基于模態試驗的對接圓柱殼結構有限元模型修正

魏 莎，鄭冰月，張 忠，李旭龍，陳立群

(1.上海大學 力學與工程科學學院，上海 200444；2.上海市應用數學和力學研究所，上海 200072；3.北京強度環境研究所 可靠性與環境工程技術重點實驗室，北京 100076)

隨著航空航天領域的迅速發展，圓柱殼結構因其特有的結構優勢已得到了廣泛應用[1-2]。為保證實際結構的安全可靠運行，往往需對其進行動力學環境試驗?；趯嶋H結構的試驗預測結果真實可靠，是目前航天工程主要采用的預示方法。然而試驗件存在制造周期長、成本費用高、操作復雜和試驗環境難以搭建等問題。為解決上述缺陷，研究人員利用成熟的有限元軟件進行數值模擬仿真。通過有限元軟件進行仿真計算，可有效提高分析效率，節約研制成本[3]。然而，采用有限元仿真軟件進行動力學預測要求有限元模型具有很高的近似精度，可以反映實體結構的力學特性。但是，仿真計算結果往往與實際試驗數據存在一定的差異[4-6]。由于試驗中存在的操作誤差、測量誤差和試驗條件偏差等可通過規范試驗人員的操作來減小，因此認為試驗數據是準確可靠的。根據試驗數據對有限元模型進行修正是一類廣泛使用的模型修正方法[7]。有限元模型的誤差包括模型階次誤差、模型結構誤差和模型參數誤差[8]。其中，前兩種誤差可通過精準建模和細化單元網格來控制。模型參數誤差是模型修正主要考慮的因素。根據試驗數據對有限元模型參數進行修正以縮小仿真和試驗結果的偏差?；谠囼灁祿拚蟮挠邢拊抡婺Ｐ途哂休^高的精度，可以代替實際結構進行分析計算和響應預測[9]。

根據不同的修正目標，有限元模型修正方法可分為基于靜力試驗、基于模態試驗以及基于頻響試驗三種方法。其中，基于模態參數的修正方法將試驗測試與仿真計算的模態參數之差作為目標函數對模型進行修正，是一類廣泛使用的模型修正方法[10]。例如，蘇忠亭等[11]基于模態試驗和支持向量機響應面修正方法對火炮身管組件有限元模型進行修正。徐張明等[12]基于試驗測試和預測的有限元模型得到系統頻響函數，進而提出了一種改進的基于頻響函數的模型修正方法。陳德朋[13]以某緊湊型轎車白車身為研究對象，采用響應面法對白車身有限元模型進行替代，并結合模態試驗數據對模型進行修正，結果表明修正后的有限元模型精度明顯提高，可用于后期的優化設計。

另一方面，根據修正算法的不同，有限元模型修正方法可分為基于有限元模型的靈敏度分析法以及基于數學模型的響應面法?；陟`敏度分析的方法將模態參數對修正參數的靈敏度表示為一階泰勒級數展開的形式，進而構造特征量殘差目標函數并采用優化算法對有限元模型進行修正。這種方法實際上是基于有限元軟件不斷迭代直至達到精度要求。對于復雜模型多次調用有限元計算會使效率大大降低。響應面法則是以顯式的響應面函數來擬合結構特征量與修正參數之間的復雜隱式關系，通過建立一個替代有限元模型的代理模型進行優化迭代過程。這種方式可以避免多次調用有限元軟件進行計算，從而保證精度的同時有效提高修正效率。麻越垠等[14]采用響應面法對葉柵擺動裝置進行模型修正，修正后的前三階模態頻率誤差均在1%以內。秦仙蓉等[15]分別采用二次多項式響應面和高斯徑向基函數響應面模型對塔式起重機有限元模型進行修正，結果表明對于塔機結構，二次多項式響應面的擬合精度和修正效果比高斯徑向基函數響應面更好。鮑諾等[16]采用響應面法對GARTRUR飛機有限元模型進行模型修正，結果表明修正后的模型在測試和預測頻段具有良好的復現和預測能力。

本文以對接圓柱殼結構為研究對象，對結構進行模態試驗獲取模態參數并建立其對應的有限元模型，構建其二次多項式響應面模型，并利用構建的響應面函數替代有限元模型，實現對接圓柱殼結構的有限元模型修正。

