結合加權低秩表示和L1范數的圖像混合去噪*

朱文生， 何顯文

(贛南師范大學 信息與教育技術中心，江西 贛州 341000)

1 引言

圖像數據在采集、發布、處理過程中不可避免地受到電子傳感器、成像光源、光線變化等多種因素的干擾，有時會受到高斯噪聲和椒鹽噪聲或脈沖噪聲的同時污染，將影響到后續的圖像分割、分類以及圖像識別等方面.因此，圖像去噪得到了廣泛而深入地研究[1-3].

一般地，圖像去噪問題在數學上屬于一種病態的不可逆問題.為了去除圖像中的噪聲，需要借助于圖像的先驗背景知識，而先驗知識的獲取依賴于圖像的建模.在過去的十多年里，人們提出了許多圖像模型，如全變分模型[4],自回歸模型[5]以及基于稀疏表示的圖像模型[6-8]等.

在面向圖像恢復的去噪模型中，稀疏模型得到了深入的研究和廣泛的應用.它的基本思想是將自然圖像表示為一組基或字典原子的線性組合，線性組合對應的系數具有稀疏性或可壓縮性，即只有少量不為零的表示系數.常見的基變換包括離散余弦基、小波基、傅里葉基等.通常來說，由于在稀疏表示中選擇的基變換是固定的，并且基于基變換的稀疏模型計算開銷也較大.因此，當前許多研究人員基于圖像的內在結構特點，如圖像內部數據之間存在一定程度的相關性或非局部相似性，采用低秩建模方法對圖像去噪模型進行深入研究[3,8-9].由于圖像常常受到來自高斯、椒鹽等多種噪聲的干擾，因此,需要對混合噪聲進行去除.目前已經有大量的研究工作處理混合噪聲，如文獻[10-14]等.其中文獻[10]針對不規則的圖像數據，采用加權保真和稀疏正則化方法，研究圖形式上的圖像混合去噪方法，為不規則圖像去噪提供新的思路.文獻[11]基于拉普拉斯分布尺度模型對混合噪聲進行建模，并結合低秩方法，對混合噪聲進行去除，取得了較好的效果.文獻[12-14]主要針對高光譜圖像數據進行去噪處理，由于高光譜圖像數據自身具有一定的冗余特性，這些方法均應用了低秩逼近的思想來對混合噪聲進行建模，其關鍵在于如何設計合適的秩函數.

基于以上分析，本文針對圖像同時受高斯和椒鹽噪聲的污染情況，提出了一種基加權低秩表示[9]和L1范數相結合的混合噪聲去噪算法.該算法利用了加權低秩表示描述圖像的全局內在特性，即圖像的內在冗余性質；然后利用L1范數刻畫椒鹽噪聲的稀疏性；最后通過仿真實驗驗證了本文算法的有效性.

2 圖像去噪模型

2.1 加權低秩表示

一般來說，基于稀疏表示和低秩約束的圖像復原[15-16]主要挖掘了圖像的內在結構體特性.從信號處理的角度看，圖像的變換系數大部分為零，表現為圖像的稀疏性；從數學的角度來看，在線性代數中，如果一個矩陣的秩遠小于矩陣的行數或列數，那么該矩陣為低秩矩陣.圖像的低秩性表現為圖像中具有大量的冗余信息.因此，利用圖像的低秩約束，可以進行圖像修復、圖像去噪、超分辨重建等處理.根據文獻[9],矩陣X∈m×n的加權低秩表示函數可表示為：

(1)

(2)

其中W和Δ表示對角元素分別為權值和矩陣奇異值的對角矩陣.

給定一個觀測的圖像Y，圖像去除高斯噪聲的目的是通過低秩恢復矩陣模型得到矩陣X，那么矩陣X在F范數數據保真和加權低秩表示正則化條件下可表示為：

(3)

其中α表示一個正則化參數，目的是為了平衡(3)式中的數據保真項和正則化項.

