基礎激勵下磁懸浮轉子系統動力學建模與分析

沈 權，周 瑾，馬彥超，徐園平，張 越

(南京航空航天大學 機電學院，南京 210016)

近年來隨著磁懸浮技術的發展，磁懸浮軸承逐漸被廣泛應用于車載飛輪，航天控制力矩陀螺，船用渦輪機等旋轉機械設備中[1-3]。盡管許多國內外學者已經從各個方面開展了以主動磁懸浮軸承(AMB)支承的轉子系統的動力學特性研究，但基本集中在靜止基礎條件下[4-6]，基礎激勵下磁懸浮轉子系統的相關研究還不夠充分。當轉子安裝在船舶，車輛，飛機等基礎發生運動的設備上時[7-8]，與基礎固連的軸承定子運動所引起的基礎激勵會影響磁懸浮轉子正常工作。這個問題可以歸結為基礎激勵下的磁懸浮轉子振動問題，因此建立基礎激勵下磁懸浮轉子的動力學模型，分析轉子系統的動力學特性有著重要意義。

Duchemin等[9-10]考慮傳統軸承支承(例如滾動軸承，滑動軸承)的柔性轉子，基于拉格朗日方程建立了基礎激勵下轉子運動方程；Das等[11-12]基于機動車輛上的轉子進行拉格朗日建模，將磁懸浮軸承作為作動器，用于抑制轉子振動，得到了基礎簡諧激勵下的轉子運動方程，但方程未考慮重力變化與轉動引起的附加力矩影響。蔣科堅等[13-14]首先推導了基礎激勵下單自由度磁懸浮軸承支承模型，進一步推廣到多自由度轉子模型，研究表明不考慮陀螺效應，基礎正弦激勵可以等效為轉子受到一個由基礎加速度決定的強迫振動，但轉子模型未考慮基礎轉動的影響。Li等[15]基于航天器中磁懸浮控制力矩陀螺，利用歐拉動力學等力學理論建立了雙框架運動下的轉子運動方程，然而框架順序影響著轉子受到的耦合力矩，并且轉子陀螺效應明顯，并不適用于一般轉子。

在動力學分析方面，Zheng等[16]基于基礎激勵下的磁懸浮轉子數學模型，在模型穩定性分析基礎上，從轉子漸近穩定性和區域穩定性兩方面進行了討論。Soni[17]利用線性時變系統的穩定性分析方法，通過轉子數學模型的狀態矩陣，求解近似狀態轉移矩陣進行穩定性分析，得到了不同基礎激勵參數下的轉子穩定區間。Xu等[18]在建模中考慮了基礎平動與基礎轉動，探究了系統與激勵各參數對磁懸浮轉子位移幅值的變化規律。姜豪等[19]討論了應用在船舶設備中不同基礎傾斜工況下的磁懸浮轉子動力學特性，通過仿真和試驗得出基礎傾斜工況不僅會使轉子響應出現倍頻成分，基礎傾斜引起的重力變化也不可忽略。楊紅進等[20]以車載飛輪為研究對象，并不基于轉子數學模型，而是利用ADAMS與Simulink進行基礎激勵下磁懸浮轉子的聯合仿真，分析了車輛加減速、轉彎、爬坡、路面顛簸引起的橫向，俯仰等工況下轉子的振動位移響應，并簡要分析了不同基礎激勵下轉子的運動狀態。

通過對各學者研究工作的介紹，還存在以下問題需要深入探究：(1)部分磁懸浮轉子建模只考慮了基礎平動激勵，未考慮基礎轉動影響；(2)盡管部分研究通過拉格朗日方程建?？紤]了基礎轉動影響，但未考慮基礎轉動引起的重力變化與附加耦合力矩影響，同時并未辨明磁懸浮軸承支承力在方程中的關系；(3)在穩定性分析中未考慮磁懸浮軸承電磁力變化的影響；(4)動力學分析中并未深入研究轉速，附加偏心等參數變化以及基礎激勵參數之間對轉子振動產生的耦合影響。

基礎激勵也是十分復雜的，從分類上講，基礎激勵可以分為平動激勵與轉動激勵；與轉子作用方向相結合，也可以分為徑向激勵和軸向激勵。不同的基礎激勵作用形式也不相同，例如簡諧激勵、沖擊激勵、隨機激勵等，簡諧激勵主要由頻率與振動幅值決定，沖擊激勵主要由沖擊脈寬與沖擊幅值決定，而隨機激勵主要由功率譜密度決定等等。

