長程視域：小學數學作業典型錯例的迷思與矯正

沈 俊

（南京市江寧區秣陵中心小學，江蘇 南京 211111）

在小學數學教學中，教師布置作業的目的通常有三：一是鞏固知識技能；二是延續數學課程；三是補充評價方式。學生在完成作業的過程中，總會出現偏差或錯失，其中具有代表性的錯例可稱為“典型錯例”。對“典型錯例”的研究，將有助于教師診斷學情，改善教學，從而提升自主執行數學課程的能力。

一、“典型錯例”的迷思與溯源

學生數學作業中錯題何其多，教師的迷思在于：那些“易錯的”“總錯的”的典型錯例，不會隨著時間的推移或教學對象的更替而“變得好一些”。這讓我們在迷思中對“為什么總是錯”追根溯源。

（一）知識與方法的緣由

學習者在知識結構或程序方法上有缺失和疏漏。這通常會被教師歸結為“學生上課注意力不集中”“做題不細致不檢查”，并因此苦口婆心地勸誡學生“上課好好聽”“認真讀題”等。比如：“4元買了5 支鉛筆。每支鉛筆多少元？1 元可以買幾支鉛筆？”如此淺白的一段話，學生自然讀得通順，但解答時卻常?！胺嚒?，到底是“4÷5”還是“5÷4”？

有的教師“絕望”后，就會“套路”學生：“仔細看問題??！問‘每支’就把5當作除數，問‘1 元（每元）就把4 當作除數’。記住了吧？”可是換了問題情境或描述形式后，學生還是不會。

這種方式不管用，是教師單方造成的。溯源學生“總是錯”的緣由，是根植于教師心中的“效率論”，總想多快好省地把更多的知識與技能傳授給學生，總想通過更多的作業進行鞏固和熟練，學生卻“無福消受”。

課程的參與度和學生的注意力等問題本質上是教師的問題，好的課程設計自然會吸引眼球。簡單的糾錯方法表面看起來有效率，卻常常不為學生所接受與消化。

（二）心理與情感的因素

教師也常將錯例的形成原因歸結為“不喜歡數學”“沒有良好的習慣”“沒有挑戰難題的決心和勇氣”，即學生認識不到數學學科的價值，對數學學習缺乏應有的良好態度。其實，教育學首先是一種關系學，良好的教育發生在良好的師生關系上。小學階段的學生尤其如此。正所謂“親其師信其道”。

教師不能忽略典型錯例形成的情感因素和心理機制。比如：作業中的規范意識，克服困難的勇氣，自我調控的心理，培植耐心、細心和責任心等。為此，教師在設計矯正教學流程時，應充分考量學生的經驗基礎和心理機制，營造安全的錯例分享氛圍。譬如：作業對了不浮躁、錯了不可恥、糾錯了不起、傾聽是好品質、分享自己的錯更值得大力表彰等。如此，學生在矯正錯例時，將由被動到主動，由消極到積極，其參與度與獲得感會大大提升。教師可常常設計這樣的矯正問題：說說你是怎么錯的；他的方法錯在哪里；他說的糾錯方法好在哪里；還有更簡潔的思路嗎；你來出一道類似的題給大家做。

二、重塑“矯正方法”的認知與策略

認識到典型錯例產生的原因，教師糾錯時設計的矯正方法就不會短視，一味地追求效率，而是要奉行長期主義，葆有長程視域，把每一個錯“點”聯結成“線”，系統地看待錯失與疏漏。這里的“長程視域”有三方面的意蘊：一是將點狀斷裂的錯誤進行系統分析，使其成為一個結構化的整體，并與學習者的經驗有效對接；二是在實施矯正教學時，既重視補償缺漏的知識技能，也要養育良好的數學學習情感；三是要拉長矯正時間。從錯例的這個“點”散發開去，整體考量錯例，即：怎樣錯的、為什么錯、怎樣糾錯、這樣矯正對后續學習有什么影響。下面，筆者試舉一例，以說明長程考量矯正方法的意義與策略。

