培養推理意識 發展數學思維

南欲曉

【摘? ?要】推理是“數學思維”的主要表現形式之一，小學階段要著力培養學生的推理能力，具體可從如何讓學生經歷歸納推理的過程，如何在教學中滲透類比推理的思維方式，如何讓學生體驗演繹推理的嚴密性這三個方面展開，以幫助學生逐步形成推理意識，發展數學思維。

【關鍵詞】數學思維;邏輯推理;合情推理;演繹推理

學生推理能力的強弱決定了其是否“會用數學的思維思考世界”。推理是解決問題的一種重要思維方式，培養學生的推理能力是數學教育的重要目標之一。從教學的角度看，推理能力的培養有一條清晰的路徑，那就是從小學的推理意識到初中的推理能力，再到高中的邏輯推理。小學生年齡較小，經驗有限，所學的數學知識尚不豐富，很多時候他們的知識、經驗、能力不足以支撐其進行嚴密的數學推理，所以教學中并不特別要求學生保證推理的嚴密性。但從讓學生“會用數學的思維思考現實世界”這一角度看，小學教師自身需要清晰地了解推理的相關知識，理解在小學階段的教學中滲透推理能力的重要意義與方法。

一、小學數學中的推理

數學推理主要有兩種，即合情推理和演繹推理。雖然這兩種推理相互依存，但就數學結論的獲得而言，還是有所區別的。在一般情況下，人們是借助合情推理預測數學結論，借助演繹推理驗證數學結論。

（一）合情推理

合情推理是從已有的知識和具體的事實經驗出發，通過觀察、實驗、類比、聯想、歸納等手段在某種情境和過程中推出結論。這種推理從觀察、實驗入手，或通過歸納而作出猜想，或通過類比而產生聯想。

合情推理主要有歸納推理和類比推理。歸納推理是基于一個“類”的推理，經常從看似雜亂無章的對象出發，歸納得出共性的“一類”問題的結論，一般用來預測結果或探究成因，是發現新結論的有效途徑。從思維的方式來說它是從特殊到一般的推理。在小學數學教學中，運用歸納推理進行學習的典型內容有找規律、運算定律、數的性質以及圖形的面積、體積公式的推導等。如在“找規律”的教學中，學生需要從不同的角度出發，在變化中尋找不變，探尋事物共性的、內在的聯系，并把它們歸納成“一類”。又如“運算定律”的教學，教師常常讓學生先結合情境中的例子提出猜想，然后舉例驗證，最后歸納運算定律，這一教學路徑體現了歸納推理的特點。再如“商不變性質”“小數、分數的基本性質”“比和比例的基本性質”等內容的教學，教師會先引導學生在幾個例子中發現性質，然后思考“所有的都是這樣嗎，有沒有不同的反例”等問題，這都是在幫助學生感知“根據一類事物的某個性質，進而推出該類事物具有這種性質的一般性結論”的推理方法。

類比推理是基于兩個“類”的推理，依賴于兩類（個）對象之間的相似性，一般用來尋找產生某種現象的原因。從思維方式看，它是“從特殊到特殊”的推理，它的關鍵是要找到兩類內容的相似性。觀察、比較與聯想是類比推理的基礎。小學數學教學中，需要運用類比推理思維進行學習的內容很多。比如在教學“億以內數的讀寫”中，教師引導學生與“萬以內數的讀寫方法”進行類比，這就是在運用類比推理的思考方式。如果能把新知識和相類似的舊知識進行類比，進而找到解決問題的方法，就實現了知識和方法的正遷移。其實，圍繞“數的意義”，除了相對應的內容與方法間具有相似性外，不同年級數概念的教學也都有著相同的展開邏輯。從“20以內數的認識”到“百以內、千以內、萬以內、萬以上數的認識”，再到“小數的認識、分數的認識”，它們都是按照“數的意義→讀寫→數的組成→數的大小比較”這樣的順序進行的。這種對數學內容相似性的探索也是數學推理活動的常見形式。

“數的意義”“數的運算”以及“運算的規律”這些知識展開的方式也有一定的相似性，在整數教學中習得的方式同樣在小數、分數教學中適用?！敖鉀Q問題”也有相似性的探索，比較典型的有“雞兔同籠”“抽屜原理”以及數量關系相近的問題等。這些內容學習時比較強調“這個內容歸屬于哪一類，內容之間有什么相似的關聯，它們是如何孕伏、如何發展的”。從知識學習維度看，把知識聯起來、讓不同層次通起來，這些“知識結構”將會潛移默化地被學生“吸收”而內化為“認知結構”。

歸納推理和類比推理都屬于合情推理，合情推理的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，還需要用演繹推理去證明。

（二）演繹推理

演繹推理是按照某些規定了的法則所進行的、前提與結論之間有必然聯系的推理。也就是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）、確定的規則出發，得到某個具體結論的推理。從思維的方式上來說它是“從一般走向特殊”。