針對上述問題，選取在船舶車輛中常見的基礎簡諧激勵，首先考慮不平衡、重力、非定點轉動的附加慣性力矩影響，建立了基礎激勵下磁懸浮轉子的動力學模型；搭建了磁懸浮轉子系統機電一體化模型；然后利用等效剛度阻尼模型分析了各參數對磁懸浮轉子系統的穩定性的影響；最后從轉子軌跡，振動幅值兩方面分析了不同基礎激勵參數對磁懸浮轉子的影響。

1 基礎激勵下磁懸浮轉子動力學建模

在進行轉子動力學建模之前，首先需要明確傳統軸承支承的轉子建模與磁懸浮軸承支承的轉子建模在原理上是相似的，只是對軸承支承力處理方法不同。

1.1 磁懸浮轉子動力學分析

一般轉子運動方程有兩種建模方法，一種是利用牛頓力學與歐拉動力學方程等力學理論，另一種則采用拉格朗日方程。兩者在結論上是等價的，但第二種方法邏輯簡單直接，較為常用，因此本文將采取拉格朗日方程進行轉子建模。

無論基礎是否運動，利用拉格朗日方程建模的思路是不變的。首先確立轉子及其相關坐標系，然后求解轉子動能，勢能，耗散能以及廣義力，最后代入方程求解計算，拉格朗日方程的一般形式如下：

(1)

式中：T為系統的動能；R為系統的耗散能；V為系統的勢能；x為廣義坐標；Q為系統受到的各種廣義力。

磁懸浮軸承支承力在拉格朗日方程中的應用與傳統軸承不同，磁懸浮軸承電磁力一般做廣義力處理，而不作為剛度阻尼項施加到轉子運動方程中。由于電磁力的支承特點，支承剛度引起的勢能與支承阻尼所引起的耗散能由廣義力代替，故只分析轉子動能即可。

徑向磁軸承采用8極差動結構，由于磁懸浮轉子徑向與軸向耦合很小，所以只需求解徑向四自由度磁懸浮轉子運動方程，軸向可以按照單自由度磁懸浮轉子建模。

1.2 轉子及相關坐標系

正如1.1節中的轉子建模思路，建立以下坐標系：

參考坐標系Oxyz：大地為參考的笛卡爾坐標系。

基礎坐標系Obxbybzb：固連于設備基礎上的坐標系，各坐標軸與參考坐標系平行，z軸為設備前進方向，基礎相對大地運動的位置向量為[ubx,uby,ubz,θbx,θby,θbz]。

轉子坐標系Orxryrzr：固連于轉子質心的坐標系(簡稱b系)，初始時基礎系原點與轉子系原點重合，為了提高轉子承載能力，磁懸浮軸承徑向布置偏轉45°，轉子系相對基礎系的位置關系如圖1、2所示，轉子相對基礎運動的位置向量為[ux,uy,uz,θx,θy,θz]。

圖1 轉子與基礎的位置關系Fig.1 Position relationship between rotor and foundation

圖2 轉子系相對基礎系在z方向夾角關系Fig.2 Angle relationship between rotor system and foundation system in z direction

虛擬基礎坐標系Obxgygzg：為了便于分析，定義固連于基礎上的虛擬系(簡稱g系)，g系為b系繞z軸順時針旋轉45°得到，應用虛擬基礎系后，即與最終轉子坐標方向保持一致。虛擬基礎對應的位置向量為[ugx,ugy,ugz,θgx,θgy,θgz]，而虛擬基礎位置向量與基礎位置向量變換關系為

(2)

則g系到b系的變換矩陣為

(3)

1.3 轉子動能與動力學方程

轉子動能有平動動能與轉動動能兩部分組成，對于轉子的平動動能，基礎g系相對大地參考系的位置向量為rg=[ugx,ugy,ugz]，轉子質心在基礎g系下的位置向量為ri=[ux,uy,uz]。

則轉子速度向量表示為

(4)

這里ωg×ri為叉乘，其中ωg為坐標系耦合矩陣，表示為

(5)

則轉子平動動能為

(6)

在轉子的轉動動能求解中，轉子的角速度需要用歐拉角表示，在這里選取常應用于航空航天領域的克雷洛夫角(也稱卡爾丹角)。

轉子角速度向量為

(7)

(8)

(9)

