任意邊界條件下彈性梁耦合振動特性分析

李海虹，王 昊，郭山國，劉志奇，李王鐸

(1.太原科技大學 機械工程學院，太原 030024；2.河北機電職業技術學院 機械工程系，河北 邢臺 054000)

電主軸是數控機床和某些工業機器人的核心功能部件，建立主軸單元橫向、縱向以及扭轉耦合振動模型對加工精度的量化分析具有重要意義。振動特性研究中，主軸單元多簡化為彈性梁模型，并通過有限元方法求解。有限元方法是一種純數值方法，當模型邊界條件和幾何參數發生改變，需要對模型進行重構[1]，所以在振動機理及參數特性分析等方面，理論建模對結構動態設計及優化是必要的。

理論建模中，不同的位移函數的構造推導出不同的分析模型。Zemskov等[2]基于傳統傅里葉級數形式的解研究了Euler-Bernoulli梁的非定常振動。Motaghian等[3]基于正弦和余弦傅里葉級數形式的解研究了變截面梁的自由振動。Yayli[4]基于傳統傅里葉級數形式的解研究了具有旋轉約束邊界條件的納米梁的自由振動。Li[5]提出了一種改進傅里葉級數方法(improved Fourier series method)分析任意邊界支撐下梁結構的彎曲振動特性，通過引入輔助函數解決傳統傅里葉級數在整個求解區域內周期展開時在邊界上存在的不連續現象。Lü等[6]引入能量原理，將改進傅里葉級數方法應用于任意彈性邊界條件下梁結構的橫向振動分析。杜敬濤等[7-9]采用改進傅里葉級數法研究了任意邊界條件下彈性桿的扭轉振動以及非局部彈性桿和變截面彈性桿的縱向振動。Chen等[10]采用改進傅里葉級數法研究了具有彈性邊界支撐的旋轉梁的橫向振動。趙雨皓等[1]采用改進傅里葉級數法對軸向載荷條件下彈性邊界約束梁結構的橫向振動進行了研究。Zhang等[11]采用改進的傅里葉級數法研究了三維耦合梁的自由振動特性。Nie等[12]采用改進傅里葉級數法研究了不同邊界條件下彎曲梁的平面內和平面外自由和受迫振動。Mahapatra等[13-14]采用改進傅里葉級數法研究了彈性邊界下有阻尼和無阻尼Euler-Bernoulli梁的受迫振動響應以及矩形板的面內振動特性。

Shi等[15]基于改進傅里葉級數法進一步提出了譜幾何方法(spectro-geometric method)。該方法構造的位移函數的輔助函數采用三角級數形式，在滿足收斂性要求的同時使得方程積分和微分運算更加簡便。Shi等[16]采用譜幾何法研究了T形板的面內自由和受迫振動。Wang等[17-18]采用譜幾何法研究了彈性板浸入水中以及與聲腔耦合振動的聲輻射特性。鮑四元等[19-20]采用譜幾何法研究了彈性邊界下非局部梁的橫向振動和納米桿的縱向振動。但是現有文獻尚且沒有對梁結構扭轉振動，及其橫向、縱向和扭轉耦合振動采用譜幾何法進行分析。

本文將譜幾何法擴展到彈性梁的扭轉振動建模，統一彈性梁橫向、縱向和扭轉振動位移函數表示形式，建立了任意邊界條件下彈性梁橫向、縱向和扭轉振動模態特性的統一參數化求解模型，完成模型驗證，并研究邊界約束彈簧剛度對彈性梁橫向、縱向和扭轉振動特性的影響。

1 理論模型

1.1 模型描述

本文使用彈性梁模型模擬主軸單元模型，采用邊界約束彈簧組模擬任意邊界條件，相應的全局坐標系如圖1所示。在直角坐標系的梁模型兩端使用6組連續的邊界約束彈簧，包括3組線性約束彈簧，分別沿x-、y-、z-方向，3組旋轉約束彈簧，分別繞x-、y-、z-方向。通過將相應的邊界約束彈簧剛度值設定為0到無窮大數可以模擬任意邊界條件。彈簧形式見表1。

圖1 任意邊界條件下彈性梁耦合振動分析模型Fig.1 Coupling vibration analysis model of the elastic beam with arbitrary boundary conditions

