購電量將相應增加，微電網可以降低電價吸引用戶參與電能交易。在圖5中設置E=180 kW·h、p()

圖5 用戶數對微電網電價的影響Fig.5 Influence of number of consumers on electricity price of microgrid

0=0.3元／（kW·h）。由圖可見，在不同的N值下電網電價均能收斂到有效值，隨著N的增加，p*提高，這是由于當微電網可售電量一定時，N越大，則博弈的參與者越多，競爭越激烈，每個用戶的購電量相應減少，在電能資源有限的情況下，為保證合理收益，微電網適當提高電價。

為了突出本文所提算法的有效性和優越性，與文獻［13］中算法進行對比。文獻［13］利用超平面投影法求解GSG，算法原理較為復雜。在同等條件下，利用不同算法得到各用戶的效用函數，如圖6 所示。由圖可見，當模型達到GSE時，在本文算法下各用戶的效用函數更大。此外，在迭代過程中，本文算法在10 次內即收斂到GSE，而文獻［13］算法需迭代20 次左右才能收斂到GSE。

圖6 不同算法下各用戶的效用函數Fig.6 Utility function of each consumer under different algorithms

5 結論

本文聚焦于微電網和用戶的動態博弈過程，首先介紹微電網和用戶的效用函數，建立二者交易的GSG模型，其中微電網是博弈的領導者，決定單位能源價格，激勵用戶參與電能交易以及調整用電策略，用戶是博弈的追隨者，根據已知電價做出購電決策，并影響電價制定，且不同用戶的博弈策略相互耦合；然后利用GNE 的相關理論，將博弈均衡解的求解轉化為VE 的求解，并基于一類GNEP 和VI 的等價性，利用PACS 和BR 求得用戶購電策略的GNE，進而求解最優電價；最后通過某社區微電網的實例驗證了所提模型和算法的可行性和有效性，分析了微電網可售電量和用戶總數對微電網電價的影響。本文利用博弈論的相關理論研究微電網和用戶之間的能源交易，有利于實現微電網的實時能源管理，提升社會效益。同時，本文所提出的考慮用戶耦合約束的模型和求解算法可適用于電動汽車充電、用戶需求側管理、點對點能源交易等多種場景，未來可以進一步考慮微電網和主網的互動，研究大電網、微電網和用戶之間的能源交易模式。

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