一類4-維切空間的球面與圓周*

鐘世萍，王清源，江可心，廖 劍

(贛南師范大學 數學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

1 介紹

幾何理論中研究具有額外的結構 S的 Riemannian 流形是一個熱門的課題，其中很多學者研究了額外的結構 S 滿足S2= ?id，這樣的結構被稱為近復結構或仿近復結構[1-5]，另外Dokuzova I.等人[6-10]研究了(反)循環結構 S 滿足S4= ±id的Riemannian 流形，等等.

2 記號和預備知識

設M是一個4-維黎曼流形(M,g)，在M上任一點p的切空間TpM上賦予一個張量結構S，在給定一個基底時，S是一個反循環矩陣(稱S為反循環結構)，具體如下：

(1)

則S有以下性質

S4= -id,

(2)

設度量g和結構S滿足

g(Sx,Sy)=g(x,y),x,y∈Γ(TpM).

(3)

由(1)和(3)可得，度量g結構如下：

(4)

每個向量u的范數和兩個非零向量u和v之間角度的余弦分別為：

(5)

(6)

任意一個向量x∈TpM，我們把TpM上的一組向量{x,Sx,S2x,S3x}組成的基，稱之為TpM上的一組S-基，也說是向量x生成的TpM上的S-基.

定理1[9]設向量x生成了一個S-基，φ是x和Sx之間的夾角，則有：

(7)

4x2x4((x1)2-(x3)2)+4x1x3((x4)2-(x2)2)+((x1)2+(x3)2)2+((x2)2+(x4)2)2≠0.

(8)

(9)

即

2g(x,x)cosφ=a.

(10)

3 切空間TpM上的超球面方程

設pxyzt為以向量x,Sx,S2x,S3x分別位于軸px,py,pz和pt上的單位向量的一個標準正交坐標系，這里{x,Sx,S2x,S3x}是TpM的標準正交S-基.如果(x,y,z,t)∈TpM，則v可表示為

v=xu+ySu+zS2u+tS3u.

(11)

(12)

則超球面方程改寫為

a=2(xy+yz+zt-tx).

(13)

令坐標變換T:Px'y'z't'→Pxyzt,

(14)

于是超球面方程(13)轉化為

(x')2+(y')2-(z')2-(t')2=a.

(15)

對于度量g而言，我們認為上述方程是3-維雙曲面的方程.因此，

定理2設{u,Su,S2u,S3u}是TpM的標準正交S-基，且pxyzt是以向量u,Su,S2u,S3u為單位向量的標準正交坐標系，這里u∈px,Su∈py,S2u∈pz,S3u∈pt，則通過坐標變換(14)，可將超球面方程(12)轉化為方程(15).

推論1設σ是3-維雙曲面(15)，σ與坐標系Px'y'z't'的四個坐標面y'z't',x'z't',x'y't',x'y'z'分別交于σ1,σ2,σ3,σ4.

4 切空間TpM上的3-維子空間中的球面方程

設單位向量u生成S-基{u,Su,S2u,S3u}，則由3個向量生成的4個不同的S-子基，即{u,Su,S2u},{u,Su,S3u},{Su,S2u,S3u},{u,S2u,S3u}.這里我們只考慮切空間TPM中一個由向量u,Su和S2u生成的3-維子空間中的球面方程.

引理1設V為TpM中由基{u,Su,S2u}生成的子空間，則向量

(16)

是V的標準正交基.

證明利用 (7)和(16)，我們得到

g(e1,e1)=g(e2,e2)=g(e3,e3)=1,g(e1,e2)=g(e2,e3)=g(e1,e3)=0.

(17)

(18)

的分類.

(19)

證明設v∈V可表示為

v=xe1+ye2+ze3.

(20)

將(8)和(20)代入到(18)，并利用(3)，得到

a=2g(Sv,v)=2[x2g(Se1,e1)+xyg(Se1,e2)+xzg(Se1,e3)+xyg(Se2,e1)+

y2g(Se2,e2)+yzg(Se2,e3)+xzg(Se3,e1)+yzg(Se3,e2)+z2g(Se3,e3)]

(21)

使用(7)和(16)，我們有

(22)

將(22)代入(26)，就可以得到方程(19).

通過坐標變換T:Px'y'z'→Pxyz,

(23)

推論2設σ是由方程(23)滿足a=0情況下確定的曲面，則有

5 平面{u,S2u}中的圓周

設V是由向量u和S2u生成的平面，Pxy是V上以向量u,S2u為單位向量的標準正交坐標系，這里u∈Px,S2u∈Py(因為g(u,S2u)=0).

(24)

可以表示為

2(x2+y2)cosφ=a.

(25)

證明V上任意向量v可表示為

v=xu+yS2u,

(26)

這意味著Sv=xSu+yS3u.將(3)和(7)代入球面方程(24)，得到(25).

6 平面{u,Su}中的圓周

設V是由向量u和Su生成的平面，現構造V上的標準正交坐標系Pxy={p;∈Px,e2∈Py}.

引理2設V為TpM中由基{u,Su,S3u}生成的子空間，則向量

(27)

是V的標準正交基.

證明利用(3)和(7)，我們計算g(e1,e2)=0和g(e1,e1)=g(e2,e2)=1.

(28)

的分類.

(29)

證明V上任意向量v可表示為

v=xe1+ye2,

(30)

于是

a=g(v,v)=2[x2g(Se1,e1)+xyg(Se1,e2)+xyg(Se2,e1)+y2g(Se2,e2)],

(31)

利用(3)和(7)得到

(32)

將(32)代入(31)得到方程(29).

為了研究由(29)確定的曲線γ，通過坐標變換

T∶Px'y'→Pxy,x=cosθx'+sinθy',y=-sinθx'+cosθy'，

bx′2+cy′2=a,

(33)

其中

(34)

根據參數a,φ的不同情況，由方程(33)所描述了不同的二次曲線.