注重“四性”理解，發展運算能力

宋顯慶

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出，運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系;能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題;能夠通過運算促進數學推理能力的發展。有助于形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度。

運算能力發展的主要知識內容載體為數與代數，《義務教育數學課程標準（2011年版）》把這部分內容分為數的認識、數的運算和常見的量。在此基礎上，“新課標”根據主題結構化的特征做了相應的整合，整合后的內容分為數與運算和數量關系，把常見的量融入綜合與實踐，原來的探索規律、式與方程、正比例、反比例全部歸整為數量關系。這樣調整以后，更加凸顯了知識學習主題結構化的三個基本特征，即整體性、一致性和階段性。數學學習的最大價值就是應用，解決現實問題以凸顯實踐應用性。教學中，突出“四性”的理解有助于學生學習和運算能力的發展。形成整體性和一致性教學理解需要教師有足夠的數學學科知識儲備和主動實踐的意識。

一、階段性與實踐應用性理解：數與代數教學要尊重學生發展規律，要聯系生活實際合理解決問題

“新課標”認為，階段性理解主要從學業要求的階段性、思維水平的階段性、核心素養的階段性分別提出具體的要求，體現的是學生運算能力培養的發展性，在教學過程中，教師應該合理把握教學內容的度;實踐應用性反映的是學生對所學數學知識的靈活運用，在解決現實問題時能夠選擇合理的運算策略快速準確地解決問題。

教學過程中，教師需要充分尊重學生的認知水平，有效利用學生的生活經驗，找到合理的教學支架，引導學生利用多元化的學習方式展開學習，體悟自主學習和遷移類推思想。在解決實際問題的教學中，教師要引導學生根據已學知識來解決現實問題，要充分體現知識在現實生活中的應用價值，讓學生感受數學學習的重要性，發展學生解決問題的關鍵能力和培養學生的應用意識。

“新課標”同時要求，實踐應用要關注學科知識的主題性應用和跨學科知識的項目化應用?！半p減”背景下，為了提高課堂教學效率和作業效率，教師可以從主題性應用和跨學科項目化應用角度，開發一些實踐性作業供學生選擇使用，以發展學生綜合實踐應用能力。

二、整體性理解：數的認識是基礎，意義、性質、關系、運算是一個整體，突出結構化認知

運算能力的發展離不開相應基礎知識、技能的學習和理解，教學中，教師要站在學生核心素養發展的高度進行知識、技能的教學，要突出學生的整體性理解，要為學生運算能力的發展奠基。數的認識要加強從意義的理解這個角度去整體認識數，無論整數、分數還是小數，不同數域內數的性質、關系以及運算之間都有著本質的內在聯系。教學中教師既要幫助學生理解不同數的特點與區別，更要幫助學生尋找其本質理解。另外，對于數的運算方法及解決問題策略的選擇也要突出整體性認識，方法突出多樣性，但本質理解要突出一致性，做到異中求同抓本質，同中求異顯靈活?；谝陨系恼w性理解，運算能力發展的基本架構可以用圖1來表示。運算能力的發展歷經基礎知識、基本技能的掌握和理解等知識的形成，再到進行應用解決問題的知識輸出的過程，體現的是學生能力的逐步形成與發展的過程。

比如四則運算，加法是最基本的運算，減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算。在學習過程中，學生看似學了四種不同的運算，但是實際上就是一種運算，其他運算只是加法運算的變式而已。教學中教師突出數學內容的整體性，既能增強學生學好數學的信心，又能發展學生的數學推理能力，這也是學生數學核心素養發展的重要體現。

我們來看一個具體案例，在“加法的認識”教學中，教材中從兩只小猴子摘桃子數量的多少引入，提出問題：“比一比，誰摘的桃子多？”搭建學生學習新知的“支架”，之前學習1～5的認識時，學生已經理解了數字表示基數的具體含義，教師設問旨在喚醒學生已有認知。接著，教師利用學生已有的生活經驗，進一步啟發學生思考：“如果要兩只小猴子摘的桃子一樣多，怎么辦？”讓學生初步理解加法的含義，初步感受到通過加法可以建立兩個量之間的相等關系。這種本質含義的理解顯然通過死記硬背是無法達到的，需要引導學生充分利用已有的關于數的意義的知識，量的大小即個數（計數單位的初步印象）、多少關系的理解與數字符號的抽象表達，再結合現實的生活情境和學生已有的生活經驗才能達到整體的構建效果，才能促進學生對加法含義的真正理解。

三、一致性理解：從數的認識到數的運算，要突出計數單位參與運算的一致性

小學階段的數學運算實際上就是數字符號的計數單位意義在十進制下的累加規則和記錄方法，以追求正確、靈活、合理、簡捷為顯著特征，但是教學要凸顯一致性理解，淡化技能技巧的機械化和重復性的訓練，落實“雙減”政策，向課堂要質量。