案例1：以“4 元買了5 支鉛筆。每支鉛筆多少元？1元可買幾支鉛筆？”為例。筆者任教的班級有46 名學生，首次練習此題共計有15 人混淆，不明白到底是“4÷5 還是5÷4”，錯誤率達三分之一，且平行班存有大量錯誤，歷屆學生皆會如此，此可謂“典型錯例”。如何矯正？只有體認、觀照到兒童學習難處，才有可能設計出針對性較強的矯正流程。

1.分析錯誤原因

一是難在讀不懂?！?元買了5支鉛筆”這句話文字上淺白易懂，但這個“懂”缺乏數學意義的支撐。讀不懂則無法調用合適的經驗來解決問題。

二是難在不好區分。五年級的學生在數學課堂里正式初始學習小數除法，原有的整數除法“大數÷小數”的經驗會阻礙新知的遷移。何況把“4÷5”和“5÷4”混雜在一起，還要區分其不同的數學意義呢？

三是難在無法適時地進行心理調節。結論無法確認怎么辦？隨便寫一個交差嗎？學生尚不能自覺追問結果的邏輯自洽。

2.長程設計流程

環節（1）：達成基本理解。

師：你怎么理解“4元買了5支鉛筆”？

生1：如果是“4 元買了4 支鉛筆”，那么每支鉛筆1元。這里“4元買了5支鉛筆”，說明每支鉛筆不到1元。

生2：也就是說1 元買一支鉛筆，還要找零。1元可以買到一支多鉛筆。

師：這兩種方法至少能告訴我們是不是“算反了”。

生3：“4元”是總價，“5支”是數量，用“總價÷數量，4÷5”能算出單價“每支鉛筆多少元”。反過來“5÷4”就是求“1元可買幾支鉛筆”。

師：能用前面學過的“數量關系”來解決新問題。真好！

生4：可以畫圖理解（如下，學生的闡釋略去）。

師：畫圖既能幫助我們直觀地理解題意，也能從結果上看出是否符合題意。

環節（2）：呈現個性方法。

生5：老師，我受畫圖法的啟發，想到一個簡單的方法，永遠不會錯?。ㄕ埶虾诎暹叜嬤呏v解）先寫出“4 元=5 支”，再把“4”移到右邊來，就寫成“5÷4”，算的就是1 元能買幾支鉛筆；如果把“5”移到左邊去，就寫成“4÷5”，算的就是1支鉛筆多少元。

師：真有創意，很直觀，此處應該有掌聲！

環節⑶：學生模仿出題。

師：誰能模仿“4 元買了5 支鉛筆”，出一道題給大家做？

生6：東東6分鐘寫了8個毛筆字。每分鐘寫幾個毛筆字？寫1個毛筆字要用幾分鐘？

生7：把2米長的繩子截成5段?？梢蕴崮男﹩栴}？怎樣解答？

……

分析上述案例，我們可以進一步明晰長程設計“典型錯例”矯正方法的意義與策略。

（一）長程設計矯正方法的意義

葉瀾教授認為，課堂教學要“將結構化后的以符號為主要載體的書本知識重新‘激活’，實現與三方面的溝通：書本知識與人類生活世界溝通，與學生經驗世界、成長需要溝通，與發現、發展知識的人和歷史溝通。用通俗的話來說，就是使知識恢復到鮮活的狀態，與人的生命、生活重新息息相關，使它呈現出生命態?！保?］這就是一種長程視域，要將教學從“碎片化”轉向“結構化”，從“知識態”轉向“育人態”，從“效率化”轉向“生命化”。

長程視域相對于急功近利的短視，具有課程視界和單元視角的整體性、系統性，教師要舍得在錯誤原因分析和矯正流程設計上花時間、下功夫，以期學生真正能從知識技能、思想方法、情感態度上獲得新認知。

1.達成長程理解

學生將語言描述或文本呈現轉化為數學意義上的理解，不是一件容易的事。此過程需要學生適當提取已有的經驗，也需要在與同伴對話中獲得啟迪，更需要教師在思維“憤悱”處加以點撥。如上述案例中，學生能提取常見的數量關系“總價=單價×數量”，自然能理解“4÷5”和“5÷4”所蘊含的不同數學意義。推而廣之，舉一反三，這一類題都將得以解決。另外，學生畫圖“把4 從左邊移到右邊”“把5從右邊移到左邊”，既符合直觀性的操作原則，易于學生理解“4÷5和5÷4”，也為理解分數意義“4/5和5/4”作了鋪墊，同時也是方程移項方法的雛形。

