基于疲勞損傷模型的鋼筋混凝土梁疲勞可靠度分析

丁兆東, 劉劍鋒

(1.合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009; 2.土木工程結構與材料安徽省重點實驗室,安徽 合肥 230009)

隨著我國貨運鐵路運輸的重載化,樞紐鐵路線上的橋梁結構每天可能經歷數百次列車經過,由此在結構服役期間產生的疲勞效應是不容忽視的。為了正確地反映混凝土結構在疲勞荷載作用下的力學行為、獲得混凝土結構全壽命過程中的力學性能及進行相應的可靠度評價,需要建立精細的混凝土疲勞本構模型以及相應的結構疲勞可靠度分析方法。

對于混凝土疲勞問題,研究的途徑有2種:① 基于試驗結果的經驗建模研究,這種方法是通過試驗建立混凝土材料疲勞壽命的S-N曲線、ε-N曲線(S為材料斷裂強度,N為疲勞循環數,ε為應變)等經驗模型[1-3],然后結合已有的疲勞損傷累積準則來評估和預測混凝土結構的疲勞壽命;② 基于斷裂力學的疲勞裂紋研究[4-6],這種方法通過分析構件中裂紋擴展速率來評估和預測混凝土結構的疲勞壽命。前者方法簡單,工程上應用很廣,但是由于其通過經驗建模,這類研究所得結果適用性往往具有局限性,且未能從本質上分析混凝土疲勞退化,無法形成普適性的結果;后者物理機制明確,但只針對單個宏觀裂紋的擴展過程進行研究,對于混凝土材料而言,在疲勞損傷前、中期一般都是呈大量的微裂紋及宏觀裂紋同時作用,這類研究并不能夠很好地描述多尺度的混凝土多裂紋擴展問題。針對這種情況,許多研究者運用損傷力學從本構層次研究疲勞作用是如何導致材料力學性能劣化的[7-9]。在這類模型中,將損傷力學中的損傷概念引入混凝土材料的本構模型中,用損傷變量的演化描述不同尺度裂紋發展所引起的材料性能退化,從而能夠真實地反映疲勞對構件和結構的影響。

而混凝土結構的疲勞可靠性研究一般集中于2條路徑:① 通過試驗得出各個疲勞應力水平上疲勞破壞次數的概率分布情況,再通過疲勞損傷累積準則與經典的可靠度方法,估算出循環荷載作用下結構的疲勞壽命可靠度[10-13];② 運用參數隨機化的Paris公式來估計疲勞裂紋對某一閾值的首超問題[14-16]。這些疲勞可靠度評估方法都沒有考慮到一個重要事實,即材料疲勞損傷時會影響結構自身的力學性能。對于這種效應,只能通過在結構層次考慮材料損傷退化和結構內部應力重分布之間的互相耦合,才能獲得比較精確的預測,這就需要跟蹤整個結構和其內部材料疲勞的疲勞損傷全過程。

本文根據基于隨機細觀斷裂模型建立的混凝土疲勞損傷本構關系,確定相關基本隨機參數的分布,結合概率密度演化理論計算實際工程結構的疲勞可靠度,建立混凝土疲勞問題的可靠度分析框架。

1 材料疲勞損傷本構模型

1.1 混凝土疲勞損傷本構模型

1.1.1 損傷演化模型

用大量簡單的一維受力構件,通過適當的組合來反映材料的受力結構,是一種有效的建模方式,也能夠抓住材料破壞時的主要力學特征。其中斷裂的隨機性對材料強度和受力下的表現有很大的影響。以此觀點為基礎,許多研究者從損傷細觀物理研究入手,逐步發展了一類細觀隨機斷裂模型來模擬混凝土的損傷演化[17-19]。

以單軸受拉為例,首先將一維受力試件簡化成一組串并聯彈簧系統,如圖1所示。圖1中，每個彈簧代表1個次級的微觀損傷單元,其具有理想彈性-斷裂性能,且斷裂應變為隨機變量。

圖1 隨機斷裂模型

對于基本的損傷單元,令微彈簧總數趨于無窮,可將損傷變量表示為如下的隨機積分形式:

(1)

其中:d為損傷變量;Δ(x)為一維斷裂應變隨機場;x為微彈簧所在隨機場的空間坐標;H(x)為Heaviside函數。微彈簧的斷裂應變或其等效斷裂能的分布服從Weibull分布或對數正態分布。本文采用對數正態分布形式。

在上述抽象細觀斷裂彈簧模型中,彈簧的斷裂與否只與當前應力狀態有關,無法反映疲勞作用下能量耗散引起的材料損傷累積情況。為了反映疲勞過程的能量耗散,將(1)式中的斷裂應變轉化為能量形式,可表示為:

