“變教為學”化解面積單位教學難點

浙江臺州市黃巖區北城街道中心小學（318020）吳榮軍

常見的面積單位包括平方厘米、平方分米、平方米等，學生對它們之間的進率了如指掌，都知道相鄰兩個面積單位之間的進率為100。對于面積單位之間的進率為100，教師進行了一次次推導，主要是通過長度進率10的平方推演出面積單位進率為100。一次次的圖形驗證，讓這一進率關系成為師生共識，但是到了“公頃”這里，就陡然變成10000的進率，而且在名稱上也出現巨大變化：公頃不再沿用平方前綴，唯一不變的就是定義描述——邊長為100米的正方形的面積是1公頃，邊長為1千米的正方形的面積是1平方千米。雖然公頃與平方千米之間的進率出現一些變化，但是公頃與平方千米之間的進率仍是100，其推導也并不難，故照舊可以沿用以前的推導經驗。

這看似尋常不過的教程，畫幾個正方形就可以直觀演示和證明，學生學起來也駕輕就熟，條條款款如數家珍，但是學生一到應用就漏洞百出，頻頻出錯。經梳理發現，錯誤主要集中在三個方面：（1）對于公頃這個生面孔、新稱謂，學生很容易選擇性失憶；（2）學生分不清平方千米和公頃到底哪個是“上級”，哪個是“下級”；（3）學生容易思維定式，常將公頃和平方米之間的進率默認為100。事出有因，這些錯誤的出現是有緣由的，仔細分析，就會發現，學生以前學過的面積單位，包括平方厘米、平方分米、平方米以及現在新增的平方千米，無一例外都對應著一個長度單位，無論是在名稱上還是在定義上都是從長度單位擴展衍生而來的。只有“公頃”是名副其實的“獨行者”，它沒有一個長度單位與之對應（如表1）。

對此，學生就會按序排座，將公頃和平方米之間的進率納入整個進率體系之中。公頃和平方千米這兩個面積單位，一般只出現在工程建筑面積或者土地面積核算中，學生需要想象才能建立表象。因此，就會造成這種局面：對于公頃和平方千米，學生可以快速記憶，但是記憶維持的時間非常短暫，一旦時過境遷，就會遺忘，甚至以前建立的表象和積累的經驗也都會從潛意識中消退，或者從學生的認知結構中解體。為了讓學生將“公頃和平方千米”的相關知識點納入認知結構中，形成深刻的印象，筆者借用“變教為學”的模式對公頃和平方千米的教學進行重構，以直觀操作活動為載體，讓學生完整經歷知識的形成與發展過程。

活動一：自由表達，喚醒舊知

1.目前你學過或者知道哪些面積單位？你可以把它們全部羅列出來嗎？

2.你知道這些面積單位的換算進率嗎？嘗試用自己喜歡的方式表達出來，形式不拘。

這個活動看似簡單直接，卻蘊含著無窮的玄機和奧妙。學生在回顧以往學過的面積單位時，會喚醒所有對于面積單位的記憶（如圖1），包括當初如何定義面積單位，如何推導面積單位之間的進率，如何運用直觀的正方形來度量其他圖形，這樣所有相互關聯的知識都會一一閃現，無形中鞏固強化了學生的已有知識。這樣，沒有限制任何形式和表達方法讓學生說出相關面積單位的進率，學生可以根據自己的個性化理解將模糊的知識表象和脈絡較為清晰地呈現出來。正因為不拘形式，所以學生才能有機會將自己相關的記憶激活，舊知也才能被最大限度地提取?！耙磺€讀者心中就有一千個哈姆雷特”，學生可以用自己擅長的方式來詮釋知識，每個人都有發表見解的機會，過去那種優等生替所有人代言的局面一去不復返。學生傾其所能，將自己的所學毫無保留地展示出來后，就能實現新舊知緊密銜接，自然過渡。

圖1

學生在長度和面積的學習中積累了相當豐富的經驗，同時也積淀了許多豐厚的表象，如用邊長為1個長度單位的正方形作為一個標準面積單位，對應的面積單位是在相應的長度單位上加平方前綴。至于進率的轉化，也是結合長度單位的分割和面積單位的分切而直觀推算的。如將1平方分米切成橫豎10格，即10行和10列，那么1平方分米的大方塊就被切成10×10的小方塊，每個小方塊就為邊長為1厘米的正方形，也就是1平方厘米的面積單位（如圖2）。這個過程就是長度和面積的“雙切”，長度單位轉化的同時面積單位也轉化。學生回顧這些，可以再次將長度和面積融合，為后面公頃的學習建立良好的表象基礎。雖然公頃沒有適配的長度單位，但還是脫離不了這種直觀結構，無非就是借用其他長度單位來構建（如邊長為100米的正方形）。

圖2

活動二：自由討論，引發沖突

師：平方米是否就是面積單位的“天花板”了呢？還有沒有更“高級”的面積單位？如果有，這個面積單位應該如何定義？它的大小是個什么量級？可以跟同伴交流一下，說說自己的設想，或者說說自己的設計藍圖。

