黃裕淞,魏鳳英
(福州大學數學與統計學院,福建 福州 350108)
傳染病在某個區域傳播后,會隨著人群的流動在不同區域開始傳播. 研究多斑塊傳染病模型的動力學特征十分必要,相關研究成果較為豐富. 例如利用非負矩陣的相關理論,結合圖論構造 Lyapunov 函數,進而探討傳染病模型的動力學行為[1-4]; 采用隨機過程刻畫傳染病模型的主要參數,討論多斑塊傳染病模型的滅絕與持久性生存問題[5-8].
疫苗接種后,人體獲得的免疫能力并非長久有效,因此,一些學者提出了臨時免疫并開展研究[9-12]. 結合個體遷移方面的研究工作[13-14],假定接種人群在不同斑塊之間的流動不受限制,提出具有接種和遷移的SIV多斑塊模型:
(1)
定理1的證明參照文獻[15]的定理1,此處略去.
證明 對于模型(1),求出:
(2)
類似地,得到:
(3)
定理2假設(βkj)n×n是不可約的.若R0>1,且
(4)
(5)
(ω1,ω2, …,ωn)ρ(M0)=(ω1,ω2, …,ωn)M0
(6)
定義一個C2函數F:?!鶵,即:
F(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)=NW1+W2+W3+W4+W5
(7)
(8)
下面,定義一個C2函數W:?!鶵+∪{0},即:W(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)=NW1+W2+W3+W4+
類似地,可得:
(10)
(11)
(12)
(13)
于是有:
(14)
其中:
(15)
定義有界閉集Uε如下:
(16)
k=1, 2, …,n.其中ε>0是一個充分小的常數.在集合ΓUε中,通過選擇足夠小的ε滿足:
(17)
為了驗證LW≤-1在ΓUε中總是成立的,把ΓUε分成4個部分:
(18)
情況1當(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)∈U3時,有:
(19)
情況2當(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)∈U4時,則有:
(20)
所以,LW≤-1在ΓUε總成立,證畢.
定理3若
(21)
則每個斑塊的感染者數量都趨于零,K1見(5)式.
(22)
其中:
則有:
(24)
對不等式(24)兩邊同時積分并除于t,可得到:
(25)
其中:
(26)
上式是一個局部鞅,其二次變分為:
(27)
(28)
定理4假設(βkj)n×n是不可約的.若
(29)
則每個斑塊的感染者數量都趨于零,其中K1和K2見式(5).
其中:
(31)
于是有:
(32)
對式(32)兩邊積分并除于t,有:
(33)
這里
(34)
上式是一個局部鞅,其二次變分為:
(35)
(36)
圖1 模型(1)的感染者數量的模擬路徑 Fig.1 Paths of the number of the infected to model(1)
下面驗證定理2的充分條件.當β11=0.57,β12=0.5,β21=0.45,β22=0.5時,有:R0=2.959 3>1, 且
(37)
定理2的條件滿足,那么模型(1)存在平穩分布,疾病將流行,如圖1~2所示.
(a) S1的直方圖
(b) I1的直方圖
(c) V1的直方圖
(d) S2的直方圖
(e) I2的直方圖
(f) V2的直方圖
圖3 感染者滅絕性的模擬路徑Fig.3 Paths of the extinction of the infected
最后,驗證滅絕性的充分條件. 取β11=0.045,β12=0.03,β21=0.03,β22=0.045時,得到:
(38)
定理3和定理4的條件都滿足,因此疾病將會滅絕,如圖3所示.
本研究討論了具有接種和遷移的多斑塊SIV傳染病模型(1). 首先證明了模型(1)的正解在任意正初值下的全局存在唯一性; 接著通過多組Lyapunov函數的構造,證明了模型(1)存在平穩的馬爾可夫過程(見定理2). 通過驗證滅絕性的充分條件,得到感染者數量將趨于滅絕的結論(見定理3~4),最后應用數值模擬驗證了主要結果.