(2)

其中:E0為初始彈性模量;Δq(x)為第q根彈簧的應變。根據Heaviside函數定義,當在疲勞荷載作用下,累計耗散能量Ef超過彈簧所保有的特征能量Es時,彈簧就會斷裂,從而導致損傷發展。文獻[20]基于物理機理的研究,提出如下疲勞過程能量耗散方程:

(3)

其中:Y為損傷能釋放率;Γ為均勻化表面能的宏觀代表值;γ為均勻化表面能的微觀代表值;C0為與溫度有關的常數;κ為反應微裂紋相互作用引起的衰減系數;β為反映擾動的系數;p為反映尺度轉換的指數。在疲勞損傷演化方程中,納米尺度的表面能γ(?)量級很小,因此在計算中忽略,而只考慮大量微裂紋共同作用的表面能項Γ。

結合(2)式、(3)式,最終建立的混凝土疲勞損傷演化表達式為:

(4)

(4)式中,H(Es-Ef)用于判斷材料是否發生疲勞耗能破壞,H(Es-Y)用于判斷材料是否發生脆性斷裂,只要其中任何一個滿足破壞條件,材料就會破壞。

1.1.2 基本隨機參數概率分布識別

混凝土材料在疲勞作用下表現出的顯著隨機性源于混凝土材料某些物理量的隨機性,當通過具體的物理規律來描述材料的力學行為時,這種隨機性就反映在描述物理規律的相應參數中。在(4)式中,涉及的基本參數有系數參數C0、均勻化表面能參數Γ、反映疲勞擾動的系數β、反映尺度轉換的指數p及反映微裂紋相互作用引起的衰減系數κ。通過使用局部靈敏度分析法[14]可得,在上述5個基本參數中,參數Γ、κ的靈敏性顯著大于其他參數,且其物理背景具有不可控性。事實上,參數Γ、κ分別反映混凝土材料的均勻化后表面能和體積元中微裂紋的相互作用,因此選取它們作為基本的隨機變量是合適的。

為了確定參數Γ、κ的分布形式,本文收集了1批混凝土受拉[21-25]和受壓[26-32]疲勞試驗數據,其分布如圖2所示。

采用Nelder-Mead法對上述試驗結果進行識別,分別得到單軸受拉和受壓情況下Γ、κ的分布,如圖3、圖4所示。

圖2 混凝土疲勞試驗結果分布

圖3 受拉疲勞下隨機參數Γ、κ分布

通過觀察直方圖及試算,發現Γ的分布符合Weibull分布,有

(5)

其中,λ、k為Weibull分布的參數。通過極大似然估計,可得單軸受拉模型中參數取值為λt=0.166、kt=5.735,而單軸受壓模型中λc=0.171、kc=9.248。在受拉與受壓(本質為受剪)模型中參數λ、k取值不同,反映了不同的損傷機理影響。

圖4 受壓疲勞下隨機參數Γ、κ分布

κ比較符合對數正態分布,有

(6)

其中,σ、μ為對數正態分布的參數。通過極大似然估計,得到單軸受拉疲勞下μt=3.281、σt=0.034 3,而在受壓疲勞下μc=3.276、σc=0.070 9。

1.2 鋼筋疲勞損傷本構模型

鋼筋的疲勞效應反映在鋼筋疲勞損傷引起的彈性模量衰減上。鋼筋在高周疲勞中,塑性應變并不明顯,文獻[33]通過一種簡單的兩尺度模型考慮其疲勞損傷,如圖5所示。

圖5 鋼筋材料兩尺度模型

(7)

文獻[33]通過運用文獻[34]提出的局部化方法求解圖5所示的局部化問題,經過一系列推導和簡化,獲得如下的損傷演化方程:

(8)

(8)式的損傷演化是線性增加的模式,本文結合文獻[35]的處理,引入指數衰減項將其修改為:

(9)

其中:α為反映非線性衰減的指數參數;D為微觀尺度上的損傷變量。

當考慮單軸加載時,(9)式可寫為:

(10)

其中,σ0為應力。

(9)式、(10)式的損傷演化過程更符合試驗結果。

2 基于概率密度演化理論的可靠度計算

混凝土疲勞壽命試驗結果具有很大的隨機性,利用上述隨機損傷疲勞本構模型預測混凝土疲勞壽命的概率分布,顯然具有工程實用價值。下面利用概率密度演化理論對混凝土結構疲勞全過程進行分析,建立相應的混凝土結構疲勞可靠度分析框架。