2.2 圖像混合去噪模型

針對圖像中含椒鹽和高斯的混合噪聲，模型(3)已經不能適應混合噪聲的建模.因此，觀測的含混合噪聲圖像可以表示為Y=X+N+E.其中Y表示觀測的圖像數據.X表示原始圖像數據，N表示加性高斯白噪聲，E表示稀疏噪聲，如椒鹽噪聲.根據圖像的內在低秩特性，圖像混合去噪模型可表示為：

(4)

2.3 模型的優化求解

根據上述分析，圖像混合去噪模型可進一步表示為：

(5)

(6)

其中μ表示懲罰參數,θ1,θ2均表示拉格朗日乘子.〈·,·〉表示兩個矩陣之間的內積，具體為兩個矩陣內對應元素相乘后再求和.然后對式(6)進行子問題劃分，共劃分為3個子問題,并對這3個子問題分別實施交替求解,即求其中一個變量的值,其他變量固定不變.下面分別對L, N, E三個子問題進行交替求解.

設已經經過k次迭代,那么第k+1次迭代時，L子問題可表示為：

(7)

(8)

最后根據凸差方法[15]和鄰近點方法求出式(8)的極小點，即Lk+1的值為：

(9)

N子問題可進一步轉化為:

(10)

由于問題(10)是個最小二乘問題，所以其有閉式解.其解為：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

綜上所述，本文提出的混合去噪算法可總結為表1所示.

表1 圖像混合去噪算法

3 實驗結果與分析

為了驗證提出的混合去噪模型算法性能， 本文在實驗中選用了Plane圖像作為測試數據，其像素大小為512×512.實驗環境在CPU 2.6G，內存為8G的PC機上運行，仿真工具為Matlab2016.正則化參數α,β,γ的取值分別是1.0，0.5和0.02，懲罰參數μ取值為0.1.圖1是本文方法和文獻[15,17-18]及文獻[19]對Plane經受高斯方差σn為25、椒鹽噪聲密度d為10%的混合噪聲污染后的濾波效果.從圖1中可以看出文獻[15]的三維匹配協同濾波方法雖可以去除噪聲，但是圖像過于平滑.本文方法效果相對文獻[17]方法的效果較好， 與文獻[18]效果相當，相比文獻[19]而言本文方法從視覺上看顯得更平滑，文獻[19]的對比度更強，但在圖像的平坦部分區域出現階梯效應.在圖像的細節部分本文方法比文獻[17]效果要好，如圖像中的英文標識方面.本文算法性能較好的主要原因是提出的算法一方面利用加權低秩表示方法刻畫了圖像的全局特性，另一方面也充分挖掘了圖像的稀疏特點.所以提出的算法在去除混合噪聲的同時也較好地保持了圖像的細節信息.

(a)原始Plane圖像 (b)噪聲圖像 (c)M-BM3D[15]方法 (d)ID-NLM[17]方法

表2分別給出了高斯噪聲方差為10、椒鹽噪聲密度0.20和高斯噪聲方差為20，椒鹽噪聲密度為0.30時以上各種方法的性能比較.采用的比較指標是峰值信噪比PSNR和結構相似度SSIM[19].從表2中可以看出本文方法的混合去噪性能相對文獻[15-18]較好,進一步驗證了加權低秩表示和L1范數的有效性.但是，本文方法與基于卷積神經網絡的方法[19]相比，性能偏弱一些.今后將進一步結合低秩和卷積神經網絡方法，設計更加魯棒的圖像混合去噪方法.

表2 Plane圖像在混合去噪后的性能比較

4 總結

本文聯合加權低秩矩陣近似和L1范數，設計一種圖像混合去噪模型，提出相應的圖像混合去噪方法.該方法充分利用圖像自身的內在稀疏特性，較好地去除圖像中的混合噪聲，保留圖像的細節信息.下一步的研究工作將結合圖像混合噪聲的統計分布特性，基于概率統計模型對含混合噪聲的圖像統計模型進行聯合建模，同時結合低秩和卷積神經網絡方法，設計魯棒的混合去噪方法，以進一步提高混合噪聲濾波的性能.