具有非局部源雙重退化拋物方程解爆破時間下界的估計

吳秀蘭，楊曉新，吳彥銳

(1.長春理工大學 數學與統計學院，吉林 長春 130012；2.長春大學 電子信息工程學院，吉林 長春 130012)

1 預備知識

考慮具有非局部源雙重退化的拋物方程

(1)

其中：Ω?Rn(n≥3)是具有光滑邊界的有界區域；p>2；m≥1；初值u0(x)是在Ω上的非負連續函數.當m=1時，F.C.Li和C.H.Xie[1]借助上下解的方法得到了問題(1)局部解的存在唯一性，并且證明了當指標q>p-1，且初值充分大的條件下，解在有限時刻爆破.非線性發展方程(1)刻畫了物理、化學和生物種群動力學中的很多現象，而且更加符合實際.近年來，國內外許多學者對方程解的爆破與熄滅現象都展開了研究[2-4].當m=1時，文獻[5-8]分別給出了方程解存在性和唯一性，與解的爆破條件和熄滅條件.在生活中解的爆破時間的下界可以給出一個安全的操控時間，對解爆破時間下界估計具有十分重要的意義.關于解爆破時間下界的估計的研究也取得了一系列的研究成果[9-12].特別地，文獻[9]給出了空間維數n=3時，具有非局部源p-Laplace方程解爆破時間下界的估計.受到已有研究成果的啟發，本文運用微分不等式技巧，針對空間維數n≥3給出問題(1)解爆破時間下界的估計，推廣并完善已有的結果[9].

2 主要結果

定理1假設2m(p-1)，若函數u(x，t)是問題(1)在有界區域Ω?Rn(n≥3)上的非負弱解，定義函數

其中參數k滿足

如果函數u(x，t)在φ(t)意義下有限時刻T爆破，那么T有下界

其中：

k1=km1|Ω|2，

結合問題(1)第一個方程

進一步有

令

利用待定系數法，有

(2)

對式(2)中第二項應用H?lder不等式得

(3)

結合式(2)—(3)有

(4)

對式(4)中的第二項應用H?lder不等式有

(5)

其中：

結合式(4)—(5)，進一步有

(6)

對式(6)中的第三項應用Schwarz’s不等式，有

(7)

由Sobolev嵌入不等式

W1，p(Ω)

有

(8)

結合式(7)—(8)，并應用帶ε的Young不等式有

(9)

其中ε是待定常數.結合式(6)和(9)，有

令

k1=km1|Ω|2，

選取ε>0使得k3=0.取

從而

(10)

對式(10)關于時間t積分，有

3 結語

本文通過構造輔助函數并結合微分不等式，給出了具有非局部源雙重退化拋物方程解爆破時間的下界估計.可以通過構造適當的輔助函數，給出該問題解爆破時間的上界估計，從而進一步給出該問題解的生命跨度.