多重扭曲乘積浸入*

陳海蓮，鐘定興

(贛南師范大學 a.科技學院；b.數學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

1 基本概念

扭曲乘積流形的定義最早出現在Bishop和O’Neill的著作中，Bishop和O’Neill利用扭曲乘積流形構造了許多負曲率流形的例子.在Bishop和O’Neill之前的數學和物理學的一些文獻中也出現過扭曲乘積，只不過沒有給出扭曲乘積的定義.比如，KruchKovich把扭曲乘積稱為半約化空間.扭曲乘積流形與理論物理聯系密切，愛因斯坦場方程和規范場方程的某些解是扭曲乘積流形.

設φi:Ni→Mi是黎曼流形Ni到黎曼流形Mi的等距浸入，1≤i≤l，定義φ=(φ1,φ2,…,φl):N1×f2N2×…×flNl→M1×ρ2M2×…×ρlMl，φ(p1,p2,…,pl)=(φ1(p1),φ2(p2),…,φl(pl))，其中fi=ρi°φi,2≤i≤l.那么φ是扭曲乘積流形N1×f2N2×…×flNl到扭曲乘積流形M1×ρ2M2×…×ρlMl的等距浸入，φ稱為多重扭曲乘積浸入[1].

扭曲乘積浸入出現在微分幾何的某些方面的研究當中，見文獻[1-4].

本文研究扭曲乘積流形到扭曲乘積流形的等距浸入的有關性質，得到了這樣的等距浸入為全測地浸入，或為全臍浸入，或為極小浸入的充要條件,推廣了文獻[1]的相應結論.

2 主要結論及其證明

引理1設φ=(φ1,φ2,…,φl):N1×f2N2×…×flNl→M1×ρ2M2×…×ρlMl是多重扭曲乘積浸入，那么

(1)

?XV=?VX=(Xlnfi)V,X∈L(N1),V∈L(Ni), 2≤i≤l，

(2)

(3)

?VU=?UV=0,V∈L(Ni),U∈L(Nj), 2≤i,j≤l,i≠j,

(4)

記φ和φi:Ni→Mi的第二基本形式分別是h和h(i),可得到[1]

引理2h(X,Y)=h(1)(X,Y),X,Y∈L(N1),

(5)

h(X,V)=0,X∈L(N1),V∈L(Ni),i≥2,

(6)

h(V,W)=h(i)(V,W)-Dlnρi,V,W∈L(Ni),i≥2,

(7)

h(V,U)=0,V∈L(Ni),U∈L(Nj),i,j≥2,i≠j

(8)

利用引理1和引理2，首先考慮扭曲乘積浸入是全測地的條件.

定理1設φ是一個多重扭曲乘積浸入，那么

證明設X∈L(N1),V∈L(Ni),W∈L(Nj), 2≤i,j≤l,i≠j,由引理2可得

h(X,V)=0,h(V,W)=0,

(9)

所以φ是混合全測地的.

(10)

等號成立當且僅當h(i)=0,1≤i≤l.即φi:Ni→Mi都是全測地的，1≤i≤l.

下面考慮多重扭曲乘積浸入是全臍的條件.

定理2多重扭曲乘積φ=(φ1,φ2,…,φl):N1×f2N2×…×flNl→M1×ρ2M2×…×ρlMl是全臍的當且僅當以下2個條件同時成立：

證明設多重扭曲乘積浸入φ是全臍的，那么

(11)

(12)

(13)

(14)

h(i)(V,W)=0,V,W∈L(Ni)，2≤i≤l

(15)

即對2≤i≤l，φi:Ni→Mi都是全測地.把(15)代入(14)，可得

(16)

由(13)(16)可得

(17)

(18)

因此φ1:N1→M1是全臍的，且φ1的平均曲率向量是-Dlnρi,2≤i≤l.

h(1)(X,Y)=(-Dlnρi),X,Y∈L(N1)，i≥2.

(19)

h(i)(V,W)=0,V,W∈L(Ni)，i≥2.

(20)

由引理2可得

h(X,Y)=(-Dlnρi),X,Y∈L(N1)，i≥2.

(21)

h(V,W)=- Dlnρi,V,W∈L(Ni)，i≥2.

(22)

由(21)可得

Dlnρ2=Dlnρ3=…=Dlnρl.

(23)

由(21)-(23)可得

H=-Dlnρi.

(24)

因此

h(X,Y)=H,X,Y∈L(N1)，

(25)

h(V,W)=H,V,W∈L(Ni)，i≥2.

(26)

對于N1×f2N2×…×flNl上的任意向量場X=X1+X2+…+Xl,Y=Y1+Y2+…+Yl,其中Xi,Yi∈L(Ni)，由引理2有

h(X,Y)=h(X1,Y1)+h(X2,Y2)+…+h(Xl,Yl)=

(++…+)H=H.

(27)

所以φ全臍的.證畢.

注定理2是文獻[1]中定理2的推廣.

最后考慮極小多重扭曲乘積浸入.

定理3設φ是多重扭曲乘積浸入，那么

證明在N1×f2N2×…×flNl上取標準正交基e1,e2,…en1,…,etl-1+1,…,etl-1+nl，其中eti-1+1,…,eti-1+ni是Ni上關于Ni上的黎曼度量gi的標準正交基的提升的倍，f1=1,ti=n1+n2+…+ni,t0=0,0≤i≤l-1，因此，由(5)得

(28)

所以φ的部分平均曲率向量H1等于φ1:N1→M1的平均曲率向量，φ是N1極小當且僅當φ1是極小的.

(29)

這里H(i)是φi:Ni→Mi的平均曲率向量，注意到Dlnρi是M1上的向量場，H(i)是Mi上的向量場，故Dlnρi與H(i)是正交的.所以φ是Ni極小的當且僅當

(30)

即H(i)=0，且-Dlnρi=0，也就是φi:Ni→Mi是極小的，且Dlnρi=0.

(31)

最后一個等式右邊的第1,2,…,l項分別是M1,M2,…,Ml的向量場，所以φ是極小的充分必要條件是

注定理3是文獻[1]中定理3的推廣.