一類三維結合代數的分類*

李 軍，溫永琪

(贛南師范大學 數學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

在信息、控制、工程等應用領域中,會出現大量的行、列或對角線的對稱圖像(矩陣).鄒紅星等在研究譜線增強[1]時發現,利用短時Fourier變換的對稱性可以顯著減少矩陣的奇異值分解所需的計算量及存儲量.進而,他提出了行(或列)對稱矩陣的概念,并討論了它們的奇異值分解等問題(見文獻[2-3]).隨后,袁暉坪等人研究了行(或列)及行列對稱矩陣的相應性質及相關的矩陣分解(見文獻[4-8]).本文首先證明了實數域上的n階行列對稱矩陣全體構成一個半單的結合代數.而對于低維結合代數的分類問題,一直是研究者們廣泛關注的一個課題(見文獻[9-16]).本文利用Kobayashi.Y等人給出的實數域上三維結合代數的具體分類[9],用5階行列對稱矩陣形式給出了實數域上由行列對稱矩陣構成的含單位元的三維結合代數的分類結果.

1 記號和預備知識

定義1設A是實數域上的線性空間,在A中定義了乘法運算,稱A為實數域上的結合代數,當A滿足?a,b,c∈A,k∈,有

如果存在元素e∈A,?a∈A,ea=ae=a,則e是A的單位元,A叫做含單位元的結合代數.設b∈A,記CA(b)={a∈A∣ab=ba},稱為A中關于b的中心化子.令Mn()為實數域上的n階矩陣全體構成的結合代數.令

為單位反對角矩陣,En為n階單位矩陣.

定義2[4]設a=(aij)∈Mn()，稱

引理1[9]設U為實數域上含單位元e的三維結合代數,令e,a,b為U的一組基,則在同構意義下,結合代數U僅有以下6種情形：

2 行列對稱矩陣構成的結合代數

定理1設RCSn()為實數域上的n階行列對稱矩陣全體構成的結合代數,則RCSn()是一個半單代數.特別地,

證明RCSn()={a∈Mn()∣aJn=Jna}=CMn()(Jn),而Jn為實數域上的對稱矩陣,因此存在實數域上的n階可逆矩陣t使得t-1Jnt為實對角矩陣,令Λ=t-1Jnt.由可知,Λ2=En.可得t-1RCSn()t=t-1CMn()(Jn)t=CMn()(Λ).令則f2=f為冪等元.易證對于任意a∈Mn(),aΛ=Λa當且僅當af=fa.因此,CMn()(Λ)=CMn()(f).這里,若n=2k(k∈)為偶數時,則此時,從而RCSn()作為結合代數同構于若n=2k+1(k∈)為奇數時,則有因此RCSn()作為結合代數同構于得證.

由定理1可知,RCSn()有一個直和分解,當n=2k(k∈)為偶數時,RCSn()?Mk()⊕Mk();當n=2k+1(k∈)為奇數時,RCSn()?Mk+1()⊕Mk().特別地,當n=5時,RCS5()?M3()⊕M2().

定理2設A為實數域上由行列對稱矩陣構成的含單位元的三維結合代數,則在同構意義下,結合代數A僅有以下6種情形：

證明設三維結合代數A的一組基為e,a,b,其中e為A的單位元.容易驗證A0,A1,A2,A3,A4,A5為由行列對稱矩陣構成的含單位元的三維結合代數.對于結合代數A0,取e為5階單位矩陣,

由e,a,b共同構成了三維結合代數A0的一組基.通過計算可得a2=a,b2=b,ab=ba=0.由其乘法表可知A0?U0.類似地,通過在A1,A2,A3,A4,A5中容易找到合適的一組基e,a,b,由結合代數的乘法表可同理證得,A1?U1,A2?U2,A3?U3,A4?U4,A5?U5.而在同構意義下,由引理1可知,實數域上的含單位元的三維結合代數有且僅有這6種情形,得證.