2.1 廣義概率密度演化方程

近年來,許多研究者從物理隨機系統的基本觀點出發,發展了一類以廣義概率密度演化方程為核心的概率密度演化理論,科學地闡明了隨機性在工程系統中傳播的基本規律[36-38]。

推導廣義概率密度演化理論最簡便的方法是利用概率守恒原理進行隨機事件描述。與描述一般基本物理規律的質量守恒、能量守恒原理類似,概率守恒原理闡明了保守隨機系統演化的普遍規律,該原理可以一般地表述為:在保守的隨機系統狀態演化過程中概率守恒。這里的保守隨機系統是指系統演化過程中既沒有新的隨機因素加入,原有的隨機因素也不消失。

考察一般意義上的微分動力系統:

(11)

其中:X=[X1X2…Xl],Xl為系統狀態量;Θ=[Θ1Θ2…Θm],Θm為系統基本隨機變量,既可以是系統模型的隨機參數,也可以是隨機激勵的隨機參數,其概率密度函數pΘ(θ)已知,θ=[θ1θ2…θm];G(·)為描述系統的確定性算子。

若(11)式在物理上是適定的,則其解必存在、唯一,且必然是隨機參數的函數,即存在如下物理解答:

X=H(Θ,t)

(12)

相應的分量形式記為:

Xl(t)=Hl(θ,t),l=1,2,…,n

(13)

根據概率守恒原理,存在如下的廣義概率密度演化方程[39]:

(14)

其中,pXΘ(x,θ,t)為X與Θ的聯合概率密度函數。

其對應的邊界條件為:

pXΘ(x,θ,t)|xr→±∞=0,r=1,2,…,n

(15)

初始條件為:

pXΘ(x,θ,t)|t=t0=δ(x-x0)pΘ(θ)

(16)

其中:x0為系統確定性初始值;δ(·)為狄拉克算子。

通過求解廣義概率密度演化方程,獲得狀態量和基本隨機變量的聯合概率密度后,通過對θ積分可獲得所考察物理量的概率密度函數,即

(17)

2.2 基于吸收邊界條件的可靠度評估

對于混凝土疲勞可靠度問題,可以將疲勞損傷作為疲勞破壞的指標,即一旦損傷超過某個閾值,就認為混凝土材料失效破壞。對這種情況,采用基于吸收邊界條件的可靠度計算方法是最合適的。

基于首次超越破壞準則的可靠度定義為:

R=Pr{X(t)∈Ωs,t∈[0,T]}

(18)

其中:X(t)為目標狀態量;Ωs為安全區域。Ωs的邊界就是所定義的吸收邊界,一旦X(t)越過邊界,其攜帶的概率信息就被吸收,成為失效概率,而物理上對應結構某些不可逆的破壞。

在概率密度演化理論中,廣義概率密度演化方程的吸收邊界條件[39]可設為:

pXΘ(x,θ,t)=0,x?Ωs

(19)

在求解(14)式時,設置如(19)式的吸收邊界條件,則結構可靠度為:

(20)

3 混凝土梁可靠度算例分析

3.1 混凝土梁計算模型

隨著貨運重載化,列車的軸重從以往的23 t逐步增加到30 t,并且軸重頻次較以往顯著增加,需要對鐵路沿線既有預應力混凝土橋梁的疲勞效應等動力性能作出評估。文獻[40]對預應力混凝土橋梁疲勞力學行為進行試驗研究,試驗共有12片模型梁(靜載2片,等幅疲勞試驗10片),其中相當于30 t軸重作用的情況有4片。本文選取這批模型梁作為計算對象,著重考察受壓區混凝土的疲勞損傷演化。

本文模型將我國目前普通鐵路上32 m普通跨度預應力混凝土簡支T梁作為原型梁,通過相似理論獲得1∶6縮尺模型結構。

(1) 截面尺寸。預應力混凝土梁模型的截面如圖6所示(單位為mm)。

圖6 預應力混凝土模型梁截面

(2) 材料參數?；炷敛捎肅50等級,彈性模量為34.7 GPa,泊松比為0.2。梁中預應力2根鋼絞線組成,公稱直徑為15.24 mm,屈服強度為1 795 MPa,極限強度為1 929 MPa,彈性模量為196 GPa。梁中非預應力筋分為2種,包括直徑8 mm的Q235鋼筋和直徑10 mm的HR335鋼筋。Q235鋼筋屈服強度為310 MPa,極限強度為455 MPa,彈性模量為211 GPa;HR335鋼筋屈服強度為405 MPa,極限強度為575 MPa,彈性模量為203 GPa。