2.積淀個性經驗

課堂上有充分的時間展示、討論和辯駁，師生均卷入其中，不再存有“局外人”，不同水平的學生將獲得“屬于自己的句子”，錯誤得以糾正，認知得以更新。這是一種“難教之法”——“難教之法”不是故作高深，刻意作難，而是指教師要探明學生的已有經驗，理解其學習的“痛點”，精心設計教學流程和補償策略，科學施教，精準干預?！敖獭睉摫M可能走在“學”的前面［2］。如此，學生才會迷途知返，不再重蹈覆轍，積淀具有個體標簽的錯題矯正經驗。

（二）長程設計矯正方法的策略

從上述案例中，我們可以得出有效矯正“典型錯例”，教師要舍得投入時間與精力成本：一是單元備課時精心提前預判；二是有專屬時間進行矯正。把原本較短的錯題矯正時間，拓展成二十分鐘甚至一節課，長程考量，保障矯正時間，科學施教，才有可能避免走進同一條犯錯的河。為此，筆者建議在實施矯正課程時要找準時間節點，比如可每周安排一次，可在單元課程結束時安排，可在某個知識點診斷后安排，可根據需要適時靈活安排等。

根據個人教學實踐，筆者初擬出矯正“典型錯例”的基本流程與策略，以資批判與借鑒。

1.預判錯誤原因

教師至少在執行單元課程時，要對知識點進行梳理，對“重難點”“易錯點”有預判，特別是對“典型錯例”有詳盡分析——可能錯在哪里、會有幾類錯誤、有哪些知識缺欠、經驗的斷裂點在哪里等。

2.引領課堂討論

錯題是重要的教學資源，化錯為寶是為教學智慧。學生也只有理解錯例的“然和所以然”后，才有可能避免二次犯錯。所以，置身其中，身臨其境，才能有所感悟。教師為此需要發揮引導者的作用，在憤悱處點撥，在迷失地指明，在關鍵點導引。

3.倡導直觀分析

學生存在認知差異，不可能處于同一個水平上。這對大班額教學而言是一種挑戰。但教學實驗、教具演示、觀摩實物、觀看動畫、畫示意圖、畫線段圖等直觀分析方法有助于學生激活已有經驗，走向認知的“最近發展區”。直觀分析也有助于學生重構問題情境，促使發生精細加工。

4.學生自主出題

學習的發生通常是從觀察和模仿開始的。學生自主出題基于學習者既有水平，且需調用合適的知識，又能激發想象力，是促使學習者集體參與課堂討論的有效舉措。學生自主出的題中，有的是“照搬”，有的是“高仿”，有的是“變異”，有的是“超越”，適合各種差異水平的學習者參與，豐富了題型題組，拓展了思考邊界。

常使用上述矯正典型錯例的基本流程與策略，將會促使師生逐漸形成一種認知圖式。圖式是將大量的信息組織進一個有意義的系統的結構，其有助于編碼，因其給新學習的內容添加了細節。圖式幫助我們產生和控制日常序列化的行動［3］。長期有計劃地執行此流程與策略，便會形成一種范型和框架，其優勢體現在：教學預設更周詳，矯正時間有保障，教學方法更優化，討論細節更豐富，學生參與更廣泛。矯正課程因長程視域更具實效。

三、“典型錯例”矯正分類舉隅

為豐富“典型錯例”的題型和矯正方法，以下再試舉三例，以供一線教師在具體操作時參考。

（一）概念理解矯正：讓隱性知識顯性化

數學概念的特征是其表達的簡約性和概括的抽象性。正是這種簡約和抽象，遮蔽了前人實踐探索的復雜性、過程性和豐富性，一句看似平白簡短的描述，實則蘊含著諸多的數學意義。

學習完蘇教版教材五上“圓”單元知識后，有作業形如：“請畫一個半徑2 厘米的半圓，并求出它的周長?！睂W生無可避免地要在“半圓”類的題型里糾纏不清。教師常常將學生的錯誤原因歸結于“讀題不清”，多要求學生圈劃關鍵詞“半徑”“半圓”“周長”，如此，便可降低錯誤率。此不失為一種強化形式，但更科學有效的矯正方法是要有“長程視域”——錯例的根本原因是什么？怎樣矯正更有效？

