水下湍流中溫度、鹽度對光學系統成像質量影響分析

孫樞為，王昊，汪偉，李鵬，康福增，謝小平

（1 中國科學院西安光學精密機械研究所 光子網絡技術研究室，西安 710119）

（2 中國科學院西安光學精密機械研究所 瞬態光學與光子技術國家重點實驗室，西安 710119）

（3 中國科學院大學，北京 100049）

0 引言

地球表面的70%以上被海水覆蓋，海洋的利用與開發對國家發展具有極為重要的意義，各國競相加大對海洋的研究與探索。水下成像技術是探索海洋資源的一種關鍵手段，而湍流是影響水下成像質量的重要因素。湍流是由于介質各部分流速不同，在交界面產生小型渦旋的現象，這一現象會直接導致介質折射率分布發生變化，從而對光束的波前結構發生變化，最終造成成像質量下降。湍流現象在海洋中普遍存在，因此研究湍流對水下成像質量的影響對于水下信息獲取與空間光通信［1］具有重要意義。1966 年，FRIED D L［2］提出了MTF 理論和基于Kolmogorov 功率譜的大氣湍流中長、短曝光成像的光學分辨率模型，發現了短曝光分辨率明顯優于長曝光分辨率。2009 年，HOU W L［3-5］提出了一種基于Kolmogorov 型折射率譜的簡單水下成像模型，初步研究了散射效應和湍流對光學傳遞函數（Optical Transfer Function，OTF）的影響。2011 年CHEN Y Z 等［6］基于HOU W L 提出的OTF 模型，加入衍射對水下成像的影響。2016 年，PU H 等［7］在Nikishov 功率譜基礎上研究了不同曝光條件下的調制傳遞函數。在此期間，大部分對水下湍流的研究基本以Nikishov 功率譜［8］為基礎，但此功率譜中并未考慮到水體平均溫度與平均鹽度的影響，折射率起伏模型還需要進一步完善。2019 年，YAO J R 改進了折射率起伏功率譜［9-10］，以平均溫度、平均鹽度表征渦旋擴散率，建立了溫度和鹽度為主導的功率譜模型。該功率譜相較于Nikishov 功率譜更加完善，但該模型缺乏實驗論證。

本文基于Yao 折射率起伏功率譜，推導了平面波波結構函數的解析表達式，完善了水下光學成像模型。相較于已有的水下光學成像模型，該模型將傳統模型中難以測量的微觀參量如動能耗散率和溫度耗散率，用平均溫度和平均鹽度等宏觀參量代替，更貼合實際應用。依據水下光學成像模型，研究了平均溫度和平均鹽度對MTF 的影響。設計搭建了一套長度為3 m 的水下成像實驗平臺，得到了在不同溫度和鹽度的湍流條件下MTF 的變化情況，對仿真模型進行了驗證。利用溫度、鹽度以及流速等容易測量的物理量，通過模型可以對不同海洋湍流條件下成像質量的退化情況進行評估，為水下圖像復原與矯正提供了一種物理參考模型。

1 理論模型

1.1 折射率起伏功率譜

湍流現象會使介質折射率不均勻，從而造成成像質量下降，因此研究湍流造成的成像質量變化本質上是研究折射率起伏情況。QUAN Y H 和FRY E 于1995 年提出了用于描述平均溫度和平均鹽度變化對功率譜線性系數貢獻的水折射率多項式［11］。在平均溫度處于［0 ℃，30 ℃］范圍，平均鹽度處于［0 ppt，40 ppt］（1 ppt=0.001）范圍，波長處于［400 nm，900 nm］的條件下，折射率可表示為（文中溫度T與鹽度S均代表平均溫度與平均鹽度）

介質的折射率n為平均折射率n0與折射率的起伏量n'之和，可表示為

式中，T'和S'分別為溫度和鹽度的起伏量，對式（1）求導，假設dλ=0 即不存在非線性效應，可得線性系數A、B的表達式分別為

圖1 為線性系數A和B隨平均溫度和平均鹽度變化情況?？梢钥闯鯝受平均溫度變化的影響更為顯著，系數B基本只與平均溫度呈負相關，且變化范圍較小?？臻g折射率起伏功率譜可表示為［9］