式中，α，β，γ為慣用表達，α=θx，β=θy，γ=θz。以ωr為例，歐拉角轉動關系如圖3所示

圖3 歐拉角轉動次序關系Fig.3 Euler angle rotation order relation

(10)

則轉子轉動動能為

(11)

將轉子動能代入拉格朗日方程中，取轉子質心q=[ux,uy,θx,θy]作為廣義坐標，以基礎g系為參考，經公式推導及簡化處理后得到轉子徑向四自由度動力學方程

(12)

式中，q=[x,y,α,β]=[ux,uy,θx,θy]。q表示質心處轉子的位移，f=[fx1,fx2,fx3,fx4]T表示磁懸浮軸承提供的電磁力，M為廣義質量矩陣，G為陀螺矩陣，B為電磁力作用矩陣，Fg為基礎振動所產生的等效廣義力向量，具體簡化及矩陣形式詳見附錄A。

1.4 附加慣性力矩與重力擾動建模

轉子轉動動能建模過程中，大部分學者都忽略了非定點轉動對轉子產生附加力矩的影響。實際上基礎并非圍繞基礎系原點定點轉動，結合剛體動量矩定理[21]，附加慣性力矩實質上表現為轉子的附加剛度矩陣Kg以及廣義力矩陣Fg，具體形式見附錄B。

同樣地，學者們也忽略了基礎運動引起的重力擾動的影響。實際上基礎平動不會產生重力擾動，基礎轉動的兩個自由度會產生重力擾動影響，基礎轉動下重力載荷變化如圖4所示

(a) z向轉動

重力擾動實質上影響徑向x、y方向磁懸浮軸承的承載平衡，通過簡單推導，重力擾動FG表示為

(13)

1.5 轉子不平衡建模

轉子由于制造或安裝誤差等，質量不平衡是必然存在的，但這并不影響基礎振動建模，所以轉子不平衡可以單獨建模。

假設不平衡質量點為qg，則質量不平衡可以表示為

(14)

式中:e和φ表示靜不平衡的的幅度和相位；ε和γ表示動不平衡的的幅度和相位。推導得到由于轉子不平衡等效的慣性力矢量為

(15)

由于本文中磁懸浮轉子軸向長度要遠大于徑向長度，故Jz忽略不計。不平衡力簡化為

(16)

1.6 轉子運動方程

綜合考慮了附加慣性力矩，重力擾動以及不平衡力之后，代入基礎b系到虛擬g系的坐標變換Cgb，最終基礎激勵下轉子動力學方程為

(17)

其具體矩陣形式詳見附錄C。

通過上述方程可以看到，基礎激勵下的磁懸浮轉子除了受到電磁力、不平衡力、重力擾動作用之外，還受到基礎激勵引起的廣義外力作用，同時還產生了附加剛度和阻尼矩陣。

由于轉子運動方程的復雜性，為了便于后續仿真研究，這里對方程各參數進行分析和簡化處理。方程的運動參數主要由轉子運動參數和基礎運動參數組成，本文主要分析徑向四自由度下轉子動力學行為，由于軸向磁懸浮軸承位移很小，忽略轉子軸向位移uz的影響，即對Fb簡化處理，矩陣詳見附錄D。

基礎運動參數主要有徑向平動激勵(以位移參數表示為ux,uy)、徑向轉動激勵(θx,θy)、軸向平動激勵(uz)、軸向轉動激勵(θz)，徑向基礎激勵在x和y方向自由度上作用是等價的，因此仿真主要討論ux，θy，uz，θz以及它們的復合運動，從激勵頻率與幅值兩個方面分析轉子的影響規律。

2 磁懸浮轉子系統機電一體化建模

2.1 磁懸浮轉子系統模型

磁懸浮轉子系統作為典型的閉環反饋系統，主要由五部分組成，分別是轉子、磁懸浮軸承、控制器、功率放大器、傳感器。本文所使用的磁懸浮軸承參數見表1；轉子結構圖如圖5所示，參數見表2。

表1 磁懸浮軸承主要參數Tab.1 Main parameters of magnetic bearing

圖5 磁懸浮轉子結構尺寸Fig.5 Structural dimensions of magnetic levitation rotor

表2 轉子結構各參數尺寸Tab.2 Parameters and dimensions of rotor structure

在磁懸浮轉子系統中，傳感器為實際測量轉子變化量的部件，轉子輸出的徑向位移需要通過控制器輸出控制電流在磁懸浮軸承處進行控制，然而傳感器、控制器、磁懸浮軸承作用點并不在同一位置。為描述轉子受基礎激勵的響應特性，轉子位移統一表示為傳感器處轉子的位移。令磁軸承處轉子位移為qd=[x1,y1,x2,y2]T，傳感器處的轉子位移表示為qh=[xh1,yh1,xh2,yh2]T，則質心位移q與qd，qh之間轉換矩陣為

qc=Rqd,qc=Hqh

(18)

