活用學生資源 激活高階思維

江蘇南京市長江路小學（210018）鄒佳琦

一節數學課能留給學生什么？是碎片化的數學知識，還是知識背后通透的意義和關聯？是淺嘗輒止后的平淡無奇，還是頭腦風暴后的意猶未盡？是眼前的“風景”，還是希望的“田野”？當下，一些教師更多的是關注學生對知識的記憶、理解、運用等低階思維的培養，很少給學生提供分析、評價和創造等高階思維的機會，因此學生在日復一日的機械化訓練中對數學的體驗不深入、理解不深刻，逐漸失去了學習數學的動力和興趣。

精彩的課堂往往離不開學生的生成，學生的數學思維不是靜止的，而是一種動態的“流”，至于流向哪里，取決于教師能否把握學生思維發展的走向。數學課程標準指出，數學課程的目標是要能夠培養學生的抽象思維和推理能力，發展學生的創新意識和實踐能力。如何實現這樣的目標，切實有效提升學生的數學核心素養？關鍵在于教師要以高階思維為支撐，通過各種形式將學生的生成進行加工，抓住契機優化學生的思考模式，引導學生形成知識技能和數學思想。唯有如此，方能培養學生的高階思維。

一、拋磚引玉，在質疑中探索

學生學習知識時，可能會由此及彼地聯想到相關的一些問題進而產生疑問或者提出不同的見解。此時，教師應該專注傾聽，讓有價值的質疑成為教學難點的突破口，讓學生經歷主動猜想、探究、論證的過程，促使學生在已有的知識背景下發現新問題、學習新知識，對具體問題做出多角度的聯想和思考。

例如，教學“商不變規律”時，教師要求學生自主計算、對比，探究得出“被除數和除數同時乘以或除以一個相同的數（0除外），商不變”這一規律。正當教師準備帶領學生練習時，一位學生提出疑問：

生1：商是不變了，那萬一有余數怎么辦？余數是變還是不變呢？

師：這位同學提了一個非常有價值的問題，那接下來請同學們圍繞這個問題，先思考，再用喜歡的方法來證明自己的觀點。

生1：我認為余數是要變的。我是用豎式計算證明的。比如900÷40=22……20和90÷4=22……2，被除數和除數都同時縮小了10倍，余數也縮小了10倍。

生2：我也認為余數會變。如果余數不變的話，反過來驗算就不成立。比如900÷40=22……20，被除數和除數縮小10倍，假設余數不變，就是90÷4=22……20，反過來就是4×22+20=108，不等于90，所以余數肯定要變。

生3：我們剛學的是“商不變規律”，它沒有說余數不變，商和余數是兩回事，所以被除數和除數擴大或縮小時，余數也應該有相應的變化。

……

師：大家說得都很有道理?？磥泶蠹彝ㄟ^思考都找到了答案。沒錯，當有余數時，余數是要變的，被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數（0除外），那余數也要擴大或縮小相同的倍數。

至此，學生明確了“商不變，余數要變”的道理。在此過程中，學生的思維得到解放，他們敢于嘗試、敢于分析，在生生、師生互動中深入學習與思考。因此，面對學生的質疑，教師要營造平等輕松的學習氛圍，不妨將學生的質疑再次以問題的形式還給學生，放手讓學生探索解決問題的辦法。

二、順勢而為，在問題中思辨

學生為什么只有一種想法？為什么常常出現思維定式？為什么只會書本上教的知識？海闊憑魚躍，天高任鳥飛。在當下的信息化社會，如果教學還囿于一隅，那么學生的視野將會變得狹隘，思維就會僵化，長此以往，不利于數學素養的提升。唯有讓學生思維碰撞，迸發出智慧的火花，才能閃現那極具創造性的靈光。

教學可圍繞問題來展開。問題主要分為教師的問題和學生的問題。然而很多時候，大家似乎更加關注教師的問題，而忽略了學生的問題。學生問題表達的其實是內心最真實的困惑，反映了認知的起點，即我在哪里，準備往何處去。面對學生的問題，如果只是避重就輕，那課堂并非是在為學生服務，而是在解決教師的問題，很容易陷入為活動而教和為灌輸而教的兩大誤區?！秾W習的本質》一書中指出，只有當個體進入了提問步驟，他才會試圖去理解?；诖?，教師首先應當重視學生提出的每一個問題，保護學生的求知欲；其次在面對學生提出的形形色色的問題時，要善于甄別和捕捉，緊扣數學本質，充分挖掘問題的價值，實現學生思維“增值”。