環節1.教師出示“圓周長的一半，半圓的周長”。要求學生：讀三遍，讀通順；數學上有什么不同？你有什么辦法讓大家都明白。

環節2.師生討論。引導學生從語詞上理解，比如：“圓周長的一半”是以一個圓周為研究對象，圓的周長已經存在了，它的一半“用圓周長除以2”就行；“半圓的周長”是以半圓為研究對象，所以需用“圓周長除以2 加直徑”。如是，“畫圖法”呼之欲出?！爱嬕划嫛奔仁窃黾硬僮骷毠?，也是讓隱性的思維顯性化。如下圖：

環節3.教師領著學生描一描，畫一畫，指一指，再給出數據，請學生計算。

環節4.呈現作業中的典型錯例，主要有兩類：一是計算含有半圓的組合圖形的周長或面積；二是解決實際問題，如“靠墻圍的半圓雞圈”等。

環節5.每個學生出一道與“半圓”相關的題，與同學交流。

“圈劃關鍵詞”只是一種外在的強化手段，有一定效用，但尚需尋找錯誤的內在原因，從根本上理解概念?！皥A周長的一半和半圓的周長”這句話讀起來像拗口令，學生理解起來比較困難，容易混淆。其內在原因是對“周長”這一概念理解的缺漏。一個生活中的圓形物體或數學上的幾何圓呈現在眼前時，人容易感知的是其面積大小，而非其一圈邊線的長短。所以，學生很容易受到“面的一半”的負遷移，產生“線的一半”的錯誤結果。因此，需要在語詞上初步理解后，通過畫一畫、描一描、指一指、說一說、算一算等具有數學意義的操作后，使隱性的關聯顯性化，才能真正為學生所理解。教師的作用是分析原因、設計流程、相機點撥，讓學生在對話中糾偏、鞏固、熟練。

（二）算法算理矯正：使操作序列化

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出要發展學生的運算能力。運算能力主要是指能根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。［4］于是，小學數學作業中常見的要求“下面各題，怎樣算簡便就怎樣算”便成了學生計算時揮之不去的夢魘。譬如，蘇教版教材五上“小數加法和減法”單元里的題目“12.45-3.6-2.45+4.4”，學生最常見的錯例如下：

教師常用調侃的語氣訓誡學生“不能對簡便計算上癮”，卻對錯因缺乏系統分析。筆者認為至少對以下幾個問題有了清晰認知后，才能較好地矯正錯例，如：運算順序是運算律的基礎、同級運算可靈活應用交換律、讀題分析優于直接計算等的欺騙性等。

為此，筆者設計了“朝三暮四猴吃桃”的故事情境，讓學生在對話中自悟，舉一反三。

師：聽過“朝三暮四”的故事嗎？有什么數學上的啟發？

生：3+4=4+3；加法交換律a+b=b+a。

師：如果再添1個桃，你還能想到什么運算律？

生：加法結合律a+b+c=a+（b+c）；3+4+1=3+（4+1）；3+4+1=4+3+1；3+4+1=1+3+4；幾個數相加，可以任意交換位置，把其中的兩個數先加。

師：我們把故事再改一改：猴媽媽有10個桃，上午給小猴3 個桃，下午給小猴4 個桃，還剩幾個桃？作為五年級的孩子，你有幾種不同的方法解決這個問題？具體說一說其中的數學道理。

生：10-3-4=3；10-4-3=3；10-（3+4）=3；10-（4+3）=3。

師：五年級了，可不能這么“小兒科”，來點挑戰，增加一個條件，比如——

生1：晚上又給小猴2 個，還剩多少個？可以列式：10-3-4-2；10-3-2-4；10-4-3-2；10-4-3-2；10-2-3-4；10-2-4-3?？梢匀我庹{換3 個減數的位置，差不變。

