一種振蕩浮子式波能發電裝置的負載匹配模型的創建

何廣華，汪 鵬，劉朝綱，欒政曉

(1.哈爾濱工業大學(威海) 海洋工程學院，山東 威海 264209；2.山東船舶技術研究院，山東 威海 264209)

振蕩浮子式波浪能發電裝置根據工作原理的不同可分為機械式[1]和液壓式[2-3]。機械式是通過齒輪齒條等機械傳動裝置將浮子的運動轉化為旋轉運動，然后通過齒輪箱進行增速，最后在發電環節中通過發電機將旋轉運動的機械能轉化為電能。液壓式則是利用液壓系統進行發電。對于機械式的振蕩浮子式波浪能發電裝置，在其設計過程中，需要對某一確定的浮子進行負載匹配，即確定最佳的傳動比和發電機的參數，以達到最佳發電功率。當使用水動力軟件對浮子水動力性能進行計算時，只能在浮子上添加附加質量和負載阻尼等類型的負載，但是在實際情況中，發電機是一種較為復雜的負載，其阻尼系數難以根據產品基本參數信息查得，因此難以直接使用水動力軟件計算以發電機為負載的浮子水動力響應，除此之外還需要考慮齒輪箱傳動比的影響。因此本文提出了一種考慮上述影響因素的負載匹配模型，能夠根據浮子快速確定最佳負載參數。

Ronald等[4-7]利用數學公式計算了漂浮圓柱體的水動力系數和無量綱波浪力振幅。張萬超[8]等基于單浮體垂蕩動力學模型得到了最優PTO阻尼，并分析了PTO對垂向運動RAO和俘獲寬度比的影響，但是該動力學模型并沒有考慮PTO的轉動慣量的影響，并且PTO阻尼不能反映負載參數的影響。Felipe等[9-10]建立了雙體系統的動力學模型，模型中包含了PTO的轉動慣量并得到了PTO阻尼的表達式，但是該PTO阻尼是根據與發電機相連的電阻所得到的，沒有充分考慮發電機自身性能參數的影響。李增亮等[11]研究了浮子式波能轉換裝置與發電機功率的最佳匹配，采用線性阻尼力代替直流發電機的特性，分析了波浪參數對匹配功率的影響規律以及變化負載對最大發電功率的影響。葉寅等[12-13]建立了波浪能裝置液壓轉換系統的仿真模型，該系統包括了各液壓元件與發電機，較好地模擬出了波浪輸入下液壓能量轉換系統的發電特性曲線。張蘭勇等[14]對直流力矩電機進行了理想建模，得到了直流電機的數學模型，同時也對電機的機械摩擦與內部損耗等非線性因素進行了分析。

本文利用Simulink搭建了機械式振蕩浮子式波浪能發電裝置的浮子垂蕩運動模型，模型中考慮了傳動比與發電機的影響。根據發電機的性能參數，對不同直徑的浮子進行負載匹配。除此之外，本文從Simulink模型中推導出能夠施加于水動力軟件的附加質量和負載阻尼，并將水動力軟件的計算結果與Simulink的計算結果進行了對比驗證。所建模型可以應用于機械式振蕩浮子式波浪能發電裝置的設計、機械結構參數的確定和發電機的選型等，并對其他類型的波浪能發電裝置的設計提供借鑒。

1 Simulink模型推導

1.1 浮子垂蕩運動模型

采用機械傳動的振蕩浮子式波浪能發電裝置的結構如圖1所示，浮子與齒條固定在一起，齒條與齒輪嚙合傳動，齒輪轉軸連接齒輪箱，齒輪箱連接發電機。發電機作為負載時，其具有阻尼，并且發電機轉子的轉動慣量J會導致轉子轉動時產生慣性轉矩。將發電機的阻尼系數與轉子的轉動慣量折算到浮子上，分別得到負載阻尼CP和轉子等效質量mJ，轉子等效質量是添加在浮子上的附加質量，由此得到浮子動力學模型，如圖2所示，其中kw為靜水回復力剛度，μ33為垂蕩附加質量，λ33為垂蕩輻射阻尼，Fe為垂向波浪激勵力。