演繹推理的主要功能是驗證猜想或類比得到的結論是否正確。在小學數學教學中，演繹推理更多傾向于應用已經被驗證過的結論解決問題。演繹推理中常見的推理判斷有三段論、選言推理、假言推理、關系推理等，這些在小學階段都有所涉及。如推導幾何圖形面積的過程、推導多邊形內角和及探索多邊形內外角關系時一般采用的都是三段論的推理判斷;人教版二年級下冊中的“數學廣角——推理”、四年級上冊中的“正確區分在同一平面內兩條直線的位置關系”“通過量一量、畫一畫，判斷出點到直線之間的連線中哪條最短”等采用的是選言推理判斷;根據概念、性質等進行判斷的一些問題采用的是假言推理判斷;大小比較、恒等變形、等量代換等采用的是關系推理判斷。

值得注意的是，有時不同的數學內容會用到同一種推理方法，同一數學內容的學習過程中，也會用到不同的推理方法。比如常用的法則、性質、定律、圖形公式推導等常常先用合情推理得出結論，再借助演繹推理的思維方式運用結論解決問題。在小學數學教學中，這兩種推理模式都是非常重要的，都應當在數學教育中予以充分的重視。推理能力的培養需要和內容有機結合，不同推理形式需要做到有機的統一，才能更好地培養學生的思維能力。

二、小學數學教學中推理能力的培養

（一）經歷歸納推理的過程

人教版教材四年級下冊“加法交換律”的教學是一節讓學生真正經歷歸納推理全過程的課。從教材內容的呈現看，教學流程大致為先引導學生根據情境列出算式40+56=96或56+40=96，得到40+56=56+40，然后請學生“再舉出幾個這樣的例子”，進而歸納出加法交換律。要突出培養學生“會用數學的思維思考現實世界”，在教學時，教師要注意幾個關鍵細節的處理。

首先是觀察階段。在讓學生觀察“40+56=56+40”這個例子時，教師要引導學生根據觀察得出“交換40與56的位置，它們的和是不變的”這一結論。教師要清楚地知道，相對于“交換兩個加數的位置和不變”來說，“交換40與56的位置，它們的和是不變的”只是一個特例，它的成立并不能代表其具有普遍性，所以需要進行更進一步的驗證。

其次是舉例階段。讓學生“舉出幾個這樣的例子”，目的是讓學生探尋其他例子中交換兩個加數的位置它們的和是不是也不變。有了這樣的認知，學生就會知道，要舉出的例子應該是具有多樣性的，比如兩個數都是整數的，兩個數都是小數的，兩個數都是分數的，或者兩個數是整數、小數、分數組合的，等等。引導學生通過對更多例子的觀察發現，所有例子中“交換兩個加數的位置它們的和都是不變的”，所以就把它們歸為“一類”，這“一類”就是兩個數相加;這“一類”的共性就是交換兩個加數的位置它們的和不變。教師還要注意引導學生體會到，雖然已經把它們歸成一類，且找到了這一類的共性，但它們仍然是這一類中的特例，不具有普遍性，所以還需要進行更進一步的驗證。

然后是提出合理猜想階段。教師要引導學生思考：如果舉出的所有例子“交換兩個加數的位置它們的和不變”都成立，那么是不是就可以說明所有的兩個數相加，“交換兩個加數的位置它們的和不變”都成立呢？從前期的例子中看，不管是整數、小數、分數還是它們之間的組合，“交換兩個加數的位置它們的和不變”都是成立的，所以我們就提出合理的猜想，即“交換兩個加數的位置它們的和不變”。這就是對這一類中所有的個體是否具有共性提出的猜想。

最后是驗證階段。前面提出了合理的猜想，猜想得出的結論是否成立仍需驗證。教師引導學生明確：只要找到一個反例就能說明猜想是錯誤的，在還沒有找到反例的情況下，暫時可以將它作為結論來使用。同時，雖然對于加法交換律來說，小學階段不需要嚴格的證明，但教師可以引導學生通過畫線段圖等方式，用加法的意義來說明這一結論的正確性。

再如“找規律”教學時，規律得出的過程也是歸納推理的過程。規律就是從“一類問題”錯綜復雜的關系中提煉出來的本質的、內在的聯系，即“萬變”中的“不變”。如根據圖1所示的一組圖找規律，可以把“前一個點子圖的數量和圖列”作為“不變”，找到相鄰兩個圖形的關系，也可以把“第一個點子圖或者其中的某部分”作為最基本圖形保持“不變”，找到它和所有圖形之間的關系，還可以把“圖形的層數”作為“不變”，找到相鄰層之間的數量關系及最上一層數量與圖序之間的關系，從而推斷出點子圖序與點子之間的關系。