例如，教學“萬以內數的讀和寫”時，筆者大膽放手，課前讓學生預習后試著提1～2個自己認為最有價值的問題并寫在學習單上。第二天上課時，讓人感到驚喜的是，筆者想要問的問題，學生基本上都提出來了，比如萬以內的數怎么讀寫？萬以內的數在讀寫時要注意什么？為什么0在中間需要讀？等等。當然，也出現了筆者沒有預設到的問題。

生1：為什么中間連續有2個0的四位數只讀一個0？

師（起初并沒有多想，只是把它看作一個規定，即中間有2個0時只讀1個0）：誰能回答他的問題？

生2（在黑板上寫下1000000000009）：大家看我寫的這個數，如果每個0都要讀出來，豈不是變成了一零零零……九，如果還有更大的數，中間的0都讀不盡了，太麻煩了。

師：誰知道他的“太麻煩了”是什么意思？

生3：他的意思是中間有很多0的時候如果全部讀很麻煩。

生4：我覺得中間有很多0的時候，沒有必要一個個都讀出來，只讀一個就行了，這樣比較簡單。

師：瞧，學著學著，我們不僅明白了為什么中間有2個0時只讀1個0，還拓展到了中間有連續有多個0的數的讀法，感受到了數學的簡潔性。

學生的問題不僅有利于調動學生探究的積極性，還是對教師備課的再次補充。同時，在熱烈的思考中，學生不僅學到了本節課要掌握的知識，更是感悟到了一種普遍性的規律。對學生而言，高階思維的培養離不開創造，而創造的機會往往蘊藏在學生的問題當中。教師作為學習的啟動者，必須善于傾聽學生的問題，致力于發掘學生問題的研究價值和學生高階思維的培養，在學生自我提問和自我釋疑的過程中，把他們對數學知識的理解和對數學思想的感悟推向一個新的高潮。

三、多中選優，在對比中優化

在開放的教學環境下，一個大問題帶來的往往是以“串聯”的方式呈現的學生資源。這樣的學生資源零散、雜亂而又不具有代表性，不利于學生辨析和提升思維。對小學生而言，分析和比較是一種高階思維方式，沒有分析和比較就沒有鑒別和創新。因此，教師可以從不同的思維層次和視角對學生資源進行選擇和分類，然后“并聯”式地呈現給學生，幫助學生在對比優化中溝通不同方法之間的區別和聯系，發展學生的高階思維。

例如，教學“解決問題的策略——一一列舉”時，教師對例題進行了創造性改編：王大伯用20根一米長的木條圍一個面積是20平方米的長方形的羊圈，不能剩余、不許折斷，這樣的方案可行嗎？

學生獨立完成以后，教師選擇了有代表性的作品（如圖1），并安排學生有序地上臺分享。

圖1

生1：面積是20的話，4×5=20，但是周長是18，不符合條件。還有2×10=20，周長是24，所以也不行。我認為王大伯的方案不可行，請問大家有補充嗎？

生2：我不同意你的想法，你只是列舉了2種情況，恰好都不符合，萬一要是后面有一種情況符合了怎么辦呢？

師：看來光列舉這幾種還不夠有說服力，要把所有的情況都列舉出來進行分析后，才能做出準確的判斷。

生3：我用的是列表的方法。周長是20米，那么用周長除以2就得到了一條長加一條寬的長度，是10米。從長9米、寬1米開始列舉，發現后面的面積都不可能是20平方米，所以王大伯的方案不可行。

生4：我也是用了列表的方法。因為面積是20平方米，所以長和寬分別有3種情況，但是這樣一來，周長都不可能是20米。

師：比較一下生3和生4的方法，有什么異同點？

生5：他們都用到了列表的方法。

生6：他們都是按順序列舉的，并且把所有的情況都列舉出來了。

生7：他們一個是從周長去列舉的，一個是從面積去列舉的。

師：是的，他們盡管思路不一樣，但都是按照順序把所有的情況都列舉出來了，做到了不重復不遺漏，這在數學上就叫作一一列舉。這兩種方法都用到了一一列舉，你更喜歡哪一種方法呢？

生8：我更喜歡從面積入手去列舉，因為如果從周長入手去列舉的話情況比較多，要列舉好久。而從面積入手去列舉，只要列舉三種情況就能判斷了，更簡單些。

在這節課中，教師將課堂教學進行“重心下移”，設計了一個開放性問題，為每個學生都提供了獨立思考和解決問題的機會。于是，在豐富的互動中，多樣化的思路應運而生。面對學生的多種答案，教師快速地將其篩選分類，對有代表性的作品進行了“放大”和“細磨”。當學生介紹完方法后，教師不是一帶而過，而是又拋出問題，引導學生比較兩種思路的異同點和優缺點。在深入的對比、分析中，學生的思維拾級而上，認知不斷提高。

