著力感悟運算的“一致性”
——《小數四則運算（復習）》教學與思考

王華屏

（徐聞縣梅溪實驗學校 廣東湛江 524145）

引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：數學課程內容的一大特點就是整體性。因此，教師在教學設計中應突出核心內容，體現不同知識之間的關聯性，促進內容與觀念的融合，體現出數學課程的整體性。在教學中，教師應突出“數”與“運算”的一致性?！缎邓膭t運算（復習）》一課在新課標的教學目標確定為：在回顧與梳理中進一步理解小數的意義及四則運算的算理，感悟運算的一致性；在探索與比較中形成小數四則運算的算法技能，培養運算能力；進一步探索運算規律，解決實際問題，提高學習數學的信心?；诖?，教師應精準把握運算一致性的內涵及原則，行之有效地開展教學，在教學完成后進行審視與思考，進一步提高教學的有效性[1]。

一、運算一致性的內涵解析

在教學中體現運算一致性、整體性是新課標的基本要求。事實上，整數、小數和分數在本質上是一個整體。從數形與發展的角度而言，當整數除法運算出現了除不盡的情形，于是便產生了分數運算；分數運算其表示簡潔但運算不便的特質促使小數誕生。從數組成的角度而言，整數、小數和分數都是依托于“計數單位”這一概念而進行構建。

除數之間的關系外，加減乘除的運算法則本質上也是一個整體。從運算意義的角度而言，所有的運算方法在經過加工和變化后，都可以還原成加法。由此可見，加法是所有運算法則的基礎。從運算算理的角度而言，結合律、分配律和交換律與等式的基本性質是所有算理的基礎。從運算算法的角度而言，所有運算都能夠還原成計數單位與計數單位之間的運算、計數單位上的數字與計數單位上的數字間的運算，加法口訣和乘法口訣是所有算法的基礎[2]。

在了解“數”與“運算”間存在的一致性和整體性后，教師就能夠精準把握運算一致性的統領性概念，了解數與運算存在的本質規律和關系，從而進行科學的教學設計，帶領學生經歷發現知識的緣由，體會知識發展的過程，建立知識之間的聯系，體會知識的本源性、一致性和整體性。

二、《小數四則運算（復習）》教學中如何實現運算一致性

要使學生認識數的概念，就需要學生了解數的建構方法。事實上，所有的數都是依托計數單位而進行建構的?！坝嫈祮挝弧边@一名詞是針對個數與順序的計量單位，如同長度計量單位1m、1dm，二者均是“度量單位”。前者通過抽象得到，后者借助工具得到。計數單位的出現使逐個計數存在的低效率問題得到極大改善，轉變了原有以“個”為單位的計數方式，開創了以“組”為單位的計數方式。以“組”為單位的計數方式本質上是為數提供了一個標準的單位量，“組”同樣是計數單位中的一種。數的發展過程就是計數單位的發展過程。小數的計數單位為十、個、十分之一等，即通常所說的“數位”。而要加強學生對運算一致性的感悟，首先要使學生對計數單位產生充分認知[3]。

小數的計數單位是整數計數單位的自然延伸，這一現象可通過將整數與小數的計數單位進行有序排列而得出。如“102，101，100，10-1，10-2”。小數是“十進分數”，這里的“分數”指描述計數單位的工具，小數的計數單位本質為“十進”。因此，教師可在教學中通過小數計數單位的本質引導學生進行思考。如將計數單位“一百”十等分，每一份計數單位就是“十”，繼續將“十”進行十等分，每一份計數單位為“一”。以此類推，在持續十等分下，小數作為十進分數所蘊含的意義會使學生更加容易理解。

綜上所述，小數的教學重點在于位值制。按照“逢十進一”和“退一作十”的規則構建出的小數，與整數共同構建了完整的位值制體系。在教學中，教師應遵循十進制規則建構小數，抓住認識計數單位這一重要原則，由此使學生在學習過程中有效感悟運算一致性。

