一道動力學競賽試題的多解賞析
——以第38屆全國中學生物理競賽預賽第8題為例

昌明彥 趙相標

（貴州省思南中學）

動力學類試題不僅是高考的高頻考點，也是競賽的高頻考點.本文采用多種方法解析第38屆物理競賽預賽第8題，旨在激發學生參加物理競賽的興趣，提高學生科學思維能力.

1 原題再現

例一質量為m、半徑為R的均質小球靜止在水平桌面上，小球和桌面之間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g.用一根水平輕桿擊打小球，擊打位置位于球心所在的水平面上，擊打方向正對球心，擊打時間極短，小球獲得的水平沖量為P.從擊打結束開始經_________時間后小球開始純滾動，小球開始純滾動時的速度為_________.已知小球繞球心的轉動慣量

2 試題分析

根據題意可知：輕桿水平擊打小球球心所在位置瞬間，小球獲得水平沖量P后向前滑動，小球質心初速度為小球與水平桌面上接觸點向前滑動，水平桌面給接觸點向后的滑動摩擦力，豎直方向小球受到的重力和支持力的合力為0，在滑動摩擦力的作用下質心做勻減速直線運動，同時小球繞質心做勻加速轉動，可知小球為剛體模型，非質點模型.故解答此題既需要力與平動相關知識，還需力與轉動相關知識.

3 知識儲備

1)質點模型(高考知識點)

牛頓第二定律F＝ma.勻變速直線運動中，速度v＝v0＋at，位移

線速度與角速度的關系為v＝ωR.動能定理W外＝ΔEk.動量p＝mv.沖量I＝Ft.動量定理F合t＝mv－mv0.

2)轉動模型(競賽知識點)

勻加速轉動ω＝ω0＋βt，轉動定律M＝Jβ，角動量L＝mvr＝Jω，角動量定理MΔt＝JΔω，角動量守恒定律L＝Jω＝mvr＝mω2r.

注：M為剛體所受各外力對轉軸的力矩的代數和，J是 轉 動 慣 量，β是 角 加 速 度.

4 試題解析

設小球獲得的水平沖量為P，質心速度為v0＝角加速度為β，初角速度為0，經過t時間后小球純滾動，純滾動時角速度為ω.

解法1 牛頓運動定律

對小球質心由牛頓第二定律有μmg＝ma，運動學公式為v＝v0－at，純滾動條件為v＝ωR，角速度公式ω＝βt，剛體轉動定律

聯立得

解法2質心動量定理

小球在向前運動的過程中，由質心動量定理有－μmgt＝mv－P，剛體轉動定律μmgR＝Jβ，上式兩邊同時乘t得μmgRt＝Jβt＝Jω，純滾動條件為v＝ωR.聯立得

解法3小球與水平桌面接觸點合速度vt＝0時，小球開始做純滾動.

接觸點隨質心同速向前平動，開始時繞質心轉動的線速度為0，可得接觸點合初速度為v0.小球在水平桌面上運動過程中，質心做勻減速直線運動，接觸點繞質心以角加速度β做勻加速轉動，經過時間t，接觸點合速度為vt＝v0－at－βtR，質心由牛頓第二定律有μmg＝ma.由小球轉動定律有μmgR＝Jβ.純滾動條件vt＝0，聯立得

解法4角動量守恒定律

過小球與水平桌面接觸點，垂直紙面向外為轉軸，輕桿擊打小球結束瞬間，小球獲得的角動量(沖量矩)為L＝PR.

重力、支持力、摩擦力過接觸點的力矩都為零，得小球過接觸點的角動量守恒，有PR＝mvR＋Jω.純滾動條件有v＝ωR.質心動量定理

聯立得

5 問題拓展

設小球恰好純滾動時(t0＝0)與桌面接觸點為A，求此后t時刻小球上A點的速度和加速度大小.

分析小球達到純滾動后，A點繞質心勻速轉動，質心向前勻速平動，A點繞質心的線速度與質心平動的速度大小相等(v線＝vC＝v).此問屬于運動學知識，A點運動軌跡為曲線.

解法1以A點為原點，水平向右為x軸，垂直水平面過A點豎直向上為y軸，建立坐標系.經過t時間后小球上A點轉動的角度為如圖1所示.

圖1

由位移公式得

以上兩式兩邊對時間求導數得A點分速度為

A點合速度為

將A點分速度對時間求導數得，A點的分加速度為點加速度大小

解法2A點的運動軌跡為曲線，由矢量三角形法則求A點速度和加速度.

小球達到純滾動后，球上A點既隨質心向前平動，又繞質心轉動，A點的速度為質心的速度與繞質心轉動的線速度的矢量和，三個速度組成一個矢量三角形，如圖2所示.

圖2

由三角函數中的余弦定理得

或由等腰三角形幾何知識得

小球達到純滾動后，質心做勻速直線運動，A點繞質心的向心加速度

6 反思總結

原試題的第一、二兩種解題方法分別應用動力學“三大觀點”中的牛頓運動定律和動量定理求解，這兩種方法對于高中物理尖子生來說容易上手；第三、四種解題方法將質心和接觸點作為研究點，對接觸點運用相對運動進行解析.問題拓展的第二種解法，運用學生非常熟悉的矢量三角形法則，已知分運動求合運動.對于高中生來說，解答此題的難點：一是小球運動屬于剛體模型，不是質點模型；二是純滾動的臨界條件v＝ωR或接觸點相對于地面的速度為0；三是剛體模型轉動過程中，剛體的轉動定律、轉動慣量、角動量、角加速度、角動量定理等.