為了建立磁懸浮轉子機電一體化模型，應從電磁力入手，因為系統各部分最終體現于磁懸浮軸承的電磁力中，電磁力與轉子位移q有著密切的關系，實際磁懸浮軸承產生的為非線性電磁力，一般磁懸浮軸承在線性工作區[22]，線性化后電磁力為

f=KiI-Kxqd

(19)

式中，Ki=diag[kix1,kiy1,kix2,kiy2]T為各個磁軸承的力-電流剛度組成的矩陣，Kx=diag[kxx1,kxy1,kxx2,kxy2]T為各個磁懸浮軸承的力-位移剛度組成的矩陣，I=[ix1,iy1,ix2,iy2]T為磁軸承的控制電流組成的向量。

電磁力主要由控制電流決定，其包含了閉環控制系統各個環節的作用，本文采用的位移傳感器和功率放大器均可以視為理想的比例環節，控制器采用經典的PID控制，其傳遞函數為

(20)

式中，kP為控制器比例系數，kI為控制器積分系數，kD為控制器微分系數。

則控制電流在時域下表達為

(21)

式中，ka為功放增益系數，ks為傳感器增益系數，ka和ks均為常數。

2.2 等效剛度阻尼與狀態空間模型

將電流表達式代入到轉子運動方程的電磁力中，可以看到方程既有二階微分項同時也存在積分環節，為了便于穩定性分析以及探究控制系統各環節對系統的影響，建立電磁力等效剛度阻尼的概念，利用頻域變換求解磁懸浮軸承的等效剛度阻尼，建立完善的狀態空間模型。

利用推導的轉子動力學方程，轉子坐標統一用廣義坐標系q(即質心坐標系)表示，將控制電流項代入，轉化到頻域得

s2Mqc+s(G+Cb)qc+(BKiGsGcGaH-1+

BKxR-1+Kb)qc=Fu+Fb+Fg

(22)

根據電磁力等效支承力

(23)

代入轉子運動方程(17)中可得

Fu+Fb+Fg

(24)

轉化到頻域得

s2Mqc+s(G+Cb+BCR-1)qc+(Kb+BKR-1)qc=

Fu+Fb+Fg

(25)

然后令s=jω代入得

[(-Mω2+Re(BKiGsGaGc)H-1+BKxR-1+Kb)+

j(Gω+Cbω+lm(BKiGsGaGc)H-1)]qc=

Fu+Fb+Fg

(26)

[(-Mω2+BKR-1+Kb)+j(Gω+Cbω+

BωCR-1)]qc=Fu+Fb+Fg

(27)

由此可得等效剛度阻尼為

(28)

令

CB=G+Cb+BCR-1

KB=Kb+BKR-1

FB=Fu+Fb+Fg

(29)

則轉子狀態空間模型表示為

(30)

3 系統穩定性分析

3.1 穩定性分析理論

穩定性分析的方法有很多，如傳統控制理論進行分析(例如利用勞斯判據，奈奎斯特判據，bode判據等)，也有現代控制理論的分析(利用李雅普諾夫穩定性理論)，也有利用近似求解模型的狀態轉移矩陣的特征值來判別穩定性[23]，本文研究的磁懸浮剛性轉子系統實際上是一個二階系統，在經過電磁力線性化之后，磁懸浮轉子的動力學方程為二階線性微分方程，只需要考慮齊次方程。

結合轉子系統的狀態空間模型，根據特征方程判斷特征值來進行穩定性的分析。

由現代控制理論可知，對形如

(31)

上述狀態空間模型，其傳遞函數形式為(一般D陣為零陣)

(32)

即系統特征方程為det(sI-A)=0，當其特征根實部為負值，則證明系統是穩定的。

需要注意的是矩陣A中的陀螺矩陣項以及等效剛度阻尼項均與轉速相關，不同轉速下對應的特征值并不相同，不同轉速對系統穩定性的影響并不是本文的研究重點，而是重點研究基礎運動參數以及閉環系統控制器參數對于系統穩定性的影響。在仿真計算中為使PID控制器穩定，引入不完全微分Tf，系統電控模型相關參數如表3，各參數表達詳見2.1節。