生2：也可以列式：10-（3+4+2）；10-（3+4）-2；10-3-（4+2）；10-3-（4+2）等很多不同的算式。靈活應用了“a-b-c=a-c-b=a-（b+c）”的運算性質。

師：再來改題：猴媽媽有10 個桃，上午給小猴3個桃，下午給小猴4個桃，晚上猴爸爸又采回來2個桃，現在猴媽媽有幾個桃？挑戰一下自己，看看你能寫出多少個不同的綜合算式。

生：略。

師：（呈現上述錯例）下面我們再來看看這道題錯在哪里？關于加減混合運算和“怎樣算簡便就怎樣算”，你又有哪些新的收獲？

學生討論，教師相機點撥與小結，形成以下糾錯算式：

……

經此“刻意訓練”后，學生一般能形成這樣的簡便計算策略：先觀察混合運算算式的特點，是否能運用相關的運算律或運算性質；再耐心地調整算式的順序，一步一步用遞等式計算；若有時間，可用其他方法進行檢驗。如此，才能正確、靈活地計算，形成計算能力。學生總結的經驗，如“同級運算，先帶著它前面的符號走”才顯得鮮活生動，每個孩子都能在課堂里擁有自己的話語權，創造屬于自己的學習故事。

（三）問題解決矯正：重新表征問題情境

如果當前狀態和目標之間存在障礙，且這個障礙無法排除，問題便產生了。界定良好的問題通常有一個正確的答案，當調用某個流程或序列時，就能夠找到答案。反之，解決問題的思路和方法短期內不明晰，就是一個界定不良問題。對于格式塔心理學家來說，問題解決是：（1）問題在人們的頭腦中是如何表征的；（2）如何解決一個問題，包含對問題表征的重組和重構［5］。由此，對問題情境再加工與表征方式的重構，使結構不良問題轉化為界定良好的問題，是正確解決問題的關鍵。

蘇教版教材五下“因數和倍數”單元里的經典題型：“體操隊訓練，排成12人一隊，缺4人；排成15人一隊，還是缺4 人。這個體操隊最少有多少人？”此題的主要錯因有兩點：一是無法達成數學意義上理解；二是不能正確調用相關知識。所以，教師可倡導學生使用畫圖、列舉等方法，對問題情境重新表征，使之為學生可感知，可觸摸，可理解。筆者設計教學流程如下：

環節1：讀題。哪兒不太懂？請“懂”的學生說一說自己所理解的題意。

環節2：畫圖（如下左圖）或列舉（如下右圖）。只考慮第一個條件“排成12 人一隊，缺4 人”，可能會是多少人？再考慮第二個條件“排成15 人一隊，缺4人”呢？

環節3：說理?！绑w操隊最少有多少人”與什么知識有關？怎么辦？

環節4：解答。［12，15］=60，60-4=56（人）。

環節5：檢驗。56÷12=4（隊）……8（人）。這里的余的8人和缺的4人有什么關系？

環節6：拓展。如果不強調“最少有多少人”，你還能說出一種可能嗎？

環節7：出題。出一道類似的題給自己做，次日分享。

如上述案例，教師有經驗對典型錯例進行預判，可將矯正流程前置，避免學習者陷入錯誤的泥淖。師生共同將抽象的文字通過畫圖、舉例等方法重新表征，使問題結構由不良轉為良好，各種問題解決的方案便水到渠成了。

“我都講了N 遍了，學生怎么還錯”——是的，即使教師再講“N”遍，學生也還是會犯錯，這是“典型錯例”固有的樣態。即：如果教師總是追求所謂的“效率”，就題講題，就錯論錯，只是進行知識技能的復制搬移，不去思考知識產生背后的邏輯與意義，不去思考由此及彼的認知序列，那矯正教學就會流于表面，無法取得實效。但教師若葆有“長程視域”，遵循“矯正流程”——預判錯誤原因，引領課堂討論，倡導直觀分析，學生自主出題，把“錯點”放大，將“短線”拉長，則有可能“連點成線”“化錯為寶”，使矯正教學真正貼緊學生的經驗，走進學生的思考，擊中學生的靈魂?！?/p>