圖1 線性系數隨溫度與鹽度變化情況Fig.1 Linear coefficients varying with T and S

式中，ΦT(κ)、ΦS(κ)和ΦTS(κ)分別代表溫度功率譜、鹽度功率譜和溫度-鹽度耦合功率譜。三種功率譜可以解析擬合為［10］

式中，β0=0.72，ε為動能耗散率，η為Kolmogorov 微觀尺寸，ci為常數，η、ci以及χi均與平均溫度與平均鹽度相關，其具體計算過程見附錄。

1.2 波結構函數與水下成像模型

湍流現象會影響光束波前，從而改變系統成像質量，通過1.1 節中湍流折射率起伏功率譜可以求解波結構函數。平面波在各向同性的均勻海水湍流中傳輸，其波結構函數為［12］

式中，J0為零階貝塞爾函數，貝塞爾函數寫作泰勒展開的形式為

式中，Γ 為Gamma 函數，零階貝塞爾函數在零點處的值為1，即J0(0)=1，將式（10）帶入式（9）得

式中對于冪函數以及e 指數函數相乘的積分部分可以轉化為Gamma 函數的形式，表達式為

利用式（12）可將式（11）中較為復雜的積分形式化簡為Gamma 函數的和的形式，即

對式（13）含有ΔCi的各項分子分母均乘常數使其大小不變，轉化為Γ(a+n)/Γ(a)，n=1，2，3，...（其中a為常數）的形式，即

引入Pochhammer 符號，該符號的定義為(a)n=Γ(a+n)/Γ(a)，n=1，2，3，...，其中Γ(1)=1，式（14）化簡為Pochhammer 符號形式為

為進一步簡化式（15）中的求和項，引入合流超幾何函數

對于合流超幾何函數1F1(α；β；-γ)在γ?1 時，合流超幾何函數可近似為指數函數，表示為

利用式（19）將合流超幾何函數化簡為系數為gamma 函數的冪函數形式，則式（18）可化簡為

式（19）為平面波的波結構函數的解析表達式。根據波結構函數可以求解MTFtur，湍流環境下長曝光成像的MTF 表達式為［2］

式中，Dpl(ρ，L)=A2·Dpl，T(ρ，L)+2AB·Dpl，TS(ρ，L)+B2·Dpl，S(ρ，L)，在成像問題中ρ=λΩ，Ω為空間頻率。水下成像必須依托于成像系統，因此需要考慮鏡頭調制傳遞函數的影響，對于衍射極限成像系統其調制傳遞函數MTF0可表示為［7］

式中，Ω0=D/λ為空間截止頻率，D為鏡頭的入瞳直徑。接收端的調制傳遞函數是光學鏡頭調制傳遞函數MTF0與海水湍流引起的調制傳遞函數MTFtur兩者的乘積［7］，即

式（22）為在湍流與光學鏡頭共同作用下的調制傳遞函數。

2 仿真結果分析

基于水下光學成像模型對調制傳遞函數進行仿真，仿真條件如表1。圖2 為S=1 ppt 時，不同溫度下的結果。圖2（a）為MTF 曲線隨溫度變化情況。水體溫度由0 ℃上升至30 ℃，截止頻率由0.95 下降至0.5，MTF 曲線降低，成像質量劣化，結果表明溫度升高，湍流抑制了高空間頻率成分，即圖像將失去部分細節信息。圖2（b）為不同空間頻率成分的MTF 受溫度影響情況。隨著溫度由0 ℃升高至30 ℃，歸一化空間頻率Ω/Ω0=0.10，0.15，0.20，0.25 的MTF 值分別降低0.316、0.400、0.458、0.474；不同空間頻率MTF 受溫度變化的影響不同，空間頻率越高，MTF 值下降越快，這表明高頻成分的MTF 值相較于低頻成分更敏感。

表1 仿真條件Table 1 The simulation conditions

圖2 S=1 ppt 時，調制傳遞函數隨溫度變化情況仿真結果Fig.2 MTF varying with temperature in simulation at S=1 ppt