表3 系統電控模型參數Tab.3 System electric control model parameters

轉子轉速取固定轉速ω=50 Hz，通過等效剛度阻尼模型計算，該轉速下徑向磁懸浮軸承等效剛度約為5.6×105N/m，等效阻尼約為525.6 N·s/m。

3.2 基礎激勵參數對系統穩定性影響

通過特征方程可知，影響轉子穩定性的參數主要有兩部分，一部分為基礎運動參數，一部分為轉子系統參數，例如控制參數，偏置電流等。

表4 不同基礎激勵的穩定性仿真參數Tab.4 Stability simulation parameters of different foundation excitation

圖6(a)為x方向基礎平動頻率變化對轉子系統穩定性的影響，特征根固定于復平面的某一位置，振動頻率的變化并沒有導致特征根發生偏移，從圖中可以看出雖然振動頻率很高(工況中難以達到)，特征根仍然居于負半平面，系統是穩定的。

圖6(b)為y方向基礎轉動頻率變化對轉子系統穩定性的影響，可以看出隨著振動頻率的升高，一組特征根趨近并越過虛軸進入正半平面，臨界振動頻率約為340 Hz，即y向基礎轉動達到該頻率以上，系統發生失穩。

圖6(c)為z方向基礎平動頻率變化對轉子系統穩定性的影響，雖然隨著基礎振動頻率的升高，特征根發生了軌跡偏移，但和圖6(a)類似，特征根仍然居于負半平面，系統是穩定的。

(a) x方向基礎平動根軌跡

圖6(d)為z方向基礎轉動頻率變化對轉子系統穩定性的影響，可以看出與其他基礎激勵不同，由于z向轉動二次項的影響，特征根的軌跡更加復雜，隨著振動頻率的增加，兩組特征根趨近并越過虛軸進入正半平面，通過計算在120 Hz左右系統開始在正半平面出現了特征根，系統失穩。

上述分析討論了基礎激勵單參數對系統穩定性影響，當考慮存在多個基礎激勵參數變化時，經過計算分析并驗證，系統特征根軌跡主要由影響較大的基礎激勵參數決定，其余激勵參數的增大只會進一步加快軌跡點向正半平面移動。同時，從激勵方式來看，基礎振動幅值變化與振動頻率在穩定性分析上是等價的，因此不必再分析基礎振動幅值變化對轉子系統穩定性的影響。

綜合來看，不論是徑向還是軸向，基礎平動變化不會引起轉子系統的失穩，基礎轉動在一定參數下會使系統發散，但需要注意的是，本節穩定性分析并未考慮外力矢量與電子器件飽和的限制，往往當基礎激勵還未到達失穩的基礎頻率或振動幅值，系統因外力過載和器件限幅就已失穩，在工程應用中應綜合考慮外部條件的限制。

3.3 系統參數對系統穩定性影響

本節討論系統參數對系統穩定性影響，功率放大器與位移傳感器參數在轉子系統中默認為常值，由此主要討論控制參數kP，kI，kD與偏置電流i0對轉子系統穩定性的影響，為了控制變量，給定初始基礎激勵為分別為x向平動與y向轉動的固定參數。圖7分別為kP，kI，kD，i0四種系統參數變化的特征根軌跡，仿真參數如表5所示。

表5 控制仿真參數與偏置電流仿真參數Tab.5 Control simulation parameters and bias current simulation parameters

圖7(a)為比例系數對轉子系統穩定性的影響，在一定的基礎激勵下，當kP小于0.8時，存在特征根位于正半平面，系統是失穩的；隨著參數增大，位于正半平面的特征根軌跡向負半平面移動，系統趨于穩定，這與PID控制特性是一致的，當kP較小時，導致轉子系統剛度不足，系統發生失穩。

(a) 比例系數kP特征根軌跡

圖7(b)為積分系數對轉子系統穩定性的影響，從圖中可以看出，隨著參數kI增大，根軌跡雖然向正半平面發生偏移，但整體處負半平面，可見積分系數對系統穩定性的影響并不大，這也和PID特性是一致的。

圖7(c)為微分系數對轉子系統穩定性的影響，從圖中可以看出，在微分系數取零時，特征根正好位于虛軸上，系統處于臨界穩定；隨著微分系數的增大，特征根軌跡向負半平面移動。關于系統臨界穩定的原因是雖然微分系數為零，但系統仍具備剛度支承力，實際上轉子沒有阻尼會發生劇烈震蕩，工程實踐中臨界穩定也是不可取的。

