平行四邊形面積公式固著化的原因分析與策略研究

蔣鑫源

【摘? ?要】平行四邊形是學生在學習了長方形、正方形之后所接觸到的第三個幾何圖形，它也是后續學習三角形、梯形等圖形的基礎。通過調查發現，學生存在面積公式的固著現象，即認為凡與此相關的問題都應該借助面積公式來解決。該現象背后的原因與格式塔心理學中“心理場”概念以及知覺組織原則相關。公式的固著現象可以通過調動學生的幾何直覺、打破公式的推導固化、加強課后練習質量等策略來解決。

【關鍵詞】公式固著;心理場;知覺組織;推導;幾何直覺;課后練習

一、一道題目暴露的問題

培養學生“數學的眼光”是當前數學課程蘊含的核心素養之一。數學的眼光是與數學學科相關的一種獨特的思考角度。[1]“獨特”一詞體現出眼光的個性化，人通過不同的角度可能會獲取不同的信息、經歷不同的思維過程，自然出現不同的生成。在教學實踐中發現，學生往往對平行四邊形記憶最深刻的就是面積公式，這種過分的熟悉不利于學生“數學眼光”的培養。國外學者Laura Macchi 與Maria Bagassi等人在研究中發現：對于頓悟問題的解決，默認反應并不能得到結果，反而有可能導致“固著（Fixation）”。他們引用韋特海默“正方形與平行四邊形”一題（如圖1）來加以解釋。[2]也就是說，對于平行四邊形面積的相關問題，學生的默認反應就是找到底與高后，將數據代入面積公式計算即可。若無法獲得公式信息，學生就很難利用其他方式來解決。

為研究公式的認知固著現象，筆者在學生學習了平行四邊形的面積之后進行“正方形與平行四邊形”一題的測試，測試對象為北京市S小學五年級某班的學生，共計36人。測試結果顯示，有59%的學生采用公式法求解平行四邊形的面積。有12%的學生在采用公式法的同時嘗試使用轉化法，但轉化法仍然未脫離面積公式。學生依據底和高的關系，將平行四邊形轉化為一個大小相等的長方形來解決（如圖2）。除此之外，有18%的學生無法解決本題。另有11%的學生嘗試通過底邊與鄰邊相乘來解決問題，但無法獲得較長邊的長度，因此沒能得出準確結果。從測試結果可以看出，有71%的學生能夠解決該問題，且都使用了面積公式;29%的學生既無法利用公式解決問題，也沒有其他思路。測試結果表明，學生存在平行四邊形面積公式固著的現象。

二、公式固著現象產生的原因分析

韋特海默對本題的設計是與人的心理活動相關的。格式塔心理學遵從整體論，認為主體的心理現象具有特定的整體屬性，對部分的感知是依賴于整體屬性的，整體不能分解為簡單的元素。該理論強調知覺的作用，認為知覺到的事物大于眼睛看到的事物，并且每個人都是依照組織律進行知覺組織的。對本題來說，學生受到正方形、平行四邊形等熟悉圖形的影響，遵從熟悉性原則進行知覺組織，以致眼睛看到的就是一個正方形和一個平行四邊形。實際上，本題中除了正方形和平行四邊形以外，還存在兩個直角三角形（如圖3）。學生之所以無法看到這兩個直角三角形，也是因為知覺組織。由于兩個直角三角形的構型造成圖形與背景之間的區分度較小，從而使其難以成為知覺對象。此外，在格式塔理論中有兩個重要的術語，即沖突（conflict）和掩蔽（masking）。[3]學生看不到兩個直角三角形的存在，正是由于熟悉性法則戰勝了圖形與背景法則，從而將兩個直角三角形掩蔽。因此，如果學生能夠將圖形與背景進行轉換，使兩個直角三角形得以呈現，那么即便是沒有學習過平行四邊形面積公式，學生也可以將兩個三角形重新組織成一個長方形（如圖4），進而獲得正方形與平行四邊形的面積之和，最后利用“部分—整體”關系得到平行四邊形的面積。

