基于數學理解的總復習教學路徑探索
——以“立體圖形的表面積和體積總復習”教學為例

江蘇太倉市城廂鎮第一小學（215411）陳 瑛

數學理解不僅要理解數學基礎知識，還要從數學的角度去理解現實?？倧土晻r，既要讓學生回顧已學過的知識，又要讓學生在復習中獲得新的發現與認識，找準數學知識間的區別與聯系，掌握知識的生長點，這樣才能打通知識的“任督二脈”，凸顯數學知識的本質，促進數學理解。

筆者以“立體圖形的表面積和體積總復習”為例，從在總復習教學中發現的問題出發，基于全局視角進行分析，并對總復習教學進行新的實踐和探索，以期尋找促進學生理解數學知識的教學路徑。

一、問題凝視：基于真實學情的總復習教學困惑

總復習教學與平常的單元復習課和練習課有所不同，總復習教學需要溫故知新、貫通聯系。教師不僅要幫助學生溫習學過的數學知識，還要打通知識間的聯系，并且向外延伸，為第三學段的學習做鋪墊。

比如，教學“立體圖形的表面積和體積總復習”時，筆者在課前請學生就立體圖形的表面積和體積等相關知識進行梳理。大部分學生都以思維導圖的形式呈現知識點（如圖1）。圖很美觀，但圖中只有圖形及其表面積和體積的公式，很難看到知識間的聯系。

圖1

這引發了筆者的思考：課前復習到底需要怎樣的前置研究？是以“好看”為標準，還是以“深入”為目標？教師該以怎樣的方式引導學生串連知識點？如何才能真正達到教學目標？

二、成因透視：基于全局視角的總復習教學問題分析

筆者深入思考總復習教學問題，不斷追問、分析原因，發現主要有三方面原因：教材、學情和復習形式。教師教學時要基于教材，更要高于教材；要基于學情，更要充分研究學情；要淡化教學形式，但需深入挖掘知識內涵。

1.簡單照搬教材，缺乏深度理解

教材是知識的有效載體，教師通過認真研讀教材，充分利用甚至是改編教材習題，幫助學生鞏固知識。但對于同樣的教材，不同的教師處理時的方式不同，就會產生不同的教學效果。

蘇教版教材六年級下冊中“數與代數”“圖形與幾何”“統計與可能性”三大板塊均以“整理與反思+練習與實踐”的形式推進?！罢砼c反思”部分主要通過幾個核心問題幫助學生回顧所學知識，引導學生探尋數學知識和方法間的內在聯系，以促進學生產生新思考，獲得新認識，進而加深對知識的理解。

但實際教學中不乏出現照搬教材、走流程的現象，從而使學生缺乏對知識的深度理解。這樣的總復習教學是乏味的，學生的復習效率是低下的。

2.模糊真實學情，缺乏整體建構

總復習教學是復習梳理、溫故知新，因此容易忽視真實的學情，教師以自己理解的學情進行教學設計，缺乏對知識的整體建構，學生以能正確完成相關練習為主要目標，缺乏深度思考。因此，習題有所變換或是提升難度時，學生便不能綜合運用所學知識解決問題。

學習能力比較強的學生不僅可以解決基礎問題，還可以獨立解決難度稍高的問題。學習能力較弱的學生沒打牢基礎，他們需要鞏固知識，將薄弱點逐漸變扎實。對此，在復習課前，教師可通過多種途徑了解學生的真實學情，然后根據學情設計相應的復習任務，讓不同的學生通過分層練習得到不同的發展。

3.過度關注形式，缺乏脈絡梳理

總復習教學中，教師常讓學生用思維導圖梳理知識。一張美觀的思維導圖，不僅包括對知識的梳理，還有圖畫的繪制，相對而言耗時較多。仔細查看這些思維導圖，筆者發現，大部分是簡單地呈現知識點，如基本概念、公式，深層的知識內涵較少，也沒有對相關知識的脈絡梳理。

這樣的知識梳理過程重在形式，缺乏內在理解。筆者認為，數學學習更需關注知識的內涵，教師可在布置思維導圖任務時適當引導，讓學生多關注深層次的東西，如一個公式的本質是什么、它以怎樣的方式產生、這個公式與其他公式之間有怎樣的聯系等。若學生能經歷這樣的思考，那么他們的數學學習一定會逐漸深入。

三、出路審視：基于數學理解的總復習教學路徑探索

基于以上的分析和思考，筆者認為總復習教學對于學生既是對知識的梳理和回顧，又是一次知識生長的過程，教師要充分了解學情，厘清知識脈絡，打通知識的內在聯系，找準知識的生長點，讓學生的數學理解真正落到實處。

1.厘清脈絡，通透本質

從學生畫的思維導圖可以看出，少有學生關注立體圖形的體積公式是如何推導出來的。極少學生會畫圓柱體積公式的推導圖，大部分學生是畫出一個長方體、一個正方體、一個圓柱，然后在它們旁邊標注體積公式。