圖7(d)為偏置電流對轉子系統穩定性的影響，從表4偏置電流仿真參數可以看出，電流不能為零，這是由于偏置電流要支承轉子重力載荷。從圖中可以看出在偏置電流參數范圍內，特征根始終位于負半平面，系統是穩定的；隨著偏置電流參數的增大，根軌跡逐漸向負半平面移動，但偏置電流也不宜過大。

整體來看，控制參數對轉子系統穩定性影響可以從PID控制特性來分析，比例系數主要影響支承剛度，微分系數主要影響支承阻尼，kP過小，系統剛度不足發生失穩，kD過小，系統阻尼不足會引起振蕩。而積分系數對系統穩定性影響很小，偏置電流實質上決定著軸承支承力大小，偏置電流不宜過小否則不足以支撐轉子重力，同時也不宜過大否則導致電子器件飽和。

3.2、3.3節討論了基礎激勵參數，系統參數對轉子穩定性的影響，確定參數范圍，可以為后續控制設計提供指導。

4 基礎激勵仿真研究

上一節主要討論了各參數對轉子系統穩定性的影響，本節重點研究轉子系統的位移響應特性，分別從轉子軌跡與振動位移幅值兩個方面探究基礎激勵參數對轉子位移響應的變化規律。

4.1 基礎激勵對轉子軌跡影響

與第3節分析類似，雖然轉子系統模型參數眾多，較為復雜。但徑向各基礎激勵參數具有類比性，故只研究一半參數即可，從變量個數上講，分別是x向平動，y向轉動，z向平動，z向轉動以及它們的復合運動，轉子位移取1，2路位移參考信號。

為了方便對比分析，以固有不平衡作為轉子位移軌跡參考，仿真時間取2 s，靜偏心取5×10-6m，轉子轉速為100 Hz，該轉速下徑向磁懸浮軸承等效剛度約為5.45×105N/m，等效阻尼約為524.4 N·s/m。磁懸浮轉子仿真如圖8、9所示。

(a) 無基礎激勵

(a) 基礎z向平動

圖8(a)為無基礎激勵轉子的位移軌跡，從圖中可以看出，轉子軌跡為呈規則圓形，穩定后位移達到8 μm，這是由于轉子不平衡導致的。

圖8(b)為x方向基礎平動激勵下轉子的位移軌跡，激勵參數取振動幅值為2 mm，振動頻率為5 Hz，可以看出在轉子不平衡位移的基礎上，轉子在x方向發生了位移偏移，幅值達到了12 μm，仿真表明x方向基礎平動和轉子不平衡并不存在耦合。

圖8(c)為y方向基礎轉動激勵下轉子的位移軌跡，激勵參數取偏擺幅度為3°，振動頻率為5 Hz，從位移方向上看，y向轉動主要影響x方向位移，位移幅值約為15 μm，但不同于圖8(b)，轉子軌跡不僅在x方向有振動位移，在y方向也存在小范圍的位移，相比只有不平衡作用下的8 μm位移，轉子在y方向的位移達到11 μm左右，可見徑向基礎轉動對轉子徑向另一自由度產生了耦合影響，這是基礎轉動區別于基礎平動的又一特質。此外，轉子軌跡的對稱軸(圖中紅線)并不關于x軸對稱，實際上存在很小的偏移，這是由于基礎轉動下重力擾動引起的，但偏移影響并不明顯，由此表明重力擾動作用對轉子影響并不大。

由于實際運動往往是復合運動，同時考慮基礎x向平動與y向擺動時，轉子軌跡如圖8(d)所示，相比圖8(c)，在引入x向平動后，復合運動并沒有使x向位移增加，反而使位移減小了3 μm，可以看出復合運動使徑向耦合作用進一步加劇。

圖9主要討論了軸向基礎激勵參數對轉子軌跡的影響，基礎軸向參數往往與實際應用參數相結合，以車輛船舶為例，基礎軸向(z向)運動與前進方向相同，并且軸向平動往往處于加速或勻速狀態，而軸向轉動也比徑向轉動幅值更大。