表1 彈簧組剛度變量定義表Tab.1 Definition table of spring group stiffness variable

1.2 位移函數的級數表示

假設彈性梁模型為Euler-Bernoulli梁。以往研究中采用改進傅里葉級數法構造的位移函數多使用多項式或者多項式與三角級數相乘的形式作為傅里葉級數的輔助函數。此方法所構造的位移函數會使得結構振動特性的求解運算過程相對復雜，不利于提高計算效率。本文采用譜幾何法描述彈性梁耦合振動的位移函數。位移函數的主函數和輔助函數都表示為三角級數形式，三角級數在微分和積分操作中的“偶不變性”使得整個計算更加簡便。

本文將彈性梁耦合振動離散為沿x-縱向振動、沿y-、z-橫向振動和繞x-軸線扭轉振動。將彈性梁沿x-、y-、z-方向的位移函數和繞x-軸線的轉角函數分別表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：An，Bn，Cn和Dn分別代表位移函數的未知傅里葉級數展開系數;ω為圓頻率;eiωt為簡諧時間因子;在后續推導中為了簡化將忽略該時間因子。

由Euler-Bernoulli梁理論可知，梁模型沿x-縱向振動控制微分方程和繞x-軸線扭轉振動控制微分方程都是二階偏微分方程。當位移函數采用傳統傅里葉級數形式表示時，在梁兩端會出現位移函數一階導數不連續和二階導數跳躍現象，對任意邊界條件并不適用。因此，每個位移函數在沿x-縱向和繞x-軸線扭轉方向的分量除了無窮項余弦級數外還需要增加兩項正弦級數(對應于式(1)和(4)中的n=-2)作為輔助函數。Li[21]從數學上驗證可知，位移函數的級數表達式對于?(x)∈R:(0,L)能夠展開并且一致收斂于任意函數f(x)∈C1。因此可以實現在任意邊界條件下位移函數一階導數連續和二階導數各點存在。

同理，梁模型沿y-橫向振動控制微分方程和沿z-橫向振動控制微分方程都是四階偏微分方程。通過在每個方向上增加四項正弦函數(對應于式(2)和(3)中的n=-4)作為輔助函數，從數學上可知，位移函數的級數表達式對于?(x)∈R:(0,L)能夠展開并且一致收斂于任意函數f(x)∈C3。因此可以實現在任意邊界條件下位移函數三階導數連續和四階導數各點存在。

本節采用基于改進傅里葉級數法的譜幾何法建立了彈性梁縱向、橫向和扭轉振動的位移函數，在滿足邊界連續性的同時實現了彈性梁縱向、橫向和扭轉振動位移函數表示形式的統一。

1.3 模型求解

在采用譜幾何法建立彈性梁模型縱向、橫向和扭轉振動的位移函數之后，需要求解相應位移函數的未知級數展開系數。本文基于Hamilton原理從能量角度建立包含彈性梁縱向、橫向和扭轉振動的系統拉格朗日函數，采用Ritz方法對未知系數取駐值，再通過求解即可分別獲得彈性梁結構縱向、橫向和扭轉振動的模態特性參數。在求解過程中，4個位移函數的傅里葉級數表達式需要按照n=N進行截斷。

Hamilton原理的表達式為

(6)

式中：V為彈性梁的總勢能；T為彈性梁的總動能。

對于圖1所示的彈性梁模型，總勢能的表達式為

V=Vp+Vs

(7)

式中：Vp為彈性梁自身的應變勢能；Vs為兩端約束彈簧的彈性勢能；表達式分別為

(8)

(9)

式中：E為彈性模量；S為橫截面面積；Iy、Iz分別為對y軸、對z軸的慣性矩；G為切變模量；J為極慣性矩。

彈性梁模型的總動能表達式為

(10)

式中：ρ為材料密度；S為橫截面面積；J為極慣性矩。

彈性梁模型的拉格朗日函數可以表示為

L=Vp+Vs-T

(11)

將位移函數式(1)～(4)代入到函數式(11)中，采用Ritz方法使式(11)對其中的傅里葉級數展開系數An，Bn，Cn和Dn求極值

(12)

求解式(12)得到4個方程的線性方程組，將方程組寫為矩陣表達形式

(K-ω2M)X=0

(13)

式中：K為系統的剛度矩陣；M為系統的質量矩陣；X為包括所有未知傅里葉級數展開系數的向量，可表示為

(14)

通過求解式(13)所示的標準特征值問題就可以得到彈性梁模型縱向、橫向和扭轉振動的模態特性(固有頻率及其對應的特征向量)。將每階固有頻率所對應的特征向量系數代入至位移函數式(1)～(4)即可得到相應的物理模態振型。由建立的理論模型可知，本文統一了彈性梁縱向、橫向和扭轉振動特性計算模型，即統一了彈性梁縱向、橫向和扭轉振動模態特性求解方程。