三、《小數四則運算（復習）》的教學過程

1.回顧梳理，形成結構

要進行有效復習，就必然對小數四則運算的知識內容進行系統回顧，幫助學生理清知識脈絡。雖然小數的四則運算在運算法則上相對簡單，但要使學生真正將四則運算的概念內化于自身，就需要以小數的意義和性質為支撐。以北師大版小學數學教材為例，在課堂導入環節，教師可引導學生從小數的意義和相關概念出發，通過十進位數理幫助學生認知整數、分數與小數之間的聯系，從而加深學生對小數意義的認知。例如，教師可通過思維導圖的形式幫助學生進行回顧，以小數為中心，通過對小數性質、意義、產生的發散幫助學生建構清晰的知識脈絡，為后續四則運算的復習掃清障礙[4]。

在課堂導入環節結束后，教師應著手帶領學生對小數的計數單位進行復習。運算的本質是計數的過程。通過對小數意義的復習，學生能夠進一步理解小數的計數單位，借助整數數位順序表的延伸加深對小數的認知。例如，教師可引導學生在練習本上通過畫圖和涂色的方式分別表示1、0.1和0.01，并通過多媒體技術以動態直觀的形式演示1到0.1再到0.01的涂色演變，增強學生對小數計數單位變化的直觀印象。

2.探索比較，建立聯系

在進行小數四則運算時，學生普遍更依賴于通過更有效和易懂的筆算解決問題。但只有循序漸進地幫助學生復習運算方法，才能夠使學生順利完成知識的復習與遷移。因此，教師應以口算為出發點幫助學生進一步明確四則運算的思路，借助直觀的計數單位幫助學生形象地理解運算的算理。

以北師大版小學數學為例，教師可通過多媒體為學生出示難度適宜的口算算式，如：

0.2+0.3=0.1+0.01=0.2-0.01=0.2×2=0.1÷2=

教師應要求學生獨立完成口算，并匯報口算結果，在學生匯報時，教師應操控多媒體，實時為學生展示結果和算理依據，并對算理依據進行進一步講解，由此通過直觀演示和歸納概括幫助學生內化算理，為后續筆算算法的復習做好鋪墊。

在口算復習完畢后，教師同樣應為學生出示筆算的算式，如：

2.6+1.4=4-2.7=1.2×2.4=4.56÷3.8=

教師可在學生進行筆算前提出能夠引發學生產生思考的問題，如：“為什么在筆算時要將小數點對齊？”“為什么在計算小數除法時要先將除數變為整數？”等與算法相關的問題，使學生帶有一定疑問進行筆算，在筆算完成后，教師應鼓勵前后桌交流對上述問題的看法，并隨機挑選學生上臺演示筆算的過程和思路，最后對筆算的法則和依據進行歸納與總結。該方法旨在提高學生的學習深度與課堂參與度，只有在學生對知識內容產生深度理解的前提下方能進一步提高學生的學習深度，而使學生產生對知識內容的深度理解就需要深度思考進行驅動，提出一定問題可激發學生的求知訴求。在前面的復習中，學生的思維活躍度較低，因此需要依托問題進一步提高學生的分析能力比觀察能力，促使學生不斷向小數及算法的本質進行探索。

3.對比練習，形成能力

在完成小數的意義、四則運算的算理和算法的復習后，教師應帶領學生通過練習加深四則運算的掌握，并設計具有一定靈活性和貼近生活的問題，促使學生將知識內化與自身。

以北師大版小學數學為例，教師可為學生出示如下練習題：

根據27×15=405直接寫積：2.7×15=（）0.27×15=（）0.27×1.5=（）0.27×0.15=（）

根據4.68÷1.3=3.6填空：46.8÷（）=3.6 0.468÷（）=3.6（）÷130=3.6（）÷0.013=3.6

兩種類型的題考察了學生對十進制的靈活應用，進一步鍛煉了學生靈活應用四則運算的能力。教師應在學生匯報答案時鼓勵其說出在過程中所用的方法和思路，有助于教師進一步掌握實際學情。在常規練習結束后，教師應為學生創設具體情境，提高學生解決實際問題的能力，如：

周末爸爸帶你開車去人民公園游玩，在公園停車半小時以內免費，滿一小時則按照5.50元收費，超過一小時的部分按照每半小時1.50元收費。在游玩后，爸爸共付車費11.50元，你能夠通過停車費計算出你和爸爸在公園內游玩了大概多久嗎？

