混合式配電變壓器數字控制系統離散域建模與穩定性分析

高亞晨，梁得亮，柳軼彬，張立石，李大偉，吳子豪

（1. 西安交通大學 電力設備與電氣絕緣國家重點實驗室，陜西 西安710049；2. 西安交通大學 陜西省智能電網重點實驗室，陜西 西安710049；3. 國網陜西省電力公司電力科學研究院，陜西 西安710100）

0 引言

隨著新能源產業和電力電子技術的迅速發展，越來越多的復雜電力設備接入配電網，這些設備雖然功能豐富，操作方便，但往往會給電網帶來諸如高頻諧波和無功分量注入以及電壓波動等問題［1-2］。這對傳統配電變壓器提出了新的技術挑戰，具體而言，傳統配電變壓器只負責電壓等級變換，顯然已經不滿足日益復雜的電網電壓調控要求。此外，變壓器本身也需要具備一定的補償能力來應對畸變、無功負荷的危害。于是，固態變壓器、電力電子變壓器［3］以及混合式配電變壓器HDT（Hybrid Distribution Transformer）等新型可控變壓器相繼出現。其中，HDT是以傳統變壓器為基礎，結合有源濾波器、動態電壓調節器等電力電子裝置升級改造而成［1］。相比于其他類型的可控變壓器，HDT在實現無功補償、諧波治理、穩定電壓等功能的前提下具備更簡單的結構［3］，這對于未來構建智能配電網具有重要的意義。

目前關于HDT 的研究主要集中在連續域下［4-9］：文獻［4］中提出的HDT 動態控制系統方法是針對HDT 電壓電流雙閉環在連續域下建模的分析方法；文獻［5-8］分別提出了魯棒預測控制、復合控制器設計方法、松弛二端口建模以及開式繞組設計方法，這些方法能使HDT 在連續域中獲得良好的性能表現，但上述文獻均未涉及數字控制方案的研究。

目前在離散域下對于HDT 數字控制系統的研究較少，而實際上在離散域下對HDT 數字控制系統進行建模分析十分必要。這是因為HDT 的控制系統需要使用數字控制器來實現，數字控制器延時對HDT 系統整體的穩定性及暫態特性具有重要影響，故計及延時環節的HDT 控制系統離散域建模分析更接近其實際運行情況。其中，數字信號處理器DSP（Digital Signal Processor）由于具有抗干擾能力強、控制能力好以及靈活性高等優點，被廣泛應用于電力電子裝置中。目前逆變器的控制也普遍采用DSP 來實現，但采用DSP 進行控制會不可避免地帶來延時問題［9-10］，如當HDT 中逆變器（IVp和IVt）進行負載電壓調控和諧波治理時，因經歷采樣、計算以及脈寬調制（PWM）過程而產生數字延時，進而對系統的穩定性造成影響。雖然目前在分析數字控制器的延時方面，有研究者提出應用高階帕德近似法［11］來計算延時，但這樣的處理方式對系統階數有一定的要求，當系統階數僅為1 或2 時模型精度會下降，且存在計算量過大的問題。另外，DSP 控制效果很大程度上取決于采樣周期、采樣精度和參數，這也為設計HDT 數字控制系統帶來困難。由此可見，對數字控制下的HDT進行特性分析十分必要。

為此，本文首先建立了HDT 連續-離散混合控制模型，并推導了離散域下HDT 數字控制系統的傳遞函數。討論了數字控制下比例積分（PI）參數對HDT 系統穩定性的影響，重點分析了采樣周期對HDT系統穩定性的影響。最后通過仿真以及實驗驗證了理論分析的正確性。