學生無法擺脫公式的束縛，主要是受到場的影響。格式塔心理學提出心理場（psychological field）與物理場（physical field）兩個概念。前者指觀察者心目中的世界，后者指物理學家研究的世界。個體的行為與心理場有關，如果個體的場與目標之間是同質的，那么個體與場之間將處于平衡狀態;如果個體的場與目標之間是異質的，那么個體將處于不平衡狀態且具備動力特征。當個體處于不平衡狀態時，會對知覺場進行重新組織，從而實現穩定與平衡。良好的心理場形成時，問題就迎刃而解了。[4]因此，如果學生總是能夠使用面積公式解決問題，那么個體與目標之間是同質的，個體與場之間形成穩定的、平衡的狀態。但當學生發現面積公式不能支持問題解決時，則個體與目標之間是異質的，個體將處于不平衡狀態，需要對知覺信息進行重新組織以達到新的平衡，從而解決問題。

三、破除公式固著的相關策略

（一）借助幾何直覺，點燃學生思維

在康德的數學哲學中直覺擁有重要地位，康德認為人類所有經歷都符合概念和直覺條件，直覺是由時間與空間強加的，概念是由理解范疇強加的，因此直覺對于幾何量（magnitude）的認知是不可或缺的。[5]教師在進行平行四邊形面積的教學時，不應該將內容拆分為“數方格”“轉化圖形”“推導公式”等幾個板塊后放入袋子內等待學生索取，而應該讓學生能夠依賴幾何直覺，發現平行四邊形和已有經驗中的長方形之間具有內在聯系，從而對平行四邊形作出重新的組合、改編和匹配。也就是說，將平行四邊形轉化為長方形的過程應該是學生根據結構自主進行的轉化，而非由教師引領的，因為學生具備消除困擾、將已有結構轉化為更好的結構的本能。實際上，良好均衡的知覺場的形成需要問題解決者超越對于事物表面特征的認識，而領悟到事物之間的內在聯系。[6]韋特海默在《創造性思維（Productive Thinking）》一書中提到，平行四邊形面積的教學不在于公式，而在于真正的理解和解決問題的能力。學生對該問題的真正理性解決與外部程序解決之間是有很大區別的。[7]

（二）打破推導固著，建立動態眼光

面積是幾何圖形的屬性之一，而圖形在數學的發展歷史中占據重要地位。早在公元前6世紀到公元前4世紀，希臘人就對幾何量給予充分的關注。圖形對他們而言既是符號，也是推理的工具。[8]古希臘哲學家亞里士多德將量分為連續量與離散量，包含線、面、體、時間、空間、數字、語言這七種量。其中，數字和語言屬于離散量，而線、面、體、時間、空間則屬于連續量。[9]19～20 世紀，英國哲學家、數學家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）在他的著作《論數與量的關系》中談及強度量與廣延量，認為廣延量是可以表述為“整體=部分+部分”的， 而強度量的整體與部分之間是一致的。因此，從量的角度來看，面積既是連續量，也是廣延量，而幾何圖形既是抽象符號，又是推理工具。

在教學實踐中，教師通常利用“數方格”和“轉化法”來完成面積公式的推導過程。事實上，這類方法利用了面積作為廣延量的屬性，即通過考慮部分與整體的關系實現面積公式的推導。如果將教學實踐看作是一架天平，天平的左側是面積的廣延量屬性，右側是面積的連續量屬性，那么顯然這架天平已經失去了平衡。認識面積的連續量屬性，并從運動變化的角度對它進行構建，可以培養學生動態的數學思維。

以學生學習平面圖形面積的整體過程來看，往往是將陌生的圖形轉化為熟悉的圖形，然后推導出新圖形的面積公式。并且嚴格遵循教科書順序，即“長方形→平行四邊形→三角形→梯形”。然而，學習的道路絕不止一條，如果教師選擇使用固化的方式進行課堂教學，那么學生則不可避免地形成固化的思維。

除了靜態的轉化、推理活動以外，運動變化的方式同樣適用于幾何圖形的學習。比如梯形可以和長方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形實現公式通用。通過變化梯形的上下底，直到二者相等，可以將梯形轉化為平行四邊形或長方形，梯形面積公式中上下底的和也就是平行四邊形或長方形兩條底邊的和;當梯形的上底為0時，則轉化為一個三角形，此時上下底之和轉變為三角形的底邊（如圖5）。由于梯形的上下底之和與高保持不變，無論以上哪種圖形，面積大小都不會發生變化。因此，平行四邊形的面積公式并不是一成不變的，而是可以根據思考方式不同而產生不同的抽象結果。

