歷經課堂探究，學會數學思考

劉玉娟

一、教材分析

“相似三角形性質（1）”是北師大版新課標教材九年級上冊“4.7圖形的相似的性質”第一課時的內容，相似圖形是現實生活中廣泛存在的現象（全等圖形其實就是它的一個特例）。本課是“圖形的相似”一章的重要內容之一，是在學生學完相似三角形的定義及判定的基礎上，進一步研究相似三角形的特性以完成對相似三角形的全面研究，它是全等三角形性質的拓展，在圓中有著廣泛應用，也是近幾年中考的熱門考點。探索相似圖形一些重要性質的過程，不僅可以使學生更好地認識、描述物體的形狀，體會圖形相似在刻畫現實世界中的重要作用，進一步發展空間觀念、幾何直觀與推理能力，而且可以通過解決現實世界中的具體問題，提高學生的應用意識和合作交流能力。

二、學情分析

學生通過對相交線、平行幾何線、三角形、四邊形等圖形性質與證明的學習，已經積累了較為豐富的數學活動經驗，空間觀念逐步增強，直觀與推理能力都得到了一定的培養，為相似圖形的學習打下了基礎。在思維能力方面初步具備了思維的完備性、深刻性、批判性等思維品質，但尚待提高。九年級學生在以前的數學學習中已經經歷了很多合作學習過程，能夠主動參與，勤于動手，樂于探究，學生間相互評價、相互提問的積極性高。因此，參與本節課相似三角形有關性質的探索活動的熱情應該是比較高的。

三、教學法分析

本節課教學采用探究式和啟發式的教學法。通過實際情境的創設和解決，讓學生經歷把實際問題抽象為數學問題的過程;對性質定理的探究，經歷觀察、猜想、驗證、歸納、拓展的認知過程，讓學生在動手操作、主動探索、合作交流中培養學生大膽猜想、勇于探索、勤于思考的數學思維品質;通過例題的變式訓練、拓展延伸，感悟并體驗類比的數學思想、特殊到一般的數學思想、方程思想、數形結合思想等數學思想方法。

四、教學目標

1. 經歷探索相似三角形性質的過程，進一步體驗由特殊到一般的歸納思想和方法，積累數學活動經驗。

2. 了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比都等于相似比。

3. 在相似三角形性質的學習過程中，進一步發展勇于探究與合作交流的精神。

五、教學重難點

1. 重點：相似三角形的性質探究及證明

2. 難點：相似三角形性質拓展與簡單應用

六、教學過程

1. 創設情境，導入新課

課件展示生活中一些建筑物的圖片，請同學們欣賞觀察。

提出問題：在生活中，我們經常利用相似的知識解決建筑類問題。如圖，小王依據圖紙上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的立柱，小王在圖紙上量出CD的長，就可知道模型房梁的立柱C′D′的長。你能說出其中的道理嗎？

【設計意圖】 以現實的生活問題導入，經歷生活問題數學化的過程，使學生體驗數學來源于生活又運用于生活，激發學生學習興趣，從而引出本節課的學習內容。

2. 探究：相似三角形的性質

問題1：

（1） 如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？

（2） 已知△ABC∽△A′B′C′，若相似比為k時，則 =__________

（3） 據此，你可以發現相似三角形怎樣的性質？

【設計意圖】讓學生通過觀察、猜想、驗證、歸納的過程，初次經歷了從特殊到一般的過程，通過對問題串的解答，引發學生思維層層遞進，從相似三角形的最基本性質展開研究，使學生明確相似比與對應高的比的關系。

問題2：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應角平分線的比是多少？對應中線的比是多少？請同學們根據題意畫出圖形并證明你的結論。

【設計意圖】通過學生小組合作探究，同桌互講，給每一位同學表現的機會，體驗學習成功的喜悅。同時類比了上一問題的探究過程，引發學生產生主動探究意識，培養合作交流能力，發展學生類比的思維能力與歸納總結能力。

相似三角形性質定理：

相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比。

問題3：（變式拓展）

如圖：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為k;點D，E在BC邊上，點D′，E′在B′C′邊上。

（1） 若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，則 =? ___________

（2） 若BE=BC，B'E'=B'C'，則 = __________

（3） 你還能提出哪些問題？與同伴交流。

生1：若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，則 = __________

生2：若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，則 = __________

生3：若∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，則 = __________

生4：若BE=BC，B'E'=B'C'，則 =__________

生5：若BE=BC，B'E'=B'C'，則 = __________

生6：我發現只要是相似三角形的對應線段，它們的比都會等于相似比。

【設計意圖】在前面探索的基礎上，學生完全有能力獨立完成“變式問題”的探索，在探索過程中，再次讓學生經歷了從特殊到一般的過程，發展學生類比探究的能力與獨立解決問題的能力，培養學生問題創新性的思維品質。

3. 應用舉例，鞏固提高

例1. （填空）

已知：兩個相似三角形一對對應中線長分別是2cm和5cm，

① 它們的相似比是__________;

② 對應高的比是__________;

③ 如果一對對應角平分線中，較短的為3cm，則較長的為?__________。

例2. 如圖，AD是△ABC的高，AD=6，點R在AC邊上，點S在AB邊上，SR⊥AD垂足為E。當SR=BC時，求DE的長。

變式1：AD=6變為AD=h，其余條件不變，求DE的長.

變式2：AD=6變為AD=h，SR=BC變為SR=BC，求DE的長.

