簡諧運動特征及其分類應用

羅倩敏(正高級教師) 李亮芝

（北京市第十八中學）

簡諧運動是一種速度和加速度都不斷變化的“雙變”運動，是振動中最簡單、最基本的一種運動形式.簡諧運動在簡諧波、重力場、電場、磁場、分子力場中多有體現，因此，研究簡諧運動特征及其分類應用十分必要.

1 簡諧運動的特征

1.1 回復力特征

圖1所示為彈簧振子.設輕彈簧的勁度系數為k，小球質量為m，O為平衡位置，不計摩擦與空氣阻力，彈簧彈力提供回復力，定義水平向右為正方向，當位移為x時，得簡諧運動回復力F＝－kx.

圖1

1.2 動力學特征

由牛頓第二定律F＝ma，聯立回復力F＝－kx，得

1.3 振動特征

以第一次位于平衡位置時刻為計時起點，用傳感器得小球的位移x(或速度v、加速度a)隨時間t呈正弦(或余弦)函數變化，即振動方程x＝Asin(ωt＋φ0)，v＝ωAcos(ωt＋φ0)，a＝－ω2Asin(ωt＋φ0).

1.4 速度—位移特征

設小球在O點的速度為v0，在任意點的速度為v，兩點間位移為x，由于回復力是線性變化的，所以在這段位移內的平均回復力為，由動能定理得

1.5 對稱特征

根據簡諧運動的特征，不難發現位移、速度和加速度關于平衡位置對稱.

2 簡諧運動分類應用

2.1 簡諧波

例1一列簡諧橫波某時刻波形如圖2所示.由該時刻開始計時，質點L的振動情況如圖3所示.下列說法正確的是( ).

圖2

圖3

A.該橫波沿x軸正方向傳播，且質點N在該時刻向y軸負方向運動

B.質點L經半個周期將沿x軸正方向移動到N點

C.該時刻質點K與M的速度、加速度都相同

D.設質點L的質量為m，最大速率為v，質點從該時刻起經過半個周期的奇數倍時間內其動量變化為－2mv

解析

由圖3可知，質點L在該時刻向y軸正方向運動，依據“同側”(即質點振動方向與波傳播方向處在波的圖像的同側)法，由圖2可知，該橫波沿x軸正方向傳播.同理可知，質點N在該時刻向y軸負方向運動.由于波傳播的是振動形式，質點并不隨波一起遷移，所以選項A正確，選項B錯誤.因K、M間隔半個波長，則K、M的振動步調始終相反，因此，該時刻質點K與M的速度、加速度大小相同，但加速度方向不同，選項C錯誤；質點L從該時刻起經過半個周期的奇數倍時間，質點的初末位置均在平衡位置，且振動方向相反，其動量變化為－2mv，故選項D正確.

點評

簡諧波是簡諧運動在空間傳遞時形成的波動，其波函數為正弦或余弦函數形式.解決這類問題要關注以下幾點：1)明確各質點的振動頻率、波長、波速，以及它們之間的關系.2)掌握“同側”法判斷質點的振動方向和波的傳播方向的關系，知道質點不會隨波遷移，理解波動圖像與振動圖像的區別與關聯，注意位移、速度(動量)和加速度都是矢量，明白其變化的周期性和對稱性.

2.2 重力場

例2如圖4所示，有擺長為l的單擺，擺球質量為m，將小球拉開偏離豎直線微小角度θ(θ＜5°)由靜止釋放，不計空氣阻力，取重力加速度為g.

圖4

(1)試證明小球做簡諧運動；

解析

(1)如圖5所示，設小球運動到偏離豎直線α(α＜θ)角時，對應平衡位置O的位移為x，顯然重力沿運動軌跡切向的分力提供回復力，即F＝mgsinα，由于θ＜5°，由幾何關系得聯立解得因F指向平衡位置O，而x背向平衡位置O，即F＝故小球是做簡諧運動.

圖5

點評

重力場中的簡諧運動主要有單擺與彈簧振子兩種模型.解決這類問題的關鍵，一是確定平衡位置所在點)二是找到提供回復力的力，可以是某力的分力，也可以是合力)三是明確條件(最大擺角小于5°或在彈性限度內)，從而根據簡諧運動的動能定理、特征方程、幾何關系等規律解決相關問題.