1 HDT基本特性及控制結構

文獻［4］中給出了HDT 的等效電路圖，但其符號較多，系統特性較為復雜，考慮到變壓器工程應用場景的電壓等級普遍較高，而繞組阻抗數值較小，對系統的穩定性影響不大，且本文分析的重點在于數字控制下HDT 的特性，繞組阻抗并不會對HDT 系統穩定性產生關鍵影響，故本文分析中將忽略繞組阻抗以簡化運算。本文在文獻［4］給出的等效電路圖基礎上進行簡化，并以附錄A 圖A1 所示的a 相HDT等效電路圖為例進行說明。

由圖A1 可知：HDT 系統包含主變壓器（T1）、隔離變壓器（T2）以及2個電力電子逆變器（IVp和IVt）［3-5］，主變壓器進行正常的電壓變換和功率傳輸，隔離變壓器作為補償裝置補償電壓波動；W1—W5為各級繞組，相連的W1、W5（W5為補償繞組）位于一次側，W2—W4（W3、W4為控制繞組）位于二次側，W1—W3組成T1，W4、W5組成T2?；赑WM 技術，IVp和IVt可實現HDT系統無功波動補償和諧波抑制［5］。例如當W2側負載存在諧波或無功等有害分量時，控制器會根據所采集的數據分析此時電流包含的諧波成分計算電流補償量，再按照一定占空比控制開關管導通，進而通過IVp橋臂電壓來控制HDT系統W3側的電流i3，使之產生極性相反的電流分量。這是由于穩態時系統電感能量的儲存和釋放是平衡的，開關周期又很短，可以認為電流近似不變；并且根據三繞組變壓器的磁動勢平衡原理，W2側電流i2中諧波或不對稱等有害分量能夠被消除。上述過程說明了HDT 系統中IVp和IVt可以實時地補償有害分量、抑制電壓波動及消除不平衡分量，保證了HDT 系統用戶側的電能質量。

采用數字控制時需要將HDT 系統中的模擬信號轉變為數字信號，以便于DSP 處理，故HDT 的實際系統是由連續-離散環節構成的復合系統。本文構建的HDT連續-離散混合控制模型如附錄A圖A2所示。連續環節和離散環節共同作用，實現對HDT連續-離散混合控制模型的整體控制：連續環節包括逆變器及直流母線等HDT 主體部分的控制；離散環節包括采樣、坐標變換、PI控制和空間矢量脈寬調制（SVPWM）等數字信號的處理，離散環節存在于DSP芯片的數字處理過程中。

由于負載側濾波電容Cf一般較?。?］，流經Cf的電流很小，對負載電壓影響也很小，故可近似認為負載電流iL≈i2，可將iL與i2合并，簡化數字控制框圖。由附錄A 圖A3 可推導連續域電流控制的開環傳遞函數Ggi（s）與電壓控制的開環傳遞函數Glv（s）分別為：

式中：Kpp、Kip和Kpt、Kit分別為IVp和IVt的比例、積分參數；Lp、Rp和Lt、Rt分別為IVp和IVt的濾波電感、集中電阻；Rf為濾波電阻；Ud為直流母線電壓；K21、K31、K54分別為W2和W1、W3和W1、W5和W4間的匝數比。

對于連續域分析方法而言（以HDT 電流控制系統為例），由式（2）可得電流控制環節特征方程為：

式中：Kp、Ki分別為電流控制環節對應PI控制器的比例、積分參數。根據勞斯-赫爾維茨判據，系統穩定的充分必要條件為各項系數均大于0，勞斯陣列第1列均大于0。而式（3）中參數為系統控制參數，均有正實數值，故在連續域的分析下，保持比例控制系數Kpp和Kip均大于0，即可保證系統閉環極點均位于左半平面，即電流控制系統是恒穩定的。

2 HDT數字控制系統設計

2.1 HDT計算延時和調制延時

區別于連續環節模擬控制系統設計，離散環節數字控制系統會引入固有的延時環節，包括計算延時和PWM 延時［10，12］。在數字控制系統中，為了避免開關紋波對系統的不良影響，通常在三角波載波的波峰或者波谷進行采樣［12］，如圖1 所示。圖中，Ts為系統采樣周期。