圖1 波浪能發電裝置結構Fig.1 Structure diagram of wave energy converter

圖2 浮子動力學模型Fig.2 Buoy dynamic model

本論文暫不考慮海流對機構垂向運動的影響，因此根據牛頓第二定律可以得到浮子在入射波作用下的動力學方程：

(1)

式中：m為浮子質量；z為浮子垂向運動位移；Fr為垂向輻射力；Fe為垂向波浪激勵力；Fs為垂向靜水回復力；FP為負載力。

根據勢流理論，垂向輻射力Fr可分解為與浮子垂向運動加速度有關的附加質量力和與浮子垂向運動速度有關的輻射阻尼力。只考慮一階作用力，垂向輻射力可表示為：

(2)

垂向波浪激勵力Fe可用無量綱波浪力振幅表示：

(3)

垂向靜水回復力Fs可表示為：

Fs=-kwz=-ρgAwz

(4)

式中：kw為靜水回復力剛度；Aw為水線面面積，對于圓柱型浮子Aw=πR2。

對于發電機系統，負載力FP可用負載阻尼CP和轉子等效質量mJ表示：

(5)

將上述表達式整理可得浮子垂蕩運動方程：

(6)

對式(6)兩端進行拉式變換，可得浮子垂蕩運動傳遞函數：

(7)

式中，M=m+μ33。

當無負載時，mJ=CP=0，此時浮子做自由垂蕩運動，其傳遞函數為：

(8)

1.2 發電機負載方程

以直流電機作為發電環節中的發電機，電樞回路圖如圖3所示。轉子轉動從而在電樞回路中產生電樞電流和反電動勢。

圖3 電樞回路圖Fig.3 Armature circuit diagram

根據電路理論，列出電樞回路的電壓平衡方程：

(9)

電機感應電勢方程為：

Ea=Ke·ωM

(10)

電磁轉矩基本方程為：

TF=Kt·Ia

(11)

式中：Ea為反電動勢；Ia為電樞電流；La為電樞電感；Ra為電樞電阻；Ke為反電動勢系數，ωM為轉子角速度；Kt為轉矩系數，TF為電磁轉矩。

將上述表達式進行拉式變換并整理可得電磁轉矩傳遞函數：

(12)

由于機械摩擦、磁滯損耗以及渦流損耗等原因，在發電機中會產生阻轉矩Tf，但是阻轉矩Tf的影響較小，本論文中將此項忽略。由于轉子的轉動慣量J，轉子轉動時會產生慣性轉矩TJ。因此負載轉矩TP表示為：

TP=TF+TJ

(13)

1.3 傳動機構方程與轉子等效質量

對于采用機械傳動的振蕩浮子式波浪能發電裝置，其傳動機構為齒輪齒條和齒輪箱。齒輪軸與齒輪箱輸入軸相連，齒輪箱輸出軸與發電機轉軸相連。此傳動機構的方程為：

(14)

將轉子的慣性轉矩折算到浮子上，并與轉子等效質量產生的慣性力相等，由此可得：

(15)

聯立式(14)和式(15)，可得轉子等效質量為：

(16)

1.4 Simulink模型

結合1.1、1.2和1.3的內容，可以建立浮子垂蕩運動的Simulink模型，如圖4所示。該模型中的“lambda_33”為垂蕩輻射阻尼λ33；“gamma”為等效傳動系數γ。

該模型在浮子自由垂蕩運動的基礎上，加入發電機負載與等效傳動系數。浮子運動的速度經過傳動機構后，轉換為發電機轉子轉動的角速度。發電機的負載轉矩經過傳動機構后，轉換為負載力作用在浮子上。輸入的垂向波浪激勵力需要克服負載力才能驅動浮子進行運動。反電動勢Ea與感應電流Ia的乘積為Simulink模型的理想瞬時發電功率。

圖4 仿真模型

1.5 系統傳遞函數的簡化

為了驗證圖4中的Simulink模型計算結果，采用水動力軟件計算相同負載下的浮子垂蕩運動響應，因此需要根據Simulink模型來求解負載阻尼CP。

根據圖4可得系統閉環傳遞函數為：

(17)