2.3 電場

例3如圖6所示，一個半徑為R、電荷量為＋Q的均勻帶電圓環固定在真空中，環心為O，MN是其中軸線.現讓一電荷量為－q、質量為m的帶電粒子從MN上的P點由靜止釋放，P、O間的距離為d(d?R)，不計粒子重力.求：

圖6

(1)帶電粒子運動的周期T；

(2)粒子運動到距離O點為x0時的速度大小v.

解析

(1)設帶電環上微元長Δl，其帶電荷量為由場強公式得如圖7所示，而整理得E＝因x?R，簡化得，方向由O指向P.帶電粒子所受電場力為F＝Eq，即

圖7

方向指向O，即帶電粒子做簡諧運動，由簡諧運動周期公式得

(2)對－q，從P點到x0處由動能定理得解得

點評

電場中的簡諧運動，因電場有勻強和非勻強之分，所以在勻強電場中有類單擺和類彈簧振子模型，在非勻強電場中有均勻帶電圓環形中軸線電場和等量同種電荷的連線中垂線的電場兩種模型.解決這類問題的關鍵，一是找到場強為零的點——平衡位置)二是由微元法、對稱法、等效法等找回復力)三是明確模型條件，從而由簡諧運動的特征方程、動能定理、幾何關系等規律解決相關問題.

2.4 磁場

例4如圖8所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，導軌間距為L，左端接一阻值為R的定值電阻；導軌處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與導軌平面垂直.一根與導軌垂直的銅棒在與導軌平行且共面的外力作用下，在導軌上做振幅為A的簡諧運動，振動周期為T.已知銅棒電阻為r，電子電荷量為e.導軌的電阻不計，設計時起點為平衡位置且向左運動，位移向左為負，電流順時針為正方向.

圖8

(1)在圖9中畫出通過電阻R的電流i隨時間t變化的圖像；

圖9

(2)求在一個周期T內，電阻R產生的焦耳熱；

(3)從微觀角度，求出銅棒內一個電子所受金屬離子撞擊的平均阻力的最大值；

(4)在同一坐標系中大致畫出銅棒受回復力、安培力、外力相對平衡位置位移x的圖像.

解析

(1)因銅棒做簡諧運動，以平衡位置為計時起點，其感應電動勢為E＝BLvmcosωt，由歐姆定律得聯立得i＝其圖像如圖10所示.

圖10

(2)一個周期T內，電阻R產生的焦耳熱為Q＝

(3)任何時刻電子均認為受力平衡，即有evB－由閉合電路歐姆定律有BLv＝ir＋U，聯立解得顯然當電流最大時，電子所受金屬離子撞擊的平均阻力最大，即

(4)由于銅棒做簡諧運動，則其回復力滿足F外＝－kx，由初始狀態得知圖像是在第二、四象限的直線.由于銅棒受安培力FB＝BiL，聯立由已知得銅棒的最大速度是一定的，則銅棒的速度與位移關系滿足方程，即v-x成橢圓規律變化，而FB∝v，則FB∝x，即FB-x也成橢圓規律變化，由于安培力與外力是共線的，則得F外-x呈拋物線變化，故其對應圖像如圖11所示.

圖11

點評

勻強磁場中的簡諧運動，主要有類單擺和類彈簧振子兩種模型.解決這類問題的關鍵，一是明確帶電粒子做簡諧運動時，洛倫茲力不提供回復力)二是知道導體棒做簡諧運動時，因電流有恒定與振蕩變化之分，應區別對待.若是恒定電流，則將安培力和重力、勻強電場力一樣去分析，找到回復力)若是振蕩變化電流，則要根據簡諧運動物理量間的函數關系進行數理處理或物理矢量合成，如由回復力—位移關系(線性)、速度—位移關系(橢圓)、力的合成，推導出外力—位移關系為拋物線)三是要運用力電綜合知識、宏觀微觀關聯等解決問題.

2.5 疊加場

例5有一擺長為l的絕緣單擺，擺球質量為m、帶電荷量為＋q，處在正交且勻強的電磁場中，靜止時絕緣線偏離豎直方向夾角α＝37°，如圖12所示.用絕緣手套將小球拉開使之偏離平衡位置微小角度θ(θ＜5°)靜止釋放，小球圍繞平衡位置小幅振動，不計空氣阻力，重力加速度為g.試求：

圖12

(1)勻強電場場強E的大小及小球運動的周期T.