正如烏申斯基所說，比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。學生在比較中不僅體悟到了“不變”，即數學的本質，還進一步感受到了數學簡約的特性，以及不同思路下解題方法的優劣，從而實現了由低階思維向高階思維的“躍遷”。

四、變廢為寶，在錯誤中明理

錯誤在數學學習中的價值非同小可，它的意義在于能夠使學生從數學的本質上對自己的錯誤主動地進行自我評價、反思和修正。在課堂中，學生產生一些認知偏差而導致錯誤時，教師要善于捕捉、靈活處理，通過適當的啟發和提問，展現學生不同的聲音和思考，引導學生分析和糾錯，讓學生不斷修正、提升學習思維和思路，發展高階思維。

例如，有關“平均數”的一道練習題：下表是某廠一年四個季度的生產產值，算一算這一年平均每月的產值是多少萬元。

一季度240萬元二季度280萬元三季度320萬元四季度300萬元

出示學生的兩種解題方法：（1）（240+280+320+300）÷4=285（萬元）；（2）（240+280+320+300）÷12=95（萬元）。

師：你認為哪種方法正確？

生1：我認為方法（2）是對的，題目問的是平均每月的產值，所以應除以12個月。

師：那方法（1）錯在哪呢？為什么會出現這樣的錯誤？

生2：不能除以4，一年又不是只有4個月。他肯定認為有幾個數字相加，要求平均數就除以幾。

師：你說得很有道理，那要使（1）正確，應該怎么修改題目？

生3：改成“平均每個季度的產值是多少萬元”。

師：如果問題不變，順著第一種解法繼續思考，你能解決問題嗎？

生4：只要再除以3就可以了，因為一個季度有3個月。

學習平均數時，由于例題和之前做的習題都是用總數除以份數，而份數就是總數相加的個數，所以學生就形成了定式思維，產生了錯誤。對此，教師以學生的錯誤為基礎，展開了兩個追問，引導學生從正反兩種不同的角度修正錯誤。由此，學生認識到，解決問題不能想當然，不能憑著解題習慣不假思索地予以解答，而應從題目本身出發，謹慎地審題、深入地分析。這種有根有據的思維方式，正是學生具有高階思維的表現。

又如，有關“小數加減法”的一道練習題“4.25+3.6”，學生可能得出7.85和4.61兩種答案，很明顯，錯誤的原因在于學生把整數加減法中的末尾對齊與小數加減法中的小數點對齊混淆，認為末尾對齊就是相同數位對齊，從而使整數加減法對小數加減法產生負向遷移。針對上述錯誤，教師可以先通過估算的方法引導學生辨析計算結果，讓學生明確了整數中“末尾對齊”的方法在小數加減法中并不適用。在此基礎上，教師通過問題“小數加減法中小數點為何要對齊？”引導學生理解對齊的目的是讓相同數位對齊，如果是末尾對齊就可能會造成小數和整數相加的錯誤算法。最后讓學生對比整數加減法，明白“末尾對齊”和“小數點對齊”這兩種方法的本質是使得相同數位對齊。

負遷移并不是絕對的壞事，相反的，它是一種典型的、可利用的錯誤資源。教師不妨順勢而為，把易混淆的知識和易引起沖突的認知重新拋給學生，讓學生在質疑、對比、判斷、說理的過程中，建構正確的概念或理論。

可見，面對學生的錯誤生成，教師不僅要判斷對錯，更重要的是引導學生反思，從而調整思路，尋找對策。當學生明確正確解法后，教師可以進一步挖掘錯誤，提出富有挑戰性的問題，引導學生思考分析，進行再發現、再創造，使學生的高階思維培養落到實處。合理地利用學生的錯誤，不僅可以幫助學生突破思維定式，培育學生敏銳的洞察力，還能拓寬學生的思維空間，訓練學生思維的批判性和創造性，讓學生的高階思維水到渠成、自然流淌。

數學學習重要的不是獲得知識，而是發展思維能力。課堂的生成性資源無處不在，只要教師善于捕捉，并巧妙利用，就能讓學生的思維從零散走向系統，從淺表走向深入，從狹隘走向開闊，從而實現思維由“低”向“高”不斷進階。