預應力混凝土梁模型鋼筋布置如圖7所示(單位為mm)。

(3) 加載情況。本文選取的計算工況為等幅疲勞循環,最大荷載Pmax=62.2 kN,其取值是在模型梁設計時,相似比按照“恒活載跨中彎矩相等”原則確定的,此荷載水平在扣除模型自重后,相當于原型梁承受30 t軸重的水平;疲勞下限值Pmin=27.2 kN,此值也是在設計時,相似比按照“恒活載跨中彎矩相等”原則確定的。

圖7 預應力混凝土模型梁鋼筋布置

3.2 計算模型建模

預應力混凝土梁最終破壞時,受壓區混凝土完全損傷、梁底部非預應力筋屈服,因此可以定義其中之一作為最終的破壞指標。由于鋼筋的疲勞離散性相對于混凝土很小,而受壓區混凝土的疲勞離散性較大,其疲勞損傷會引起梁的整體性能改變,因此本文采用受壓區混凝土損傷作為破壞指標,來考察預應力混凝土梁的疲勞可靠度。

3.2.1 鋼筋損傷演化參數選取

在本文算例中,根據疲勞試驗的結果,預應力筋的應力水平較低,故暫不考慮損傷。對于非預應力筋,采用損傷演化公式(10)式,相關參數取值為:σf=120 MPa,S=2.4 MPa,α=10。

3.2.2 混凝土損傷閾值選取

理論上混凝土疲勞損傷完全失效時,損傷變量取1,考慮到其損傷演化經歷的裂紋起始、擴展和瞬時斷裂3個階段中,最后的斷裂破壞相對前面的2個階段非常迅速,因此應該適當降低損傷閾值的取值。文獻[41]以混凝土的殘余應變作為混凝土失效標準,認為殘余應變不能超過0.4倍軸心抗壓靜力強度對應的靜載應變。

在本文模型中,殘余應變采用塑性應變描述,而塑性應變的演化取決于對應損傷變量的演化,因此將受壓疲勞損傷閾值定為0.5,即殘余應變超過0.5倍軸心抗壓靜力強度對應的靜載應變時,混凝土失效。

3.2.3 計算流程圖

由于在結構的疲勞分析中,受到的激勵作用周期往往是以s為單位,而分析對象的疲勞壽命則是數以10 a計,兩者之間的時間尺度差距巨大,使得采用逐步分析的有限元計算模擬疲勞問題無法實現,本文在有限元計算過程中采用基于預測-插值跳躍算法[41]進行結構疲勞模擬。結構的隨機疲勞損傷可靠度計算流程如圖8所示。

圖8 結構隨機疲勞損傷可靠度計算流程

3.3 計算結果分析

對結構疲勞過程進行模擬,每個樣本的計算經過多次跳躍后,得到后期混凝土受壓區疲勞損傷狀態,典型樣本中混凝土受壓疲勞損傷分布如圖9所示。

圖9 典型樣本中混凝土受壓疲勞損傷分布

從圖9可以看出,一旦損傷比較快地集中于某個單元,后繼會以其為開始點形成一個損傷帶。

通過結合概率密度演化方程分析,可以獲得損傷演化過程的概率密度信息,不同加載循環后疲勞損傷的分布情況如圖10、圖11所示。

圖10 疲勞損傷的局部概率演化曲面

圖11 疲勞損傷在不同加載循環后的分布

從圖10、圖11可以看出,隨著疲勞加載的進行,疲勞損傷的分布窗寬不斷增大,顯示出很大的離散性。

根據(20)式計算相應的可靠度,結果如圖12所示。

圖12 混凝土受壓疲勞可靠度

從圖12可以看出,從106次到107次的加載過程中,受壓混凝土的疲勞損傷破壞可靠度逐步降低到0。

為更清楚地顯示結構的疲勞損傷可靠度情形,特定疲勞循環數N下對應的疲勞可靠度R以及不同R下對應的N見表1所列。

表1 不同N下的R與不同R下的N

從上述算例可以看出,通過將結構的疲勞全壽命分析與概率密度演化方法相結合,完全可以實現精細的結構疲勞可靠度分析。

4 結 論

(1) 通過對混凝土本構模型中的疲勞參數進行靈敏度分析,確定混凝土疲勞損傷本構模型的基本隨機參數,且通過對1批混凝土疲勞試驗數據進行參數識別,結合數理統計獲得基本參數的理論分布,給出完整的混凝土隨機損傷本構模型。

(2) 探索了求解結構疲勞可靠度的新途徑,即建立一個集損傷力學、非線性分析與隨機分析于一體的結構疲勞可靠度分析框架,以考察長期重復荷載作用下的結構在服役周期內的安全性問題。