平行四邊形面積的學習方法除了“數方格”“轉化圖形”“變化梯形的上下底長度”以外，還可以從“線動成面”的角度展開學習。如圖6所示，長方形的面積可以看作是線段EF由AB位置沿垂直方向平移至CD位置所形成的軌跡，其大小由線段EF的長度以及線段AB到線段CD之間的距離決定。同理，平行四邊形的面積則可以看作是線段EF由AB位置沿某一角度平移至CD位置所形成的軌跡，其大小同樣由線段EF的長度以及線段AB到線段CD之間的距離決定。[10]三角形與梯形的特殊之處是橫向線段EF在運動過程中不斷縮小，因此面積大小由橫向線段EF運動變化的平均值與運動距離所決定（如圖7）。

平行四邊形面積公式的推導是一個開放性的問題，教學時需要打破固化的推導方式，通過設計聯系的、運動的學習活動來扭轉學生唯公式化的問題解決方式。

（三）借助課后練習，鍛煉學生眼光

課后練習的作用在于既能鞏固所學知識，又能鍛煉學生的眼光。在當前雙減背景下，如何在壓減課后作業總量的同時，又能保證創造性思維的培養？這就要求教師強化作業的質而減少作業的量。相比以往鋪天蓋地的公式運用性題目，教師更應該選取能夠鍛煉數學眼光與數學思維的練習題。要創造條件培養學生大膽設想的習慣，創設一些條件不夠充分、具有創造性空間的問題來培養學生的猜測能力。比如下面這題（如圖8），學生可以從圖形的結構出發，根據題目的要求將圖形進行重組，從而構造出新的圖形結構來解決問題（如圖9）。也可以從面積公式的角度考慮，以達成問題的解決。因此，相比單純的公式運用性練習，教師可以布置開放性強、材料信息不充分、從多個角度進行思考的練習，進一步鍛煉學生的數學眼光。

四、原因及策略總結

從上述內容可知，學生在學習平行四邊形面積公式的過程中存在的誤區包括推導誤區與應用誤區。推導誤區體現在課堂教學中公式的推導方式固化，即只考慮面積的廣延量屬性，采用“數方格”“轉化圖形”等方式推導面積公式，而忽視面積的連續量屬性，不能以動態的眼光與方式看待該內容。公式的應用誤區體現在問題解決過程中凡與之相關的內容都要借用公式解決，而無法對知覺信息進行重新組織與轉換，以找到新的解決問題的策略。

造成以上誤區的原因一方面與教師對知識內容的理解有關，另一方面與人的心理場和知覺組織原則相關。因此，教師要加強對知識屬性本身的理解，借助幾何直覺的力量，尋找事物之間的內在聯系，從而打破傳統的教學方式，不斷創新，實施培養學生核心素養的課堂教學。此外，思維和推理都依賴于知覺的過程，人的感知過程就是從對整體廣泛的、模糊的認識到對具體細節的把握，以致呈現出有組織的、清晰的想法。[11]教師可以通過創造與心理場不相符合的行為目標而促進學生產生不平衡狀態，從而打破思維定式，尋找新的解決問題的策略。

參考文獻：

[1]胡晉賓，劉洪璐.數學眼光的內涵及培養[J].中學數學月刊，2021（2）：17-20.

[2]MACCHI L，BAGASSI M. Intuitive and analytical processes in insight problem solving： a psycho-rhetorical approach to the study of reasoning[J]. Mind & Society， 2012， 11（1）： 53-67.

[3]DESOLNEUX A， MOISAN L， MOREL J M.From gestalt theory to image analysis[M]. New York： Springer Verlag ， 2007： 21-25.

[4]考夫卡.格式塔心理學原理[M].李維，譯.北京：北京大學出版社，2010：34-36.

[5]SUTHERLAND D. Kant’s philosophy of mathematics and the Greek mathematical tradition[J]. The Philosophical Review， 2004， 113（2）：157-159.

[6]張敬威，于偉.非邏輯思維與學生創造性思維的培養[J].教育研究，2018（10）：40-48.

[7]WERTHEIMER M.Productive thinking[M].New York： Harper Torchbooks， 1963： 68-69.

[8]GOVANNI F. The rise and development of the theory of series up to the early 1820s[M]. New York： Springer， 2008： 95.

[9]ARISTOTLE. Categories[M]. Translated by COOKE H P， TREDENNICK H. London： Harvard University Press， 1938： 17.

[10]郜舒竹.小學數學這樣教：第2版[M].上海：華東師范大學出版社，2021：182-183.

[11]GEORGE W， HARTMANN. Gestalt psychology and mathematical insight[J]. The Mathematics Teacher， 2007（100）： 17-18.

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）