圖9(a)為z方向基礎平動激勵下轉子的位移軌跡，激勵參數為5 m/s2的加速運動，從圖中可以看出，轉子位移軌跡與圖8(a)相同，只存在不平衡的作用，即z向基礎平動并不對轉子位移產生影響。當然，只存在z向基礎平動與不平衡作用的轉子是理想情況，當轉子偏離質心位置，基礎運動引起的附加耦合力矩作用于轉子，也會影響轉子運動。

圖9(b)為z方向基礎轉動激勵下轉子的位移軌跡，激勵參數取偏擺角度為3°，轉動頻率為5 Hz，可以看出，基礎z向偏擺增大了y向位移，增幅約為7 μm，同時也對x向位移有小幅度影響，仿真表明基礎z向轉動對轉子徑向產生了耦合作用，且主要影響轉子y向位移。

從附錄C，D中表明z向平動常伴隨著徑向轉動項，故引入基礎z向平動加速度和y向轉動的復合運動，轉子軌跡如圖9(c)所示，圖中轉子軌跡是混亂無序的，且有逐步增大的趨勢，即系統發散。從能量機理分析，當基礎一直處于加速狀態，即能量不停輸入給轉子系統，轉子質心發生偏移時，施加在轉子上的作用力不斷增大，直至系統發生失穩。

改變基礎z向平動參數，當基礎z向是勻速狀態，取速度為5 m/s，同時施加y向的基礎轉動，轉子軌跡如圖9(d)所示，對比圖9(c)可以看出，系統不再發散，復合運動分別使轉子x向和y向位移增加了8 μm、13 μm，仿真表明在z向平動中徑向基礎轉動的耦合作用更加明顯。

本節主要研究了基礎激勵參數對轉子軌跡的影響，其主要結論如下：從激勵類型上看，徑向平動激勵使轉子在平動方向上發生振動偏移；而徑向轉動激勵不僅影響對應方向的轉子振動，還在徑向另一自由度上產生耦合作用；徑向平動與轉動之間也存在耦合作用，甚至可能減弱轉子在對應方向上的位移。當只存在軸向平動激勵時，雖然會對軸向位移產生影響，但并不影響徑向轉子位移軌跡；而軸向轉動激勵還會對徑向自由度產生耦合作用；特定的軸向與徑向的復合運動可能導致系統發散，在工程應用中應當考慮特定基礎激勵的影響。

4.2 轉子系統位移幅值的變化規律

4.1節重點討論了轉子軌跡的變化規律，本節則主要研究轉子振動的位移幅值，為了探究參數之間對轉子振動位移幅值的變化規律，參數變化與位移幅值用響應面表達，仿真取基礎平動與轉動的復合運動，轉子轉速與不平衡同4.1節，參數變化選取徑向平動，徑向轉動，軸向轉動，軸向平動4個變量，轉子位移響應如下：

x方向基礎平動激勵變化下轉子位移幅值響應如圖10所示，取基礎復合運動為x方向平動與y向轉動，基礎y向轉動取5 Hz，0.05 rad的固定參數。從圖中可以看出，轉子位移幅值隨著振動幅值與頻率的增大逐漸增大，在低幅值下，近似呈線性關系；在低頻率下，位移隨幅值變化不大，而在高頻率下，位移增長呈現非線性。需要注意的是，在5 Hz與10 Hz處，由于基礎y向轉動在相等頻率以及倍頻處與基礎x向平動作用相反，轉子位移出現塌陷，這是基礎復合運動在特定頻率下對轉子耦合作用的一個特征。

y方向基礎轉動激勵變化下轉子位移幅值響應如圖11所示，復合運動仍然取x向平動與y向轉動，基礎x向平動參數取5 Hz，2 mm的固定參數，與圖10的變化規律類似，轉子位移幅值隨著轉動幅值與頻率的增大也在逐漸增大，同時基礎轉動與平動的復合作用使得轉子位移在頻率5 Hz處存在塌陷，但在10 Hz倍頻處并不明顯，這一現象有待后續進一步探究。

圖10 x方向基礎平動激勵下轉子位移幅值Fig.10 Displacement amplitude of rotor under translational excitation of foundation in x direction

圖11 y方向基礎轉動激勵下轉子位移幅值Fig.11 Displacement amplitude of rotor under foundation rotation excitation in y direction

z向基礎平動激勵與徑向基礎激勵有所不同，從4.1節已知，z向平動加速度與y向轉動的復合運動會使系統發散。若討論z向速度參數，并沒有幅值和頻率兩個變量，故選取轉子轉速作為另一個變量。轉子位移幅值響應如圖12所示，可以看出前進速度在5～25 m/s變化范圍內，基礎運動對轉子位移幅值的影響近似呈線性關系，轉速變化并不影響其線性度，但隨著轉速的升高，由于剛體模態(約75 Hz)的影響使轉子位移先增大后減小。由此仿真結果表明前進速度與轉速均獨立作用于轉子，兩者之間并不存在耦合作用。