數的認識的一致性理解是學生認識數、記錄數、運算數的重要基礎。教學中，一方面要加強與學生緊密聯系或者熟悉的真實情境的創設，讓抽象化的理解更加具體，有助于學生加深對數的意義的理解與掌握，幫助學生建立數與現實生活中數量的一一對應關系，發展符號化意識。比如10以內、20以內甚至100以內數的認識，教學中，教師要引領學生從具體數量與數字符號的對應逐步走向十進位值的符號化理解，尤其要突出數字符號在不同數位所表示的數量意義，凸顯規則的價值，以培養學生的數感，發展學生的抽象思維?！靶抡n標”明確指出，學生“能夠在真實情境中理解數的意義，能用數表示物體的個數或事物的順序”。意義的理解其本質就是數字加計數單位來表示數量的意義及價值體現。如自然數的教學，教師要讓學生理解幾個幾、幾個十、幾個百、幾個千等計數單位的逐步擴大，實際上是根據現實需要，在一定的規則下，能夠用有限的數字符號來記錄無限的數量。

比如，在教學“10的認識”時，教師可以利用前面已有的知識經驗和生活經驗，從現實數量的對應或者利用加法的意義幫助學生明白10的組成和現實意義，教師要引領學生去理解10跟以前學過的1～9這9個數字符號的不同，因為10是第一個利用兩個數字符號來記錄數量的數。因此，幫助學生初步理解這樣記錄的意義和價值是重要的，也是數字化認識的一次重要的飛躍。教學中，教師可以通過具體情境結合生活實例引入十進制，同時幫助學生初步理解數位的意義，也就是位值制，初步理解數字放在不同的數位上可以表示不同的量。

【教學片段】

10的認識（人教版數學教材一年級上冊）

師：教室里有幾個小朋友？

生：9個。

師：現在又進來1個，教室里的小朋友數量是多少？

生：10。

師：哪里還有10？找一找、數一數。

……

師：“10”可以怎樣表示？用你們喜歡的方式表示。

師：同學們有很多想法，但是為什么書上要用原來學過的數字1和0表示10呢？

生：繼續創造不同的符號，但是如果有很多物體時，比如11，12……就得使用更多的符號，比較麻煩也不容易記憶。

師：說得太好了，現在我們只需要用0～9這10個數字就能表示出所有的數。請大家試著從0～9中選兩個數字組成一個新的數。

（學生自由組數）

師：我用1根木棒或1個物體來表示1個10可以嗎？

生：不行。因為1根木棒、1個物體只能表示1。

生：可以，但這1根木棒或1個物體要放在十位上。

（學生展示想法）

師：科學家們根據同學們的想法，研究發明了我們現在看到的計數器。

（學生觀察計數器）

師：在計數器上同學們看到了什么？

生：個位和十位。

師：在個位上撥1顆珠子表示什么？

生：1個1。（1）

師：在十位上撥1顆珠子表示？

生：1個10。（10）

師：都是1顆珠子，為何表示的數卻不一樣呢？

生：因為它們的位置不一樣。（滲透位值制）

師：那在個位上撥9顆珠子它表示什么？

生：9個1。（9）

師：個位有幾顆珠子就表示什么？

生：幾個1。

師：9個1再添上1個1就是什么？

生：10個1。

師：10個1也就是1個10。

師：1個10在計數器上怎么表示？（滲透十進制）

生：在十位上撥1顆珠子。

師：十位上有幾顆珠子就表示什么？

生：幾個10。

師：10和我們以前學的數有什么不同？

生：10是兩位數，我們原來學的0～9都是一位數。

生：10是由我們原來學過的1和0組成的，它比1和0都要大。

生：10里面的1放在十位表示1個10，如果在個位就表示1個1。

師：如果一個數的十位和個位都是1，這個數是多少？

生：11。

師：你們還可以舉出更多的這樣表示的數嗎？寫在草稿紙上。

問題討論雖然結束，但教師的最后一個問題具有開放性，學生可以根據所學的知識舉出更多的數，學生數數的經驗是很豐富的，有的學生甚至可以數到100。通過上述教學，學生就會慢慢理解原來數出來的數就是這樣表示的，會有一種豁然開朗的感覺。

數的運算的一致性理解就是對運算的意義及計數單位參與計算的規則的理解，這種理解不可能一蹴而就，需要持續的關注和有效的引領。小學階段數的運算主要包括整數、小數、分數的四則運算，要加強對橫向（不同數領域）與縱向（同一數領域）運算的聯系與區別的理解，要突出理解數的運算的本質就是計數單位的“累加”。

在數的運算教學中，橫式計算是基礎，也是算理，可以通過基本算理解決一些簡單問題。筆算是另外一種更為簡便的計算方法，尤其在解決稍微復雜的計算時相當有效，方法、方式是可以多樣的，但是本質理解還是要以口算基礎，即基本算理;更為復雜的計算當然還可以通過計數器等高科技手段來解決，而這種方式就完全看不見算理，只以追求結果和解決問題為目的，強調的是高效率。而運算教學的數學育人價值并非追求這樣的結果，更多的體現在追求這種結果的過程中，發揮數學教育的育人價值，滲透嚴謹的邏輯推理思維，發展解決問題的高效能力，這就是數學課程核心素養的重要體現。

結合以上“四性”的教學理解，基于學生運算能力發展的課堂教學，教師要充分發揮學生學習的主動性，采取探究式、啟發式等課堂教學方式，讓學生在自主探究、合作交流的過程中學會主動學習。教學中，教師要引領學生去理解和關聯相關知識，讓學生在逐步形成知識體系的過程中，學會自主關聯，學會遷移類推，學會思考，學會用數學的方法解決現實問題。體現的是學生對基礎性知識的理解掌握、結構化認知、創新綜合性應用，發展的是學生的關鍵能力和必備品格。

（作者單位：江西省教育廳教學教材研究室）