對口算和筆算的復習有兩個重要目的，一是使學生通過對運算規律的進一步了解促進學生數感的形成，二是提高學生解決實際問題的能力。在直接填空的練習中，分別鍛煉了學生對積的變化規律及商不變的規律的了解掌握，進一步培養學生的運算思維。情景應用題則進一步加強了學生對生活中數學知識的感知，提高了學生的數學應用能力。

四、對于《小數四則運算（復習）》教學的思考

1.如何進行幾個相關單元的綜合復習

在日常的教研活動中，常見的教研內容為新課的相關教研，對于復習課的教研頻率較低，尤其是對于幾個單元相結合的綜合復習課的教研經驗較少。本節復習的內容是北師大版小學數學教材中《小數的意義和加減法》《小數乘法》《小數除法》的整合。線性小學數學一線教師普遍缺乏對綜合復習課的開展方法、思路等方面的教研，在面對綜合復習課時容易出現“無從下手”的局面。教師應基于新課標突顯課程結構性、整體性和一致性的要求，積極開發具有綜合性與整體性的教學模式，如大單元教學、類比思維教學等，將相對獨立的知識內容進行整合，增進學生對數學知識、規律和本質的了解。

2.如何跨越小學階段計算錯誤的高發區

五年級是小學生出現計算錯誤的高發區，這一現象在五年級上學期尤為明顯。究其原因，學生的運算思維是導致五年級學生計算錯誤頻出的主要因素。五年級的學生對數量、算理和算法的理解通常停留在整數思維，而四則運算的算理和算法相較于整數運算具有更高的復雜性，計算的步驟較為煩瑣和精細，這一變化往往使學生在初級學習時錯誤頻出，需要一定的試錯糾錯的適應時間，促進了學生數學思維的進一步發展。為有效提高學生對小數四則運算算理和算法的理解掌握，教師應注重知識間的銜接關系，不僅要使學生了解如何運用知識，還要使學生明白知識的由來、知識間存在的關系和知識發展的規律，使學生能夠形成關于小數及其算理和算法的完整認知結構，使學生能夠感知知識間存在的內在聯系，進而突破教學中的重難點內容，幫助學生迅速轉變思維，順利完成思維的高階遷移。

3.如何在教學中全面落實新課標的理念

2022年版新課標基于時代和教育發展趨勢，更新和完善了核心素養的理念，凝練了以“三會”為主要培養方向的核心素養內涵。運算能力是核心素養的重要組成部分，新課標充分體現了使學生感悟運算一致性的重要性。但無論是新課標的要求或核心素養的內涵，都并非獨立于教學之外的培養內容。發展學生的核心素養、貫徹落實新課標都需要依托教學進行，將新課標和核心素養的理念有效融入教學中是當前一線數學教師面臨的緊迫任務。首先，教師應對新課標與核心素養的內涵進行學習與解析，新課標圍繞核心素養構建了課程理念，對數學教學的開展做出了詳細的指導和規劃，因此，教師應以培養學生核心素養作為核心目標，精準把握核心素養中“會用數學的眼光、思維和語言對現實世界進行觀察、思考與表達”的內涵。此外，教師還需秉持“以學生為中心”的原則。如果沒有將學生作為中心，核心素養的培養就容易變成“能力灌輸”式的培養，教學也容易回歸到單向知識傳授的教學模式。以學生為中心強調教師應遵循學生的發展特征，關注學生的學習體驗。在教學中，教師應以學生能夠接受和理解的方式進行授課，根據小學生以形象思維為主要思考形式的特點，為學生創造生動形象的情景和活躍的學習環境，使學生全身心地投入到學習中，進而實現由受教育主體向自我教育主體的轉變。在課后，教師應建立具有過程性和完整性的評價，以教促學、以評促教。教學評價的過程性指教師在關注結果的同時也要關注學生的學習過程，完整性指教師的評價除認知教育外，也要包含對情感態度和價值觀的評價，體現數學課程在落實立德樹人這一根本任務中的實效性。

結語

小數四則運算作為重點教學內容，對于增強學生對數量關系、計量單位、數理和算法的認知具有重要意義。教師應認知本節課程背后所蘊含的重要教育價值，避免將本節復習課程視為簡單的復習課，從而忽視了促進學生核心素養發展的重要契機。此外，教師應不斷保持進行教學反思的習慣，以學生發展的角度審視自身教學，確保教學觀念和方法的科學性、時代性與有效性。