（學生的回答妙趣橫生。）

生1：當然還有比平方米更高級的面積單位，它就是1平方千米，因為長度單位米過后就是千米，所以對應的面積單位平方米之后就應該是平方千米。同理，我們能將邊長為1米的正方形規定為1平方米的面積單位，那么邊長是1千米的正方形也可以規定為面積為1平方千米的面積單位。我的想法很簡單：長度單位從小到大依次為厘米、分米、米、千米，那么按照對應原則，面積單位從小到大依次為平方厘米、平方分米、平方米、平方千米。

生2：好像有點不對勁。你看，100個1平方厘米拼接起來就合成1平方分米，100個1平方分米拼接起來就合成1平方米。如果按此規律類推，那么緊接著就應該是100個1平方米拼連起來，合成一個新的面積單位。

生1：那這個新的面積單位究竟應該是什么呢？

生2：邊長為100米的正方形。

生3：你只是說了這個單位的幾何形態，還沒有給它命名呢？

……

師：大家認為平方米和平方千米之間需要設置其他的面積單位加以過渡嗎？

（有的學生覺得應該有，有的學生覺得應該沒有，有的學生則難以決斷。）

這個活動給了學生自由的空間去建構面積單位的概念，學生結合面積單位的定義和形態，推理出新的面積單位的形狀和大小，以及與之前的面積單位的順承關系。從開始的特征定義法，到后來的從小單位到大單位的遞推法，學生產生了認知沖突：100個1平方米拼接起來合成的新的面積單位，如果按照與長度單位對應晉級的命名法理應叫作“平方千米”，但是按照面積單位的幾何圖形直觀定義法，1平方千米又應該是邊長為1千米的正方形，顯然這與100個平方米拼接起來的大小不符；100個1平方米的正方形拼接起來應該是邊長為100米的正方形，而如果按照正方形幾何定義的習慣，則這個面積單位似乎應該叫作“平方百米”，可是根據長度單位和面積單位一一對應加后綴的原則，在長度單位里又找不到一個叫“百米”的單位。至此，學生預感到在平方千米和平方米之間應該還需要一個過渡的單位。如果只是對知識的背記，學生只知其然不知其所以然，但是通過一系列的討論交流活動，學生能按照自己的經驗推測出“平方千米”這個面積單位，同時又發現“公頃”的影子。學生的學習在交流、質疑、修正中不斷深入和成熟。

通過對長度單位和面積單位縱向和橫向的對比，學生發現長度單位和面積單位在進率上也存在緊密的聯系，這種聯系與切分法是分不開的，每當相鄰的兩個長度切分成10的進率后，由于縱橫相乘的關系，導致相鄰的面積單位之間的進率變成100，于是，學生就形成動態認知結構：每當長度擴大10倍晉升到上級單位時，對應的面積單位就會自動晉升到上級面積單位。但是，到了米往上直接跳級到千米，中間沒有十米、百米這樣十進制的單位續接，因此，導致面積單位斷層。于是，學生就會想到要按照既定的進制規則來補充新的單位，尤其是面積單位，在平方米和平方千米之間，跨度過大，必須創建新的單位填補這段空白。

活動三：擴充單位體系，完善認知

師：請大家將教材（人教版）翻到第34頁，看能否找到蛛絲馬跡。教材中為我們介紹了一些新的面積單位，這些都是比我們以前學過的面積單位更“高級”的單位，你們能想辦法記住它們嗎？

通過閱讀相關章節，學生明白了1平方千米=1000000平方米=100公頃，也從幾何形態上明確了邊長為100米的正方形的面積規定為1公頃的面積單位。但是，問題也隨之而來（如圖3）。既然邊長為100的正方形可以用來定義面積單位，那么邊長為10米的正方形也可以單獨作為一個面積單位，這個面積單位該怎么命名呢？

圖3

師：這個邊長為10米的正方形的面積的確存在過，它就是1公畝，這是中國的舊制面積單位。為了與國際接軌，新版教材已經摒棄了這個單位，采用新的單位——公頃。

生1：那么1公頃=100公畝。

師：你怎么將這個新的面積單位納入原有的面積單位集合中？

生2：先把它們按從小到大的順序排序，如平方厘米、平方分米、平方米、公畝、公頃、平方千米，每相鄰的兩個面積單位之間的進率都是100。

生3：這樣一來就把平方厘米到平方千米之間所有的面積單位都排滿了。

活動三使學生經歷了知識生成和演變的過程，學生對面積單位間的進率有了深刻全面的認識。

活動四：建立表象，完善認知

師：用我們身邊熟悉的場地印證1公頃和1平方千米的大小。

生1：居民廣場的面積有2.2公頃。

生2：在電視里經常見到別人打高爾夫球，一桿子打下去，得花老半天時間去撿球，太費事了?，F在看來，在將近1公頃大的草地上找球和撿球都是不容易的。

在談到1平方千米時，學生想到了步行街，然后課后去步行街走了一遍，以它為標準想象1平方千米的正方形有多大。

學生這種身臨其境的體驗與感知，勝過教師任何形式的描述。

以上四個活動的設計是逐漸遞進的，在活動開展的過程中，學生有足夠的時間回憶舊知，自主建構新知，在不斷反思的過程中感悟知識的生成經過和因由，學生從傾聽者變為思索者，從死記硬背變成理解性記憶，真正實現了“變教為學”。