圖3 為T=20 °C 時成像質量受平均鹽度影響的仿真結果。由圖3（a）可以看出鹽度由0 上升至40 ppt，MTF 曲線略有下降，截止頻率基本不變，平均鹽度的升高對MTF 曲線的影響有限。圖4（b）為不同空間頻率成分受鹽度的影響情況，Ω/Ω0=0.10，0.15，0.20，0.25 的MTF 值分別下降0.077、0.081、0.089、0.092，相差并不明顯。結果表明：不同空間頻率的MTF 值隨鹽度升高線性下降，并且鹽度對不同頻率的MTF 值影響基本相同。對比圖2（a）與圖3（a）可以看出，溫度變化對MTF 的影響更為劇烈。結合圖1，湍流對于成像質量的影響主要源于其造成了折射率分布的起伏，此過程中平均溫度變化引起的折射率分布起伏相較于平均鹽度來說更為嚴重，故而平均溫度變化對于成像質量的影響更明顯。

圖3 T=20 ℃時，調制傳遞函數隨鹽度變化情況仿真結果Fig.3 MTF varying with salinity in simulation at T=20 ℃

3 實驗平臺及結果分析

3.1 實驗平臺

為對水下光學成像模型進行驗證，搭建了長度為3 m 的實驗平臺，如圖4。裝置主要由水箱（3 m×0.3 m×0.5 m），水泵（流速可達到2 m/s），流速計（量程0～ 5 m/s，測量精度0.001 m/s），調頻器（控制水泵流速）和溫控系統（測量范圍：10℃～ 40 ℃，測量精度：0.1 ℃）組成。水泵用于改變水體的流速從而控制湍流強度，溫控系統兼具加熱升溫和溫度實時測量的功能，水箱兩側分別為探測目標和CCD 相機。實驗可以根據雷諾數來判斷是否產生湍流，雷諾數Re的表達式為

圖4 水下湍流實驗裝置Fig.4 Underwater turbulence experiment device

式中，ρ為介質密度，μ為動力粘滯度，Ltur為水力直徑，實驗裝置中Ltur=0.1 m，uavg為水箱中水體的平均流速。該實驗條件下，當水體流速大于0.04 m/s，雷諾數Re＞4 000，即可產生湍流。

實驗選擇分辨率板（usaf1951）作為探測目標，光在湍流中傳輸距離為3 m，在固定流速下對溫度范圍在［10 ℃，30 ℃］、鹽度范圍為［1 ppt，30 ppt］條件下，成像質量的變化情況進行實驗。仿真參數溫度方差耗散率χT與動能耗散率ε在可根據實驗參數進行估算，χT由溫度梯度和熱擴散系數κT決定，熱擴散系數取常數κT=1.4×10-7m2/s，其表達式為

實驗中溫度在x，y方向基本一致，因此?T/?x=?T/?y=0。ε取決于運動粘度γ與速度梯度，其表達式為

式中，運動粘度取常數γ=1.01×10-6m2/s。因此只需測量溫度梯度與速度梯度即可推算出χT與ε。

3.2 實驗結果分析

利用實驗平臺對仿真模型進行驗證。實驗過程中，調整水泵功率使流速滿足湍流條件，待流速平穩后測量水箱內水體溫度與流速分布情況，測量5 次結果取其平均值。將相機設定為長曝光模式（曝光時間為0.2 s，即相機每0.2 s 記錄一次）調焦后使CCD 相機成像界面清晰，在不同的溫度、鹽度條件下對于分辨率板的成像情況記錄100 張圖片（即記錄20 s 內圖像變化情況）。平均流速為uavg=0.1 m/s，溫鹽梯度比的表達式為H=（dT/dz）/（dS/dz），即豎直方向上的溫度梯度與鹽度梯度之比，因豎直方向水的溫度分布與鹽度分布，正好相反，故此值為負數。實驗在水的表面與底部的不同位置分別測量5 次溫度值與鹽度值取其平均值，可求得溫度鹽度梯度比值H=-2 ℃/ppt，溫度梯度的平方和為（dT/dx）2+（dT/dy）2+（dT/dz）2=1 ℃2/m2，流速梯度的平方和為（du/dx）2+（du/dy）2+（du/dz）2=0.24/s2，帶入式（24）與（25）可求得χT=2.8×10-7K2/s，ε=6×10-7m2/s3，此時實驗條件與表1 仿真條件相同。圖5 為不同溫度和鹽度條件下成像結果。

圖5 不同溫度與鹽度條件下實驗結果Fig.5 Experimental results under different temperature and salinity conditions

基于圖5 可以計算特定空間頻率的MTF 值，分辨率板條紋的灰度分布如圖6。在計算MTF 值時，將三個灰度極大值的平均值作為灰度最大值Imax，將兩個灰度極小值的平均值作為最小值Imin，對于特定空間頻率的MTF 值等于對應條紋灰度最大值和最小值的差值與最大值和最小值的和值之比，即［13］