圖1 PWM采樣過程及延時Fig.1 Sampling and time delay in PWM

采樣系統在某一時刻k處對信號進行采樣，所得信號經計算后被送入DSP 得到PWM 信號vm。為避免vm和載波信號發生交載現象［13］，且采樣和計算仍需要一定的時間，故在時刻k計算得到的信號需要在時刻k+Ts處裝載，相對于原始信號慢了1 個周期（或稱一拍），計算裝載延時由此產生。該采樣原理在數字控制設計時較為常見，其特點在于能夠得到每個采樣周期內信號平均值（或基波成分），且無需濾波環節［13］，在一定程度上優化了控制結構。由于被裝載后的調制信號在一個采樣周期內保持不變，在對數字控制系統進行設計時通常需要加入零階保持器（ZOH）來描述此特性［14］。ZOH的傳遞函數Gzoh（s）為：

式中：ω為角頻率?？梢?，ZOH 的引入也將會給系統帶來大約0.5拍的延時。

延時項并不會改變增益大小，但會使相位發生偏移，從而降低系統的穩定裕度［15］?？梢岳斫鉃樵谶B續域中，延時環節的引入相當于給傳遞函數乘以一個延時因子e-ns（n=1，2，3，…），此延時項在幅頻特性曲線上表現為使得相位裕度減小，系統穩定性下降。這和完全的連續域忽略延時環節的控制分析不同，故進行設計時需要考慮延時環節對HDT 數字控制系統的影響。

2.2 考慮延時的離散域控制設計

根據附錄A 圖A2 所示HDT 的控制系統，建立dq0 坐標系下離散域HDT 負載電壓控制框圖模型，如附錄A 圖A4所示。由前文分析可知，數字控制下會引入約1 拍的計算裝載延時以及約0.5 拍的ZOH延時。計算裝載1 拍延時GD1(s)和網側電流控制器到負載電壓控制器（二者均為PI 控制）的傳遞函數Gc(z)的表達式分別如下：

考慮到HDT 在進行數字控制分析時可能會出現頻譜的混疊現象，為了更直觀地分析數字控制下的HDT 特性，避免潛在頻譜混疊現象的發生，本文采用雙線性（Tusin）變換對HDT 控制系統離散化。Tusin 變換是連續系統到離散系統轉換的常用方法之一，能夠將連續域下的模擬信號變換為離散域z下的數字信號，并能通過單值對應消除頻譜混疊現象［16］。Tusin 變換的基本原理是將z域和s域的關系進行進一步變換，如式（7）所示。

將式（7）在sTs/2=0 處進行泰勒展開，忽略高階項，重新整理可得：

將式（8）代入式（2）可推導得離散域下HDT 電壓控制環節開環傳遞函數，由于表達式較為復雜，為了方便說明，令N=K54K21、C1=CfRf、C2=CfRt、C3=CfLt，則式（8）可簡化為：

式中：z[·]Tusin表示將[·]進行Tusin 變換；Glv0(s)為附錄A 圖A2中負載電壓u2到調制波的開環z域傳遞函數。由式（9）可得HDT 電壓控制開環傳遞函數的特征方程，利用朱利穩定判據，特征方程式所有根均位于z平面單位圓內的充要條件見式（10）。

由式（10）可知，與連續域下的分析不同，在離散域的分析中，PI參數設計產生了約束條件，且和采樣周期有關。當Ts很小時，PI 參數可以選取的范圍就很大，反之當Ts很大時，PI選取將會受限。而在現實控制系統中，受限于芯片計算能力和物理環節，顯然采樣周期是不可能無限小的，因此如何選取合適的采樣周期也是設計數字控制HDT 系統的一個關鍵因素。故為了使HDT 系統具備更好的性能，在設計HDT數字控制系統時，需要對該問題展開研究。