師：通過對例題及其變式題的探究與解答，你有什么收獲與感悟？與同學一起分享。

生1：我發現求DE的長，既可以直接求，也可間接求，有兩種求法。

生2：若用直接求需要建立含DE的長的方程求解，也就要建立方程模型來解。

生3：我發現不論題目怎么變，都用到了“相似三角形對應高的比等于相似比”這一數學知識。

生4：通過對這題的解答給了我一個啟示——如果相似三角形中有高這一基本圖形就應該要聯想到“相似三角形對應高的比等于相似比”這一性質。

師：同學們的回答真棒！可以看出通過對這一題的解答，大家的收獲很大，所以在平時的學習中我們要養成題后反思的習慣，努力做到舉一反三，觸類旁通。

師：同學們，你還能提出哪些問題來考考大家？試一試！

生1：如圖，AD是△ABC的高，DE=6，點R在AC邊上，點S在AB邊上，SR⊥AD垂足為E。當SR=BC時，求AD的長。

生2：如圖，AD是△ABC的高，AD=9，DE=6，點R在AC邊上，點S在AB邊上，SR⊥AD垂足為E，求SR與BC的數量關系。

生3：題目的其余條件不變，AD=6變為AD=h，SR=BC變為SR=BC，求DE的長。

說明：還有很多同學躍躍欲試，因時間關系，老師讓他們課后繼續提問題。

【設計意圖】通過這一組變式題的解答讓學生能夠運用前面所學知識解決問題，培養學生的發散思維能力，化歸、遷移思維能力和思維靈活性，同時讓學生深刻體悟從特殊到一般、類比等數學思想方法。

4. 課堂小結（初步升華所學內容）

通過本節課的學習，你有什么收獲？與同伴交流。

【設計意圖】在教師的引導下，學生自主進行歸納，能夠使所學的知識及時歸納入學生的認知結構。

5. 布置作業

必做題：習題2、3、4。

選做題：（補充）如圖所示，在△ABC中，邊BC=60cm，高AD=40cm，正方形PQRS的一邊PQ在BC上，另兩個頂點S，R分別在AB、AC上，SR與AD相交于點E。

（1） △ASR與△ABC相似嗎？為什么？

（2） 求正方形PQRS的邊長。

【設計意圖】通過作業的布置鞏固本節所學知識，實現對知識的應用遷移。分層作業讓不同層次的學生都能有所收獲。

七、教學反思

本節課“相似三角形的性質（1）”教學中，讓學生經歷知識的發生、發展、應用與拓展過程中，培養學生的問題意識，體驗感悟了數學思想方法。這樣的學習過程，對培養學生探究問題的科學態度、促進創造性思維的發展和學生后繼的數學學習以及數學能力的提高有著重要的意義?，F具體反思如下：

1. 讓反思在例題教學中充滿活力

在本節課的例題教學中，筆者引導學生作了如下的探索：此題主要考查了哪些知識點？解題結論是否正確？推理是否合理？有無其他解法（一題多解）？完成此例題的各種變式題后是否發現了各解法共同點與不同點？如此種種。許多學生由于學習態度和心理狀態的不同，或者缺少教師必要的指導和訓練，導致缺少這一重要環節，未能形成良好的解題習慣。本節課學生通過對上面一系列問題的反思，從失誤中吸取經驗，在回顧中積累經驗、提煉方法，于感悟中進一步體驗數學思想，從而達到了“做一題，通一類，會一片”的教學效果，解題能力和思維品質在更深和更高的層次得到了有效提高和升華。

2. 把變式訓練貫穿課堂始終

在本節課教學中，首先，在對相似三角形的性質探究過程中先對相似三角形的對應高的比進行探究，再變式為探究相似三角形的對應中線的比，對應角平分線的比，最后進一步變式拓展為相似三角形對應線段的比進行探究。通過對這一系列變式問題的探究，不僅激活了學生的思維，有效地培養學生思維的深刻性、廣闊性、獨創性和靈活性，而且能迅速提高學生分析問題、解決問題的能力。其次，在對例題的教學中，也對例題進行了一系列的變式，如條件與結論的互換、特殊向一般的變式、圖形的變式（體現在補充的作業上）等。通過這組變式題，可以讓學生根據不同的條件用類似的方法解決問題，不僅能使學生掌握基礎知識和基本的解題方法，而且激發了學生的探索興趣，從而深入數學本質，學會數學思考。

3. 注重學生課堂問題意識的培養

美國著名數學家哈爾莫斯曾說：問題是數學的心臟。學生自己發現問題和提出問題是創新的基礎，敏銳的問題意識和善于提問對于一個人的創造和發展有著非常重要的作用?？梢?，培養學生的“問題意識”是我們每個教師要解決的首要問題。在本節課的教學中，筆者在課堂上努力營造了一個敢想敢問的學習氛圍，創設了合適的提問題時機，所以在對相似三角形性質拓展的探究中學生自然而然提出了一串的問題，經歷了對相似三角形性質探究從特殊到一般的過程，從而得出相似三角形性質的更為一般性結論——“相似三角形對應線段的比等于相似比”，提高了學生思維的深刻性。特別是在例題的教學環節中，在筆者精心的引導和鼓勵下，學生熱情高漲，積極參與，提問題的學生越來越多，提的問題也越來越有價值，將例題進行了深入的剖析，把課堂氣氛推向了高潮，讓課堂煥發出了生命的活力。