筆者認為，在“立體圖形的表面積和體積總復習”中，要溝通各立體圖形之間的聯系。學生如果能畫圖表征體積公式的內涵，就能更好地理解體積的本質。

課前導學可如下設計。

請你畫示意圖說明如何求出下列立體圖形的體積。

（1）長方體：長4厘米、寬3厘米、高2厘米。（2）正方體：棱長2厘米。

（3）圓柱：底面半徑1厘米、高2厘米。

【片段1：畫圖表征，凸顯本質】

生1：用棱長是1厘米的小正方體擺成長4厘米、寬3厘米、高2厘米的長方體，一行擺4個，擺3行、2層，長方體的體積是4×3×2=24（立方厘米）。

生2：用棱長是1厘米的小正方體擺成棱長是2厘米的大正方體，一行擺2個，擺2行、2層，大正方體的體積是2×2×2=8（立方厘米）。

生3：可將圓柱轉化成近似的長方體，那么長方體的長相當于圓柱的底面圓周長，長方體的寬相當于圓柱的底面直徑，長方體的高相當于圓柱的高。根據長方體體積=長×寬×高，就推導出圓柱的體積公式。

師：長方體的長、寬、高分別指什么？

生4：長是指一行有幾個小正方體，寬是指有幾行，高是指有幾層。

師：求長方體或大正方體的體積，就是求什么？

生5：求有幾個小正方體。

師：把圓柱轉化成長方體后，是不是也可以理解為算一共有多少個小正方體？

生6：是的。

通過改變課前導學，從全開放的課前復習整理，到有針對性的課前導學研究，學生對知識梳理的目標更加明確，不僅能寫出立體圖形的體積公式，還掌握了體積公式的推導過程，以及它們之間的聯系。在交流過程中，同伴互學讓學生在小組內進行思維的碰撞，燃起學習的興趣，起到了非常好的助推作用。學生交流時，教師的提問需直指本質，讓學生理解這些立體圖形體積公式之間的聯系，突破本質理解。

2.聯系完善，構建體系

“立體圖形的表面積和體積總復習”的教學，重在“統”，即統一體積、統一側面、統一表面。經歷并完成“統”的過程，是學生探索和理解知識間內在聯系的契機，可將知識進行溝通、統整，構建完善的知識的體系。為此，筆者設計了如下活動過程，讓學生用長方形彩紙做立體圖形，經歷“統”的過程。

【片段2：打通聯系，促進理解】

師：你是怎么做圓柱的？

生1：可以像這樣卷一下。（分別沿著彩紙的長邊和短邊卷）

師：這樣卷出的沒有底面的圓柱，有什么共同點嗎？

生2：側面積相等。

師：你是如何做長方體的？做的時候有什么要注意的地方嗎？

生3：可以向同一個方向對折再對折，然后圍起來就可以了。

師：剛才同學們折出的這些長方體的大小和形狀不一，但有什么相同之處？

生4：側面積相等。

師：同樣的彩紙，可以做不同的長方體和圓柱，它們之間有聯系嗎？

生（齊）：它們的側面積都相等。

師：長方體、正方體、圓柱的體積和側面積能用統一的公式計算嗎？

生5：側面積=底面周長×高。

師：既然它們的體積和側面積可以用相同的公式來計算，那表面積也可以用同一個公式來算嗎？

生6：表面積=側面積+底面積×2。

師：在解決立體圖形表面積的實際問題時，都是用“側面積+底面積×2”計算嗎？

［學生分別回答一側無底（如通風管）、一側一底（如無蓋水桶）、一側兩底的情況］

學生用同樣的彩紙做長方體和圓柱，發現了立體圖形間的奧秘，從而統一了長方體、正方體、圓柱的側面積和表面積的計算方式，同時找出生活中的實例。

整個過程，學生在玩中學，在玩中悟。每個學生都完整經歷了立體圖形表面積和體積“統”的過程，這是在之前新課學習時不曾經歷的。而總復習課中常有的習題，在這節課中看似較少，實則蘊含了一類解題方法。如表面積問題，雖然沒有單獨的習題，但學生在“統”之后找到了一側無底、一側一底、一側兩底的情況。學生會舉例、驗證，才是真正理解了知識。

3.面向未來，促進生長

總復習教學不僅是對小學階段的立體圖形進行梳理，還可進行拓展和延伸，為第三學段做好鋪墊，讓知識有生長點。比如在這節課中，讓學生完成“統”之后，可讓學生接著玩，利用彩紙做一個新的立體圖形，進行更大的“統”，引出直柱體，統一計算方法。

【片段3：激發想象，智慧生長】

師：這張彩紙還能做其他立體圖形嗎？

學生展示成果（如圖2）：

師：同學們做出的這些立體圖形有什么共同點？

生1：上下底面完全一樣。

（教師引出直柱體的相關知識）

師：你認為這些直柱體是否也有統一的計算側面積、表面積和體積的公式？

（師生一起歸納計算公式）

引出直柱體后，學生發現具有相同特征的一些直柱體也可以用這張彩紙做出來。還有一些直柱體雖然用這張紙不容易做出來，但是可以根據它們的特征自由想象，從多個圖形變成一類圖形，從一類圖形又延伸到無數個圖形，可以用相同的公式計算同類圖形的體積、側面積和表面積。

筆者認為，學生對立體圖形的表面積和體積的認識應有一個完整、系統的建構過程，既要“瞻前”，又要“顧后”。教師在充分了解學情后，要進行梳理、聯系、延展，讓學生對知識的理解落到實處，讓學生的數學素養不斷提升。

總復習教學要做到溫故而知新，教師要有長遠的目光，有把教材讀薄的能力，將零散的知識點串連起來，打通知識的內在聯系，完善知識體系，并適時進行拓展延伸，為學生的后續學習埋下種子。學生在充滿數學味的活動中內化知識，主動建構結構化、可遷移的認知系統。這個過程是面向人人的，教師不僅要研究學生學習的起點，還要探究學生學習的支點，展望學生發展的終點，讓學生的數學學習靈動舒展。