1 對接圓柱殼結構模態試驗

1.1 模態試驗方案

試驗所研究對接圓柱殼結構如圖1所示，其基本參數如表1所示，采用6061鋁合金進行加工制作。該結構由兩個對稱圓柱殼體連接在法蘭基盤兩側，圓柱殼體與法蘭盤在連接處采用焊接形式連接。法蘭圓盤周向等距分布8個直徑為12.5 mm的圓孔，圓孔在試驗過程中用以螺栓連接兩個帶法蘭圓柱殼。

(a) 主視圖

試驗測試儀器選用LMS數據采集儀、B&K沖擊錘和B&K三軸加速度傳感器。模態試驗過程采用單點激勵多點響應的形式[17]，利用沖擊力錘所施加的脈沖激勵，采集各測點的響應信號，結合輸入、輸出信號進行曲線擬合，進而識別系統模態參數，模態試驗測試系統如圖2所示。本次試驗采用彈性繩進行貫穿方式懸掛，以實現自由邊界條件下的模態測試，懸掛方式如圖3所示。模態試驗中傳感器測點的布置，根據工程經驗結合預分析結果進行。在LMS Test.Lab軟件中，總共劃分112個測點，依次對測點進行x方向激勵并進行5次有效平均，以保證能夠激勵出盡量多的模態。

圖2 模態試驗測試系統Fig.2 Schematic diagram of experimental modal test system

圖3 模態試驗方案及懸掛方式Fig.3 Modal test scheme and suspension mode of system

1.2 試驗結果分析

基于上述試驗測試方案，計算得到結構的前14階模態頻率與振型，結果如表2所示。模態階次通過mode(m,n)描述，其中m表示軸向的節點數，n表示周向節點數，“*”表示結構振型呈軸對稱分布。由表2可知，對于周向節點數相同的模態，模態頻率有多組。此外，周向的半波數和軸向波數隨著模態階數的增加而增加，表現出圓柱殼結構的一般振動特性。但由于結構為對接形式，振型呈現出以法蘭面為分界的對稱振動和非對稱振動。

表2 對接圓柱殼結構前14階模態參數Tab.2 The first 14 order modal parameters of butted cylindrical shell structure

為了評價模態測試結果的正確性，通過模態置信度(model assurance criterion,MAC)進行評價。它是一種評價試驗模態振型相關性的重要指標[18]，可以表示為

(1)

式中,φi、φj為模態振型向量。

MAC的取值范圍為0～1，多數情況采用百分數表示。MAC值越接近于0，表示兩個振型向量之間越不相關；MAC值越接近于1，則表示兩個振型向量之間相似度越高。對于模態置信度矩陣而言，矩陣非對角線元素越小，各階模態振型的獨立性越好。圖4給出了本次模態試驗的MAC矩陣結果。由圖4可知，MAC矩陣對角線元素接近于1，非對角線上元素都接近于0。這說明各階模態振型均相互獨立，試驗模態測點選擇和布置合理，試驗模態分析得到的模態并無虛假模態。

圖4 試驗模態的MAC值矩陣Fig.4 MAC matrix of test mode

2 對接圓柱殼結構有限元建模

2.1 有限元模型

針對對接圓柱殼試驗件，采用ANSYS有限元軟件對其進行了有限元建模、網格劃分以及動力學特性分析。在ANSYS中建立的有限元模型如圖5所示，采用四面體單元劃分網格，采用15 mm網格尺寸進行有限元網格劃分，共劃分32 639個節點，9 699個單元。對接圓柱殼的密度為2 750 kg/m3，彈性模量為71 GPa，泊松比為0.33，所采用的邊界條件為自由邊界。

圖5 系統有限元模型Fig.5 Finite element model of system

在有限元建模過程中，法蘭實體單元與圓柱殼殼體單元因為單元自由度不匹配，不能直接進行連接。在ANSYS Workbench有限元軟件中提供了三種接觸方式，六種接觸類型。針對法蘭SOLID186單元和圓柱殼SHELL181單元的連接接觸面問題，選擇面-面的手動接觸綁定，連接界面采用罰函數算法[19]實現不同類型單元的連接。其中殼體端選用targe170單元，法蘭端選用conta174單元來定義3-D接觸對模擬。

2.2 有限元結果及對比

使用有限元軟件ANSYS對結構進行模態分析，并采用Block Lanczos模態提取法[20]提取結構前14階模態頻率。與試驗模態分析結果進行對比分析以確定有限元結果的準確性，模態頻率的對比結果如表3所示。從表3中結果可以看出：對接圓柱殼結構的試驗模態分析結果與有限元模態分析結果相對誤差最大為6.33%，超出了可接受的誤差范圍。此外，由于實際結構和材料參數的誤差波動，建立的有限元模型一般存在一定誤差。因此，有必要對有限元模型進行模型修正。