式中：X=Laγ2

Y=Raγ2

E=JLa+MLaγ2

F=JRa+(MRa+λ33La)γ2

G=KeKt+(kwLa+λ33Ra)γ2

H=kwRaγ2

由式(17)可知，Simulink模型為三階系統，無法直接求出負載阻尼CP。式(7)為二階系統，此二階系統包含了負載阻尼CP。因此將三階系統化簡為二階系統。

不妨令：

(18)

對式(18)分母中的多項式乘積進行展開，并令式(17)和式(18)分母中的各項系數對應相等，可得：

XMg=E

(19)

CgX+MgY=F

(20)

KgX+CgY=G

(21)

KgY=H

(22)

由式(19)和式(22)可得：

(23)

(24)

由式(20)可得：

(25)

由式(21)可得：

(26)

因為式(25)中只有垂蕩輻射阻尼，式(26)中除了垂蕩輻射阻尼，還包含有一項阻尼，所以選取式(26)為Cg的表達式，并定義：

(27)

綜上，得到二階系統表達式：

(28)

1.6 誤差分析

式(17)與式(28)相減，可得三階系統與二階系統的誤差傳遞函數E(s)：

(29)

對式(3)進行拉式變換，得：

(30)

當輸入為垂向波浪激勵力Fe(s)時，輸出為浮子垂向位移誤差：

ΔZ(s)=E(s)·Fe(s)

(31)

對上式進行拉式逆變換，得到位移誤差響應：

(32)

式中，σk為多項式Eσ3+Fσ2+Gσ+H的第k個根。

則相對位移誤差為

(33)

式中,z3為三階系統浮子垂蕩位移響應。

2 結果與分析

2.1 浮子模型和仿真參數

本文中的計算模型為三種尺寸的圓柱型浮子，浮子參數如表1所示。在ANSYS AQWA中建立三種浮子的數值模型，網格最大單元尺寸分別為0.03 m、0.04 m、0.05 m，網格個數分別為15 388、23 036、27 754。2號浮子模型正視圖和網格示意圖如圖5。

表1 圓柱型浮子參數Tab.1 Parameters of cylindrical buoys

圖5 AQWA中2號浮子模型正視圖(左)和網格示意圖(右)Fig.5 Front view (left) and grid diagram (right) of buoy No.2 in AQWA

在AQWA中Hydrodynamic Diffraction模塊計算圓柱型浮子垂蕩運動的附加質量、輻射阻尼和無量綱波浪力振幅，計算頻率為0.05～6.00 rad/s，頻率個數為98，水深為50 m。求出三種浮子在表2所示“威海國家淺海綜合試驗場”海域平均海況下的水動力系數，如表3所示。

表2 海況Tab.2 Sea state

表3 浮子水動力系數Tab.3 Hydrodynamic coefficients of buoys

根據以上參數，計算得到浮子垂向波浪激勵力，如表4所示。

表4 浮子垂向波浪激勵力Tab.4 Vertical wave excitation force of buoys

由式(16)和式(27)可知，傳動機構中實際影響轉子等效質量與負載阻尼的物理量是等效傳動系數γ，為了便于研究與分析，取rg為0.1 m，通過改變傳動比來改變等效傳動系數。發電機的參數如表5所示。

表5 130LY51型直流電機性能參數Tab.5 Performance parameters of 130LY51 DC motor

2.2 二階系統輸出響應誤差

在本文的仿真參數下，計算得到不同直徑浮子在不同傳動比下的最大相對位移誤差。由表6可知，簡化后的二階系統的最大相對位移誤差均小于1%，誤差很小，因此可以將二階系統得出的負載阻尼與轉子等效質量施加于AQWA中的垂蕩浮子上，用AQWA的計算結果驗證Simulink模型。

