“數學理解”背景下的小學數學立體式教學

浙江紹興市培新小學（312000）蔣國紅

隨著新課程理念逐步深入人心，教師越來越關注學生的“學”，但由于缺乏對全局的有效把控，在教學中容易出現極少數思維活躍者成為課堂對話的主角、其他學生處于被動聽講狀態的現象。研究表明，兒童思維的發展并不單純依靠知識的累積，更體現在知識形成與運用的過程與方法之中，前者只是感性經驗的疊加，后者才是理性認識的凝結。如果學生的數學思維不夠活躍，思考時過度依賴他人，不善于洞察數學知識的本質，那他們就不能用所學的知識靈活應對各種具體的問題情境。

其實，早在1976年，英國數學教育家斯根普就提出了數學理解的兩種類型：工具性理解與關系性理解。

工具性理解是指把數學理解當作掌握概念、認識定理、助力推理等程序操作的工具，是立足于“知道有這么一回事”的理解。關系性理解是一種整體性理解，它以“知其然，更要知其所以然”為目的。

傳統數學教學是一種二維式教學，它遵循工具性理解這一主線，在這樣的教學中學生只需要學會針對特定數學對象進行特定的操作即可，這為新理念的提出奠定了基礎。北京師范大學教授綦春霞認為，數學理解不僅要求能對數學對象進行熟練地操作，更應體現從表象理解、解釋理解到建立聯系、進行思想運用的過程。據此，筆者結合小學數學教學實踐，把數學理解分為表象理解、語義理解、知覺理解、整體理解與創新理解五個層次，并做出基于數學理解的小學數學“三維五層”結構模型（如圖1）。以下結合教學實踐進行探討。

圖1

一、動手操作形成表象理解

小學生的認知水平有限，思維方式以形象思維為主，形象思維即是在頭腦中建立數學對象的具體形象的思維方式。

比如在“比較分數大小”的教學中，教師讓學生分組活動，要求學生先拿出兩張相同的正方形紙片，分別給正方形紙片的與的部分涂上顏色，學生很快就知道接著教師又讓學生比較與的大小，學生通過操作又明白了然后教師提問：“你發現了這兩組分數的數字的特點嗎？你能發現數字的規律嗎？能否舉例說明你發現的規律呢？”學生在自定數據、自行操作的基礎上，最終發現規律：分母相同，分子大的那個分數大；分子相同，分母大的那個分數反而小。

學生得出了規律并不代表他們真正理解了規律，還是有部分學生不知道為什么“分子相同，分母大的那個分數反而小”。因此，動手操作雖有助于學生建立知識表象，但這種操作也只是一種深入學習的方式而已。

二、詞句辨析促進語義理解

盡管學生發現的規律是正確的，但他們用的是一種不完全歸納的方法，“語言是思維的外殼”，用語義來促進理解就顯得十分重要。

三、多向辨識形成知覺理解

知覺理解與語義理解的層次不同。以生活中的例子來說明，如果一個新手司機僅靠背誦教練教的法則來開車，那么在遇到突發情況時默念一句操作要領可能就需要五秒鐘，這樣，交通事故幾乎難以避免了，這就是語義理解的局限性。

知覺理解要做的就是在遇到意外時能憑直覺直接采取正確行動，所以說知覺理解是一種不憑借語言的直覺理解，是一種經過長期訓練而形成的即刻性的條件反射。正因為如此，幫助學生形成知覺理解是完全必要的。

1.辨析

辨析可以讓人確定一類對象是否在某一數學概念或法則所指向的范圍內，從而進一步明確概念與法則。比如，出示問題“下列數量關系中屬于反比例關系的是（ ）。A.三角形底邊一定時，面積與高的關系B.三角形面積一定時，底邊與底邊上的高的關系C.長方形的長與寬的關系D.長方形周長一定時，長與寬的關系”讓學生辨析，學生對照反比例關系的定義，理解了構成反比例關系的兩個量中必須具有“積一定”這個條件，辨析之后明白這里只有B選項中的兩個量符合要求。