圖12 z方向基礎平動激勵下轉子位移幅值Fig.12 Rotor displacement amplitude under z-direction foundation translational excitation

z方向基礎轉動激勵變化下轉子位移幅值響應如圖13所示，復合運動取x向平動與z向轉動，x向平動參數同圖11。從仿真結果可以看出，與徑向基礎轉動不同，z向基礎轉動雖然在轉動幅值和頻率上取值均大于y向基礎轉動，但其轉子位移幅值遠小于徑向基礎轉動產生的幾十微米，最高只達到了8 μm。z向轉動頻率變化對轉子位移幅值影響并不大，但基礎平動與轉動的復合作用在頻率5 Hz和10 Hz處依然明顯，且在倍頻處影響更大；而轉動幅值的影響近似呈線性關系，并不受頻率變化影響。

圖13 z方向基礎轉動激勵下轉子位移幅值Fig.13 Rotor displacement amplitude under z-direction foundation rotation excitation

本節討論了基礎激勵參數對幅值的影響規律，基本結論如下：基礎徑向平動、轉動在影響規律上是一致的；基礎激勵頻率對轉子位移影響要比振動幅值更大，呈非線性關系，但同時要注意基礎復合運動在同頻及倍頻的轉子位移衰減；對于基礎軸向運動，振動幅值變化則需要重點關注，雖然轉子在剛性轉速范圍內，但需要注意在轉值升速過程中剛體模態的影響。

5 結 論

本文針對基礎激勵下磁懸浮轉子系統建模與動力學問題，從基礎激勵下轉子動力學建模，磁懸浮轉子系統機電一體化建模，系統穩定性分析，轉子位移響應特性規律幾個方面進行了研究，主要結論如下：

(1)基礎激勵下磁懸浮轉子動力學模型還需要考慮重力變化與附加耦合力矩的影響?；A激勵對磁懸浮轉子系統的影響在轉子模型中主要體現為三部分，分別為等效廣義外力，附加剛度矩陣項和附加阻尼矩陣項。

(2)從系統穩定上講，基礎平動激勵不會引起轉子系統失穩，基礎轉動激勵在很高的激勵量級下會使系統失穩，但往往在達到失穩參數前，系統因電子器件飽和就已經發生失穩，在應用設計中更應考慮提高系統部件性能。

(3)PID控制中的比例系數，微分系數以及偏置電流均影響系統穩定性，比例系數過小可能導致轉子失穩，微分系數與偏置電流應結合基礎激勵工況選擇合理的參數以保證在穩定工作范圍，積分系數對轉子系統穩定性影響很小。

(4)基礎激勵對轉子位移軌跡的影響是復雜的，僅存在基礎平動時只會影響轉子在對應方向上的位移；不論徑向還是軸向，基礎轉動往往會對本方向外的自由度產生耦合作用；基礎平動與轉動之間也存在耦合效應，甚至在特定參數下減弱轉子位移，特定的基礎激勵還會導致系統發散。

(5)從轉子位移幅值影響規律上看，徑向基礎激勵下振動幅值對轉子位移幅值影響近似呈線性關系，激勵頻率增大使轉子位移增加更明顯；軸向基礎激勵下平動速度與轉動幅值對轉子位移幅值影響也近似呈線性關系；不論是徑向還是軸向基礎激勵，都應當考慮復合運動中激勵頻率在同頻及倍頻下對轉子的位移衰減。

總的來說，基礎激勵下磁懸浮轉子模型參數較多，參數之間作用關系復雜，本文僅從部分角度討論了基礎激勵下轉子動力學響應特性，例如強基礎激勵下，非簡諧激勵下轉子動力學特性以及基礎激勵下的轉子振動控制都是值得研究的方向。

附錄A

應用虛擬基礎系(g系)各矩陣

在實際工程應用中，基礎振動的轉動角通常為小角度即可以近似認為ωg≈θg，同時對于本文涉及的細長轉子，Jr?Jz，則上述公式可簡化為

附錄B

引入附加慣性力矩后的附加剛度矩陣Kg以及廣義力矩陣Fg

附錄C

附錄D

簡化后的Fb