圖6 分辨率板灰度分布Fig.6 The gray level distribution of resolution board

圖7（a）為S=10 ppt 時，空間頻率為17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm 的MTF 值隨平均溫度變化情況，圖中實線為仿真結果，散點為實驗結果。實驗測量了17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm三個空間頻率MTF 值的變化情況。平均溫度由10 ℃上升至30 ℃，上述空間頻率對應的MTF 值分別下降0.196，0.219，0.231，MTF 值與水體溫度呈現線性負相關，并且平均溫度升高，高頻成分相較于低頻成分其MTF 值下降更快。圖7（b）為T=20 ℃時，MTF 隨鹽度變化情況。平均鹽度由1 ppt 升至30 ppt，空間頻率為17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm 的MTF 值分別下降0.117，0.113 和0.108。對比圖7（a）與7（b）三個空間頻率MTF 值的下降幅度可以得出結論：溫度變化相較于鹽度變化對成像質量的影響更為嚴重，驗證了仿真結果。在鹽度較高時，實驗結果相較于理論曲線整體偏下，其主要原因為：鹽度增加，散射對于成像質量也會產生一定的影響。

圖7 實驗中MTF 隨溫度和鹽度變化情況Fig.7 MTF varying with temperature and salinity in experiment

圖8（a）為S=10 ppt，不同溫度條件下MTF 的變化情況。圖8（b）為T=20 ℃時，不同鹽度條件下MTF 曲線的變化情況。隨著平均溫度與平均鹽度的升高，水體的折射率起伏加劇，水體折射率空間分布不均勻，光束的波前結構產生變化，成像質量降低。在溫度較高時，實驗得到的MTF 曲線與仿真結果存在一定差異。實驗過程中湍流是利用水泵帶動水循環產生的，水泵工作的同時也會伴隨部分氣泡的產生，氣泡會使光束產生偏折，導致實驗結果與仿真曲線之間存在差異。

圖8 實驗中MTF 隨溫度和鹽度變化情況Fig.8 MTF varying with temperature and salinity in experiment

4 結論

本文推導了平面波波結構函數，完善了水下光學成像模型?；谠撃Ｐ蛿抵捣抡媪似骄鶞囟群推骄}度對于光學系統MTF 的影響。搭建了水下湍流成像實驗平臺，通過實驗得到了不同平均溫度與平均鹽度條件下的成像結果，并對比了仿真結果與實驗結果。仿真與實驗結果均表明，平均溫度和平均鹽度增加都會造成成像質量的下降，且平均溫度改變相較于平均鹽度改變對于MTF 的影響更為嚴重。進一步研究發現，隨著溫度與鹽度的升高不同空間頻率的MTF 值近似于線性下降，并且鹽度升高對各空間頻率MTF 的影響基本一致，溫度升高對于高頻成分MTF 影響更為顯著。

附錄

式（7）中湍流的內尺寸與流體密度ρ、粘滯系數μ以及動能耗散率ε有關［9］，即

動力粘滯度μ的計算公式為［14］

式（26）中，a21、a22及μ0表達式為

水的密度ρ可以分解為鹽度項與溫度項［14-15，21］，其表達式為

式（7）中，χS與χTS可以通過渦旋擴散系數dr與χT求得［10］

渦旋擴散率dr與溫度和鹽度相關，其定義為［8］

式中，KS和KT分別為鹽度渦旋擴散系數和溫度渦旋擴散系數，兩者的比值即為渦旋擴散率dr。Rρ定義為溫鹽誘致比，是一個無量綱量，其表達式為［9，16］

式中，H為溫度梯度與鹽度梯度之比，即(?T/?z)/(?S/?z)，α和β分別代表溫度擴散系數和鹽度收縮系數，其表達式為

利用TEOS-10 toolbox［17-18］可以得出對應溫度、鹽度、壓強條件下的α，β值。式（7）中，無量綱參數ci的值與普朗特數Pr 和施密特數Sc 相關，具體關系表示為［9］

普朗特數Pr 與施密特數Sc 的表達式為

式（A13）中，cp水的比熱容（單位：J/(kg·K)），σT為熱導率（單位：W/(m·K)）。比熱容cp的表達式為［19-20］

熱導率σT的計算式為［21］