表6 二階系統最大相對位移誤差Tab.6 Maximum relative displacement error of second order system

2.3 負載參數

根據式(16)和式(27)，計算得到不同傳動比下的轉子等效質量mJ與負載阻尼CP，如表7所示。在AQWA中Additional Added Mass和Additional Damping分別添加mJ和CP,只解放浮子的垂蕩自由度，在表2的海況下進行時域計算，得到浮子的垂蕩運動響應，并與Simulink模型浮子的運動響應做對比。

表7 轉子等效質量與負載阻尼Tab.7 Equivalent mass of rotor and load damping

2.4 驗證與分析

經Simulink模型計算得到三種浮子在不同傳動比處的垂蕩振幅AB，如表8所示。

表8 浮子在不同傳動比處的垂蕩振幅Tab.8 Heave amplitude of buoys at different transmission ratios

用式(34)對浮子垂蕩運動的振幅進行無量綱化，用式(35)計算AQWA浮子瞬時發電功率，用式(36)計算Simulink浮子瞬時發電功率。用式(37)計算平均發電功率PB，平均發電功率為瞬時發電功率PI在一個波浪周期內的平均值。

(34)

式中，AB為浮子垂蕩運動的振幅。

AQWA瞬時發電功率計算式為：

(35)

Simulink瞬時發電功率計算式為：

(36)

平均發電功率計算式為：

(37)

式中，T為入射波周期。

1號、2號和3號浮子在不同傳動比處的無量綱垂蕩振幅和平均發電功率如圖6、7和8所示。從上述對比圖中可以看出，Simulink模型的計算結果與AQWA的計算結果吻合很好，隨著傳動比倒數的增大，無量綱垂蕩振幅近似呈現線性衰減，平均發電功率先增大后減小，出現了最大平均發電功率，并且同一浮子的兩種計算結果在相同的傳動比處達到最大平均發電功率，因此Simulink模型反映出了無量綱垂蕩振幅和平均發電功率隨傳動比變化的趨勢，并能準確預測出最佳發電功率點。

表9為Simulink模型與AQWA的計算誤差。浮子垂蕩振幅的計算誤差不超過6 mm，對應的相對誤差小于3%，平均發電功率幅值的相對誤差小于4%。

(a) 浮子無量綱垂蕩振幅

(a) 浮子無量綱垂蕩振幅

(a) 浮子無量綱垂蕩振幅

表9 計算誤差Tab.9 Calculation errors

圖9至圖14為不同浮子在最佳傳動比(最大發電功率處的傳動比)處的垂蕩位移和瞬時發電功率。從圖中可以看出Simulink模型很好地反映出了浮子的垂蕩運動。Simulink瞬時發電功率的計算結果是：在一個波浪周期內，出現兩個峰值，并且兩個峰值大小相等。但是AQWA瞬時發電功率的計算結果是：在一個波浪周期內出現的兩個峰值大小不等，但是二者差值較小。這是因為在Simulink模型中，浮子垂蕩運動的上行和下行最大垂蕩速度相等；而在AQWA中浮子垂蕩運動的上行和下行最大垂蕩速度有微小差異，由于負載阻尼的數量級遠大于浮子垂蕩速度的數量級，因此這種微小差異在計算瞬時發電功率時被放大，產生了AQWA中一個波浪周期內出現的兩個峰值大小不等的現象。

3 結 論

(1) Simulink與AQWA的計算結果吻合很好，充分反映了浮子垂蕩運動振幅和平均發電功率幅值隨負載變化的趨勢，相對誤差不超過4%。

(2) 本文中發電機的負載模型是根據發電機的基本性能參數和電磁理論推導計算得出，而不是單純的阻尼參數，更貼合實際。

(3) Simulink與AQWA的計算結果均在相同的最佳負載阻尼下達到最大平均發電功率。在本文中，負載阻尼是根據傳動比和發電機負載模型計算得到，能夠用于確定最佳傳動比。

(4) 最佳傳動比與齒輪半徑的乘積即為最佳等效傳動系數，因此可以在保證最佳等效傳動系數不變的前提下，根據設計需求靈活選擇不同的齒輪半徑rg，并得到對應的最佳傳動比。

(5) 所建模型可以應用于振蕩浮子式波浪能發電裝置的設計、機械結構參數的確定和發電機的選型。