邵慧敏,劉蒙蒙,宋方應
(福州大學數學與統計學院,福建 福州 350108)
考慮水平夾板中處在重力場下的靜止流體,其下層比上層熱. 當上下層的溫差相對于流體黏性及熱導系數適當大時,該靜止狀態將會不穩定,即對該狀態進行微小擾動,則擾動會進一步放大. 特別地,下層輕的熱流體向上運動,上層重的冷流體向下運動,形成熱對流現象. 目前熱對流不穩定性問題(也稱Rayleigh-Bénard問題)已被廣泛研究,本研究主要討論磁流體中的熱對流問題.
1951年,Thompson[1]首次研究外加磁場對磁流體中熱不穩定性的影響. 后來Chandr-asekhar[2]理論上發現磁場具有抑制熱不穩定性的作用. 該理論結果被Nakagawa[3]在物理實驗上驗證. 1985年,Galdi[4]則通過有磁耗散的磁Boussinesq方程數學上嚴格驗證了該抑制現象. 最近,Jiang等[5]進一步給出無磁耗散情形的數學證明. 本研究則在文獻[5]的研究基礎上進一步考慮旋轉下的無磁耗散的磁Rayleigh-Bénard問題,其中數學模型如下:
(1)
下面簡要介紹上述模型中的數學符號.
由于考慮上述模型的解是水平周期運動的,因此引入如下有限高且水平方向上是周期的區域:Ωh:={(xh,x3)∈R3|xh:=(x1,x2)∈T, 0
(2)
現在,沿式(1)的平衡態進行微擾,則有如下擾動量表示:
則擾動量(v,θ,N,β)滿足如下擾動方程組:
(3)
給予如下初邊值條件:
(v,θ,N)cct=0=(v0,θ0,N0), (v,θ)|?Ωh=0
(4)
結果,旋轉下磁Rayleigh-Bénard問題的穩定性問題可歸結為初邊值問題(3)~(4)是否存在穩定性解.
由于直接研究初邊值問題(3)~(4)的穩定性是很困難的,將該問題轉化到拉格朗日坐標系下. 為此,定義可逆映射ζ0:=ζ0(y):Ωh→Ωh,其滿足?Ωh=ζ0(?Ωh),det?ζ0=1.并定義流映射ζ為初始值問題ζt(y,t)=v(ζ(y,t),t)和ζ(y, 0)=ζ0的解.
(5)
(6)
(7)
(η, ?,u)|t=0=(η0, ?0,u0),(η, ?,u)|?Ω=0
(8)
結果,初邊值問題(3)~(4)是否存在穩定性解可歸結為變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)~(8)是否存在穩定性解.
主要建立起變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)~(8)的穩定性條件,并在該條件下給出變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)~(8)存在穩定性解. 在給出主要結果之前,需要介紹一些簡化符號.
現在給出本研究的主要結果.
2)ζ0:=y+η0滿足?Ωh=ζ0(?Ωh)和det?ζ0=1;
(9)
注2由于穩定性條件與角速度a無關,因此定理1的結果表明旋轉應該不具有促進磁流體中的熱不穩定性產生的作用.
注3當δ>0充分小時,有ζ:=η+y:Ω→Ω是微分同胚映射,因此可通過無量綱處理的逆過程,以及拉格朗日坐標逆變換得到初邊值問題(3)~(4)的穩定性解,且該解關于時間代數衰減.
類似于文[6]中的線性迭代方法,很容易建立起變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)~(8) 的關于時間局部解存在性結果,因此為了得到定理1的全局存在性結果及穩定性估計(9),只需建立起先驗穩定性估計(9)即可. 為此,令(η,u, ?)及q為問題(7)~(8)的古典解,并且對于任意給定的T>0,滿足:
(10)
det(I+?η0)=1
(11)
其中,δ是充分小的,只依賴于已知的物理參數. 則通過類似于文[5]的標準能量方法,很容易得到下列低階、高階和最高階能量不等式.
(12)
(13)
(14)
結果可知:
(15)
從而
(16)
對式(13)的t進行積分,可得:
(17)
(18)
則可從式(16)~(17)推出:
從而
(19)
(20)