2.3 數字采樣周期設計

采樣周期是HDT 數字控制系統中的關鍵設計參數，一方面要避免因采樣周期設置過大而導致控制不精確、波形不完整的問題，另一方面需要兼顧系統資源的合理調配，不能因為采樣周期設置過小而占據太多的計算資源。由式（4）可知，采樣周期通過影響控制器增益和相位進而影響控制器特性，進一步影響了數字HDT 系統的性能，故需要選取合適的采樣周期。本文設計10 組不同的采樣周期，分別取值為0.01、0.02、0.04、0.05、0.08、0.10、0.12、0.15、0.16、0.20 ms。不同采樣周期下HDT 系統負載電壓的波特圖如附錄A 圖A5所示。由圖可知，當采樣周期為0.01 ms 時，系統的穩定裕度為59.2°，系統穩定性良好，但是響應速度過慢，隨著采樣周期的增大，系統的穩定裕度跟隨減小，當采樣周期為0.20 ms時，系統的穩定裕度僅為7.37°，系統穩定性很差。綜上分析可得較為合適的采樣周期為0.05 ms，對應的采樣頻率為20 kHz，此時系統穩定裕度為44.2°，系統穩定性良好，系統響應迅速。

3 仿真驗證

為了驗證采集、計算和延時環節對HDT 數字控制系統穩定性的影響，根據附錄A 表A1進行參數設置，基于MATLAB／Simulink 仿真平臺驗證本文所提HDT數字控制系統設計的正確性。

在2 種采樣周期（0.05 ms 和0.15 ms）下進行仿真，得到網側電壓us波形如附錄A 圖A6 所示。當Ts=0.05 ms 時，負載電壓u2以及網側電流is的波形如圖2 所示。由圖可知，由于HDT 數字控制系統在離散域下設計并進行數字采樣，波形會有一定的波動。相較于連續域下模擬信號的控制分析中網側電流三相正弦波形精度下降。這是因為逆變器IVp和IVt正常投入工作，在圖2 所示的波動處進行暫態補償，并將波動抑制到合理范圍內。故當Ts=0.05 ms 時采樣控制器可以實現較為快速且準確的跟隨效果。系統此時以較快的速度補償網側電壓突變并治理負載側的電壓諧波，使負載側用戶獲得穩定電壓，這說明當Ts=0.05 ms時HDT數字控制系統具有良好的性能。

圖2 當Ts=0.05 ms時u2、is波形Fig.2 Waveforms of u2 and is when Ts is 0.05 ms

當Ts=0.15 ms 時，負載電壓u2以及網側電流is的波形如圖3 所示。由圖可知，當Ts=0.15 ms 時，系統的補償效果會急劇下降，負載側電壓已不能被很好地保持，穩定性很差，網側電流包含大量諧波成分，且補償效果因為延時過久而變得很差，對HDT 的性能有較大影響。驗證了前文理論分析的正確性。

同時，為了檢驗本文設計的HDT 數字控制系統諧波治理能力與應對波動的暫態響應能力，首先設Ts=0.05 ms，對比HDT 數字控制系統參與諧波治理前、后（即逆變器處于不控整流工作模式下）網側電流波形，對比結果如附錄A 圖A7 所示?？梢钥闯觯篐DT 數字控制系統參與諧波治理前，負載電壓包含大量3、5次諧波，總諧波畸變率（THD）為17.46%，此時電壓失真較為嚴重；HDT 數字控制系統參與諧波治理后，3、5次諧波被很好地補償，THD降為4.98%，負載電壓更接近三相正弦波形，這證明了本文設計的HDT數字控制系統具備良好的諧波治理能力。