2.模仿

愛模仿是小學生的特點，盡管模仿仍是屬于工具性理解的范疇，但學生的學習也確實離不開模仿，數學課本中有那么多的例題，正是為了讓學生學會模仿。比如，讓學生比較和的大小，這兩個分數既不是同分母分數，也不是同分子分數，而且借助通分比較大小似乎也不那么容易，這時有個學生說出了辦法：“把兩個分數各加上一個分數可以得到1，分別加上去的分數能比較大小，加上的分數大的，原分數就小?！庇辛诉@次經驗，下次遇到同類題，學生都會模仿著做了。

3.變式

變式是指通過改變數學對象的非本質屬性而突出其本質屬性的訓練策略。首先，變式訓練必須“善變”。比如，有位教師在黑板上畫三角形總是習慣把其中一條邊畫成水平的，然后把另外兩邊畫在它的上邊，這固然好看，但無形中給學生造成“畫三角形必須有一條邊呈水平”的錯覺，這就與多用變式的教學初衷相違背了。其次，變式訓練要防止學生錯誤改變。比如，有的學生給鈍角三角形畫高時，會將三條高都畫在三角形內部，這是受了銳角三角形畫高方法的影響。最后，變式訓練必須在“善變”中求“不變”，以本質屬性的“不變”應對非本質屬性的“萬變”。在指導學生給三角形畫高的時候，由于三角形的高從本質上來說就是直線外一點到這條直線的垂直線段，教師可以先讓學生復習一下如何從直線外一點向直線畫垂直線段，然后為學生播放事先準備的微課，讓學生練習通過頂點向對邊所在直線作垂直線段就可以了。

四、縱橫聯系生成整體理解

教育學家布魯納認為：“如果一個數學概念或定理成為兒童內在心理表征網絡的一部分，那么它就被兒童所理解了?！睌祵W理解對象的聯系是一種不斷聯系與被聯系的過程，需要教師在日常教學中教會學生形成這種意識。

1.縱向聯系

縱向聯系是指同類對象之間的聯系。比如，“平行四邊形的面積”往前聯系著“長方形的面積”，往后又啟示著“三角形面積”的探索。再如，“列方程的方法”與“算術方法”都是解應用題的基本方法。

2.橫向聯系

橫向聯系是不同范疇的研究對象之間的聯系。比如，為了幫助學生理解異分母分數加減時要通分的原因，教師可以讓學生聯系小數加減法中為何要對齊小數點這一知識點。兩種運算法則的表述不同，有什么可比性呢？顯然是由于對齊小數點的實質是對齊相同數位，而將異分母分數化作同分母分數也可以出現相同的分數單位，單位相同才能相加就是兩類運算的本質聯系。

五、反思運用促進創新理解

通過縱橫聯系，學生可以建構數學理解的網絡，實現數學知識的資源共享與協同式理解。這種聯系的方向事先往往不確定，聯系的形式也多種多樣，通過不斷探索聯系的渠道，能實現學生的創新理解與創造性思維的培養。比如以下探究題：

如果學生能從第（1）題中發現算式的變化規律，雖然也可以最終寫出第（2）題的答案，但是這還不是數學理解，因為他們還不懂答案為什么是這樣的。教師可以引導學生：“如果我們從分數的意義入手，用畫圖的方法來分析呢？”然后畫出如圖2的示意圖，并根據示意圖說明思維過程：一樣東西拿掉它的一半，剩下的部分也是它的一半，即再拿掉剩下部分的即再拿掉它的剩下的部分也是它的如此，每次都拿掉上一次剩下部分的結果每次剩下的量與拿走的量相同。由此可知，

圖2

這里，教師通過數形結合的方法實現了算術問題與幾何操作的有機聯系，這說明數學理解已經從既定框架中向外拓展，而且進行了創新。

總之，基于“數學理解”這一理論方向，針對傳統小學數學教學方式，著重建構數學理解層次，將使數學理解從二維體系發展成三維模式，有助于促進教學實踐，實現數學教學“生本化”，為小學數學教學質量的提高提出了一條可探索的途徑。在針對“數學理解”的研究越來越深入的今天，筆者對本文所述的觀點抱著既肯定又擔心的態度，且還有待進一步探索與提高。