“找規律”和“加法交換律”的學習，學生都要經歷歸納推理的過程，但它們是不一樣的。得出加法交換律的思考過程是“簡單枚舉”，也就是通過舉例歸納共性，進而得出結論，因此在舉例階段，教師要引導學生盡可能多地找到不同的例子，以保證結論的可信性。而“找規律”時，得出結論的可靠性跟例子的多少沒有太大的關系，主要思考的是對象之間的因果關系，這是一種應用“科學歸納法”進行的推理。

“歸納推理”是發現問題、提出問題或進行創造的基礎。小學階段發展學生的歸納推理能力，要引導學生不斷豐富歸納推理的思維方式，讓學生體會到：簡單枚舉推理需要擴大舉例子的范圍，并強化“找反例”，應用“科學歸納法”進行推理則側重找關系，在變化中找到不變的規律。

（二）滲透類比推理的思維方式

類比推理指根據兩類事物某方面的相似性推導出其他方面的相似性，因此比較強調“具有相同屬性”。通過類比得出的結論具有或然性，但類比的思維方式能引發學生將已經掌握的知識進行遷移，使學生能“舉一反三”“聞一知十”。類比推理能力強的學生遇到新問題時，會根據以前遇到過的類似問題的解決過程，嘗試從舊知識、老辦法中找到解決新問題的方案，這是適應當代社會非常重要的能力。

小學教材的編寫遵循螺旋上升的原則。當教學的“新內容”與以往某些“老內容”有相似之處時，教師可以善加利用，滲透“類比”思維。這種滲透可以在上某節課之前進行，也可以隔段時間，在學生學習的某一階段進行。如每學期的第一節數學課，可以組織學生上一節“目錄課”，引導學生先按照不同領域對本冊教材中要學習的內容進行分類，然后思考“這些內容可能與我們以前學過的哪些內容有關，學過的哪些內容可能對本學期的學習有幫助”。這樣的教學能幫助學生整體把握知識結構，主動在舊知與新知之間建立聯系。當然，在“目錄課”中，學生所進行的“類比”是比較粗獷的，但卻對學生“類比”思維的培育有重要的影響。他們會在后續學習中，進一步嘗試通過“遷移”解決新問題。

小學階段的計算教學內容很多，編排分散，教師可以引導學生通過類比遷移的方式萃取不同內容編排時的結構關系，感受計算學習內容的“相似性”和“一致性”。如學習認識了小數之后可以提問“小數與咱們學過的整數一樣，都是數。先回想一下，你是怎么學習整數的，然后想想，關于小數你還想研究什么”。這樣的問題指向引導學生通過“小數和整數都是數”這一相同屬性進行“類比”，為學生后續學習中體會小數的大小比較、小數的計算意義、小數的計算方法與整數之間的一致性奠定基礎。

也就是說，小學階段，學生不一定要經歷嚴密的類比推理過程，但教師要通過教學不斷滲透類比的思維方式，讓學生體會類比的價值。

（三）體驗演繹推理的嚴密性

三段論推理是演繹推理中的一種簡單推理判斷，它包括一個包含大項和中項的命題（大前提）、一個包含小項和中項的命題（小前提）以及一個包含小項和大項的命題（結論）三部分。三段論是人們進行數學證明、科學研究時，能夠得到正確結論的方法之一。三段論的語言形式具有“因為……所以……”的形式，是一種因果關系。雖然在小學數學教學中，不要求學生進行嚴格的邏輯證明，但需要培養學生的推理意識，要讓學生體驗到培養推理的嚴密性需從平時教學的點點滴滴做起。如培養學生“有條有理思考、有根有據表達”的習慣，做到“言之有據”“言之有理”，等等。

人教版教材四年級上冊“直線和角”部分中有一道題，要求學生測量圖中四個角的度數，并發現它們的相等關系（如圖2）。這道題是讓學生在現有知識基礎上經歷較為嚴謹的“演繹推理”過程的好素材。

教學時，有學生提出“用量角器分別量出四個角大小再比較”的方法，但因為“量”出結果有可能產生誤差，所以結論并不嚴謹。教師要讓學生先感受這種不嚴謹，然后提問：“能不能不用測量說明∠1和∠3相等，∠2和∠4相等？”引導學生經歷演繹推理的過程：因為∠1+∠2是一個平角，平角是180°，所以∠1=180°-∠2;同理，因為∠3+∠2也是一個平角，所以∠3=180°-∠2，由此發現∠1和∠3相等。

現實生活中，人們面對紛繁復雜的信息，經常需要先進行選擇和判斷，接著進行推理、作出決策。因此，培養學生的推理能力，是培養學生“會用數學的思維思考現實世界”的核心素養的重要著力點之一。核心素養的培育是一個漫長的過程，推理能力的形成也并非一朝一夕之事，小學數學教學中合情推理與演繹推理相輔相成，共同擔負著發展學生“推理意識”的重要作用，促進這種“意識”在教學中落地，還需要我們共同努力。

（浙江省杭州市拱墅區賣魚橋小學文匯校區? ?310015）