(2)小球的最大速度vm及絕緣線對小球的最大拉力Fm.

解析

(1)小球靜止時受力平衡，有Eq＝mgtan37°，即小球振動是由電場力與重力的合力沿軌跡切向指向平衡位置的分力提供，洛倫茲力始終與速度方向垂直，即同例2方法可得

故小球做簡諧運動，則其運動周期

(2)對小球，顯然在平衡位置速度最大，從偏離平衡位置角度θ到平衡位置過程，由動能定理可得聯立解得在平衡位置處絕緣線對小球的拉力最大，由牛頓第二定律得聯立解得

點評

疊加場中的簡諧運動主要是帶電物體參與的類彈簧振子與類單擺兩種模型.解決這類問題的關鍵，一是找到合場力作用下的平衡位置)二是找到提供回復力的力(洛倫茲力不提供)；三是明確條件：類單擺最大擺角小于5°，類彈簧振子在彈性限度內，從而根據簡諧運動的特征方程、動能定理、幾何關系等規律解決相關問題.

2.6 分子（或原子）力場

例6在研究物理學問題時，為了更好地揭示和理解物理現象背后的規律，我們需要對研究對象進行一定的概括和抽象，抓住主要矛盾，忽略次要因素，建構物理模型.諧振子模型是物理學研究振動問題時所涉及的一個重要模型.

(1)如圖13所示，在光滑水平面上兩個物塊A與B由彈簧連接(彈簧與A、B不分開)構成一個諧振子.初始時彈簧被壓縮，同時釋放A、B，此后A的v-t圖像如圖14所示(規定向右為正方向).已知mA＝0.1 kg，mB＝0.2kg，彈簧質量不計.在圖14中畫出B物塊的v-t圖像并求初始時彈簧的彈性勢能Ep.

圖13

圖14

(2)雙原子分子中兩原子在其平衡位置附近振動時，如圖15所示，這一系統可近似看作諧振子，其運動規律與(1)的情境相似.已知兩原子之間的勢能Ep隨距離r變化的規律如圖16所示，在r＝r0點附近Ep隨r變化的規律可近似寫作r0)2，式中Ep0和k均為常量.假設原子A固定不動，原子B振動的范圍為r0－a≤r≤r0＋a，其中a遠小于r0，請畫出原子B在上述區間振動過程中受力隨距離r變化的圖線，并求出振動過程中這個雙原子系統的動能的最大值.

圖15

圖16

解析

(1)由圖像14可 知，當vA＝－2 m·s－1時 彈簧恢復到原長，由動量守恒定律有0＝mAvA＋mBvB，代 入已知得vB＝1m·s－1.B物塊的v-t圖像如圖17所示.由機械能守恒定律得

圖17

(2)原子B振動過程中受力隨距離變化的圖像如圖18所示，由題意可知，原子B處于r1＝r0處時，系統的動能最大，設為Ek1，系統的勢能最小為Ep0.原子B在r2＝r0－a處時，系統的動能為0，系統的勢能最大為，由能量守恒定律得Ep1＋Ek1＝Ep2＋0，聯立得

圖18

點評

分子(或原子)力場中的簡諧運動，主要是分子(或原子)之間的作用力滿足或近似滿足F＝－kx時的類彈簧振子模型.解決這類問題的關鍵，一是找到平衡位置點(r＝r0)；二是看分子或原子間的作用力與其間距的關系是否近似線性關系)三是看分子或原子勢能與其間距的關系是否近似線性關系)四是明確分子(原子)動能與勢能之和是否為定值.

總之，簡諧運動的應用要明確對象模型、場景模型各自特點與分類，聚焦共性：平衡位置、回復力F＝－kx、對稱性、簡諧運動的物理量及其特征方程，明析各種簡諧運動類型的差異，綜合運用波動振動關聯、牛頓運動定律、動能定理、能量守恒定律、動量定理、動量守恒定律、電磁場與電路知識、宏觀微觀關聯等規律，結合微元法、等效法、圖像法、數理思維法等科學思維法解決相關問題.