表3 試驗模態結果與有限元模態結果的對比Tab.3 Comparison of experimental modal results with finite element modal results

3 對接圓柱殼結構的有限元模型修正

對接圓柱殼結構的有限元模型修正流程如圖6所示。其具體流程包括參數篩選、試驗設計、響應面模型構造、響應面擬合精度分析、模型修正及結果分析5部分。具體地，選擇合適的設計參數；根據數理統計方法在參數的設計空間內確立樣本點；由樣本點計算響應值獲得完整的樣本數據；由樣本數據選擇合適的響應面模型；依據實測試驗數據確定合適的目標函數,根據響應面模型進行迭代修正，最后獲得修正后的有限元模型并進行修正精度分析。

圖6 對接圓柱殼結構的模型修正流程圖Fig.6 Model updating flow chart of butted cylindrical shell structure

3.1 參數篩選和試驗設計

由于單個圓柱殼結構由法蘭和圓柱殼兩部分焊接構成，而對接圓柱殼結構的圓柱殼部分采用同種材料鍛造而成。根據工程經驗，選擇彈性模量、密度和泊松比作為待修正參數，對其進行上下10%的取值。隨后采用三因素、五水平的中心復合設計試驗方法[21]，三個因素的水平數如表4所示。選取的15組設計方案如表5所示，根據不同方案更新有限元模型，并分別計算模態頻率，獲得完整的樣本數據。

表4 設計變量因素水平表Tab.4 Design variable factor level table

表5 中心復合設計試驗表Tab.5 Central composite design test table

3.2 響應面模型構造

目前，二次多項式[22]、BP神經網絡[23]、高斯徑向基函數[24]、Kriging模型[25]和支持向量機是比較常見的響應面模型。本文采用常用的不考慮交叉項的二次多項式響應面[26]。其響應面模型可表示為

(2)

(3)

式中，k為試驗次數。

A=[a,b,c]T，

a為單量，b=[b1,b2,…,bn]，c=[c1,c2,…,cn]。

當k>2n+1時，則PTP非奇異，由最小二乘法可得響應面模型的系數

A=(PTP)-1PTY

(4)

得到模型系數之后，進而可得到二次多項式響應面模型。

3.3 響應面擬合精度分析

在響應面模型建立之后，需要評價響應面函數與有限元結果之間的擬合程度和響應面模型的有效性。常用的評價因子有決定系數R2和均方根誤差ERMS(root mean square error,RMSE)兩種檢驗標準[27]。

(5)

(6)

對擬合后的響應面模型進行擬合精度分析，表6給出了對應的決定系數和均方根誤差。結果顯示各階模態頻率的決定系數均為1，均方根誤差值則在10-6數量級，這表明響應面模型與有限元模型的差異很小，響應面模型的精度符合要求，可代替有限元模型進行后續的修正計算。

表6 模態頻率決定系數和均方根誤差Tab.6 Determination coefficient and root mean square error of modal frequencies

3.4 模型修正及結果分析

在得到滿足精度要求的響應面模型之后，將根據響應面模型和試驗的目標響應值構造目標函數，選擇優化算法進行優化求解。本文選擇多目標遺傳算法[28]，該算法是非支配排序遺傳算法的一種變體。它支持多個目標和約束，旨在找到全局最優值[29]。以響應面模型和試驗結果的各階模態頻率相差最小作為目標函數[30]，目標函數可以表示為

(7)

圖7給出了修正前后的有限元模型計算得到的模態頻率與試驗模態頻率的相對變化率，其中樣本點為200，最佳修正密度為2 659.6 kg/m3，最佳修正彈性模量為70.627 GPa，最佳修正泊松比為0.305 22。從圖7中結果可以看出,修正后的有限元模型得到的各階模態頻率與試驗結果相比總體有所減小，但第7階模態頻率與試驗值的相對誤差仍大于5%。第5階、第6階模態頻率與試驗值的相對誤差接近5%。這說明需要在現有修正基礎上進行二次模型修正。

圖7 初次模型修正前后的模態頻率變化率Fig.7 Change rate of modal frequency before and after the first model updating