此外，檢驗HDT 數字控制系統應對波動的暫態響應能力，設t=0.6 s時網側電壓驟升到120%UN（UN為網側電壓額定值），t=0.8 s 恢復正常，得到負載電壓和直流母線電壓波形如圖4 所示。由圖可知：直流母線電壓在約0.3 s 時即可達到設定參考值U?d并保持穩定跟蹤；當電網電壓波動時，直流母線電壓出現小范圍的波動后快速恢復正常，響應速度較快，并使負載側電壓仍能保持穩定。這證明了HDT 數字控制系統具備良好的暫態響應能力。

圖4 當us突變為120%UN時u2和Ud波形Fig.4 Waveforms of u2 and Ud when us changing to 120%UN

4 實驗驗證

根據前文設計，搭建如附錄A 圖A8所示的HDT數字控制系統實驗平臺，其中包括三相交流電源、主變壓器T1、副變壓器T2、可變負載、IGBT 以及DSP 控制驅動板。由于實驗室條件限制，電壓等級低于仿真中設置電壓，實驗參數如附錄A表A2所示。

在2 種采樣周期（Ts=0.05 ms 和Ts=0.15 ms）下進行實驗驗證。當Ts=0.05 ms 時，負載電壓和網側電流的實驗波形分別如圖5、6 所示。由圖可知，負載電壓和電網電流波形同圖2 所示仿真結果一致。對比文獻［5］中采用連續域下模擬信號控制得到的網側電流波形，利用離散域下數字信號控制得到網側電流控制精度有所下降，這是由于數字控制下引入采樣、保持、計算等環節產生了延時，仿真及實驗結果驗證了理論分析的正確性。在實際運用中，數字控制可以利用預測補償延時等方法提升控制精度，如文獻［17］提出的網絡同步采樣技術。雖然本文研究側重于HDT 數字控制系統的離散域建模和暫態穩定性分析，但是由實驗波形可知，本文所提HDT數字控制系統的基本特點和控制效果與連續域下的模擬信號控制基本相近。如圖2、6 所示，網側電流波形的毛刺處對應于系統的補償點，這說明HDT 數字控制系統可以實時跟蹤，當網側電流波動時控制系統會給予補償，故當前控制精度是可以接受的。

圖5 當Ts=0.05 ms時u2實驗波形Fig.5 Experimental waveform of u2 when Ts is 0.05 ms

圖6 當Ts=0.05 ms時is實驗波形Fig.6 Experimental waveform of is when Ts is 0.05 ms

當Ts=0.15 ms 時，負載電壓和網側電流的實驗波形分別如附錄A 圖A9、A10 所示。由圖可知，當Ts=0.15 ms 時，由于采樣周期增大，系統的計算能力趨近于飽和，在延時的作用下用于計算裝載的時間裕度變得極其有限，對于系統的穩定性影響更為突出，負載電壓和網側電流均會出現不同程度上的紋波，系統的補償效果下降，這與圖3 所示仿真結果相一致。

同樣，為了驗證網側電壓波動下系統暫態響應，設置網側電壓在某一時刻突升，觀察負載電壓和直流母線電壓的實驗波形，如圖7 所示。當網側電壓發生突升時，直流母線電壓保持穩定，負載電壓在網側電壓突變的一瞬間會跟隨變大，然后很快被控制住，并保持額定值，證明本文設計的HDT 數字控制系統具備良好的暫態響應特性，由此驗證了理論分析中對控制器參數分析與設計的正確性。

圖7 網側電壓波動下系統暫態響應Fig.7 Transient response of system under grid-side voltage fluctuation

5 結語

本文提出了一種HDT數字控制系統離散域建模與穩定性分析方法。建立了考慮延時作用的HDT系統電流電壓雙閉環數字控制模型；通過朱利判據推導了HDT 數字控制系統PI參數的約束條件；并分析不同延時作用下穩定裕度的變化規律以及對HDT數字控制系統的性能影響；評估了延時對HDT 數字控制系統穩定性的影響，進而確定良好的控制器設計參數。仿真和實驗結果驗證了所提HDT數字控制系統建模方法的準確性以及穩定性分析方法的有效性。

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