在上述響應面模型修正的基礎上，分析第5階、第6階、第7階模態頻率對設計參數的靈敏度。圖8給出了初次修正后第5、6、7三階模態頻率對設計參數的靈敏度情況。從圖8中結果可以看出，這三階模態頻率對泊松比最靈敏，密度和彈性模量的影響較小可以忽略不計。

圖8 初次修正后第5、6、7階模態頻率對設計參數的靈敏度Fig.8 The sensitivity of the 5th,6th and 7th modes frequencies to design parameters after the first model updating

表7給出了模型修正前后的模態頻率相對誤差情況，其中樣本點為200，最佳修正泊松比為0.263 77。表7中還給出了靈敏度分析方法的結果。從表7中結果可以得出：(1)與修正前的誤差相比，響應面法得到的各階模態頻率最大誤差由6.33%變為4.63%，其相對誤差均在5%以內，已滿足工程實際的計算需求。(2)與修正前的誤差相比，靈敏度分析方法得到的各階模態頻率最大誤差由6.33%變為5.50%，誤差有所下降，但不符合工程實際計算要求。(3)靈敏度分析方法得到的各階模態頻率最大相對誤差為5.50%，響應面法得到的最大相對誤差為4.63%。兩種方法相比，響應面法的修正效果更明顯，精度要更高，進一步驗證了響應面法的有效性。此外，靈敏度分析方法實際上是基于有限元軟件的不斷迭代，直至達到精度要求，對于復雜化的模型多次調用有限元計算會使計算效率大大降低。響應面法通過建立一個代理模型替代有限元模型，在計算效率方面具有明顯的優越性。

表7 模型修正前后的模態頻率相對誤差Tab.7 Relative error of modal frequency before and after model updating

圖9給出了模型修正前后的模態頻率相關性分析結果。將試驗模態頻率和有限元修正后的模態頻率分別作為直角坐標系的橫縱坐標，如果各階頻率值在對角線附近，說明各階模態頻率對應的比較好。從圖9中結果可以看出,計算的各階模態頻率與試驗值接近，說明了響應面法的有效性。圖10給出了重點修正的模態頻率對應的模態振型，也給出了試驗模態振型結果。由圖10可知,修正后的有限元模型計算結果與試驗振型具有較好地一致性，進一步說明采用響應面法對對接圓柱殼結構進行有限元模型修正具有較高精度。

圖9 模型修正前后的模態頻率相關性分析Fig.9 Modal frequency correlation analysis before and after model updating

(a) 試驗模態振型(4,2)*

4 結 論

本文以對接圓柱殼結構為研究對象，采用LMS數據采集分析系統進行了結構的模態試驗，另一方面利用ANSYS有限元軟件建立結構的有限元模型并進行模態分析，對比模態試驗結果和有限元仿真結果以確定有限元模型的準確性。根據模態試驗得到的模態頻率與響應面計算結果之差構造修正目標函數，選擇待修正參數并采用多目標遺傳算法對對接圓柱殼結構有限元模型進行了優化修正，并利用模態試驗數據對修正后的有限元模型進行驗證。根據模態試驗與有限元模型修正的結果，可得以下結論：

(1) 通過對對接圓柱殼結構自由邊界條件下的模態試驗結果進行分析，得到了對接圓柱殼的振型特點。對于周向節點數相同的模態，模態頻率有多組。此外，周向的半波數和軸向波數隨著模態階數的增加而增加，表現出圓柱殼結構的一般振動特性。但由于結構為對接形式，振型呈現出以法蘭面為分界的對稱振動和非對稱振動。

(2) 采用響應面法修正后得到的有限元模態頻率與實測模態頻率間相對誤差明顯減小，具體地，與修正前的誤差相比，響應面法得到的各階模態頻率最大誤差由6.33%變為4.63%，其相對誤差均在5%以內，已滿足工程實際的計算需求。結果表明,采用響應面法進行模型修正有效提高了對接圓柱殼有限元模型的準確度，取得更好的預測效果，進而驗證了基于響應面法在對接圓柱殼有限元模型修正中的有效性。

(3) 靈敏度分析方法得到的各階模態頻率最大相對誤差為5.50%，響應面法得到的最大相對誤差為4.63%。兩種方法相比，響應面法的修正效果更明顯。此外，靈敏度分析方法實際上是基于有限元軟件的不斷迭代，直至達到精度要求，對于復雜化的模型多次調用有限元計算會使計算效率大大降低。響應面法通過建立一個代理模型替代有限元模型，在計算效率方面具有明顯的優越性。