2 模型驗證與分析

在本章中，對不同邊界條件下彈性梁結構橫向、縱向和扭轉振動特性進行計算分析，通過將本文計算結果與文獻解結果進行對比，驗證所建立的理論模型和運算程序的正確性。隨后分析邊界約束彈簧剛度值對彈性梁耦合振動固有頻率的影響。表2給出了彈性梁模型的材料和幾何參數。

表2 梁模型的材料和幾何參數值Tab.2 Material and geometric parameters of beams

2.1 收斂性研究

在計算過程中,需要首先驗證構造的位移函數及確定的級數截斷數的收斂性和計算精度。本小節首先對彈性梁結構采用本文方法得到的扭轉和縱向振動的固有頻率收斂性進行分析，然后對其橫向、縱向和扭轉耦合振動對應的模態振型特性進行分析。

將本文彈性梁扭轉振動固有頻率求解結果與文獻[7]計算結果和有限元求解結果進行對比，計算中梁模型參數都按文獻選取如表2所示。選擇固支-固支邊界條件，選取邊界約束彈簧剛度值如表3所示，通過將邊界約束彈簧剛度值設定為0模擬自由邊界，設定為無窮大數模擬固支邊界。通過預計算，當相應邊界旋轉約束彈簧剛度值設定為1010時，彈性梁固支-固支邊界下扭轉振動固有頻率趨于定值，滿足相應固支邊界模擬。同理，當相應邊界約束彈簧剛度值設定為1015時，滿足彈性梁縱向振動和橫向振動固支邊界模擬。表4為彈性梁的位移函數取不同級數截斷數時得到的前6階扭轉振動的固有頻率。

表3 不同邊界條件和振動類型對應約束彈簧的剛度值Tab.3 Stiffness values of restraint springs under different boundary conditions and model types

表4 固支-固支彈性梁在不同截斷數下前6階扭轉振動固有頻率Tab.4 The first 6 torsional vibration natural frequencies of the clamped-clamped elastic beam with different truncation numbers

由表4可以看出當截斷數取N=12時，彈性梁扭轉振動的固有頻率計算結果與文獻[7]解最大偏差為-0.007%，與ANSYS解最大偏差為-0.018%，驗證了本文方法的正確性。同時，隨著截斷數的增大，計算精度逐漸提高，文獻中取N=35，而本文較小的截斷數即可得到較高的計算精度，表明本文方法具有較快的收斂性。后面的計算中，本文截斷數均取N=12。

將本文彈性梁縱向振動固有頻率求解結果與文獻[22]中經典解結果進行對比。選擇固支-固支邊界條件，計算中彈性梁參數按主軸簡化模型參數選取如表2所示，邊界約束彈簧剛度值選取如表3所示，得到彈性梁前6階縱向振動的固有頻率如表5所示。

由表5可以看出本文彈性梁縱向振動的固有頻率計算結果與文獻[22]經典解最大偏差為0.02%，驗證了本文方法求解彈性梁縱向振動固有頻率的正確性。應用譜幾何法求解梁模型橫向振動固有頻率的收斂性已在文獻[19]中研究，本文將不再單獨分析。

表5 固支-固支彈性梁前6階縱向振動固有頻率Tab.5 The first 6 longitudinal vibration natural frequencies of the clamped-clamped elastic beam

由上述分析可知，當梁模型的材料和幾何形狀改變時，無需重新進行理論推導和建模，僅需要改變相應參數值，可以實現彈性梁結構參數化研究，方便結構優化設計。

通過將特征方程(13)求解所得到的彈性梁縱向、橫向和扭轉振動的每階固有頻率對應的無量綱化特征向量系數代入位移函數式(1)～(4)便可得到相應階次的無量綱化模態振型圖。彈性梁參數按主軸簡化模型參數選取如表2所示，邊界約束彈簧剛度值選取如表3所示，得到固支-自由邊界條件下彈性梁縱向、橫向和扭轉振動的前4階無量綱模態振型如圖2所示。

(a) 第一階

由圖2可以看出彈性梁縱向、橫向和扭轉振動模態振型左端位移為0，右端存在位移，符合固支-自由邊界條件。從彈性梁前4階模態振型圖可以看出，彈性梁每一階振動中存在縱向模態、橫向模態和扭轉模態，說明彈性梁的振動是由3種振動耦合而成。此外，根據彈性梁結構特性，在低階模態中，橫向模態(彎曲模態)為主導模態。

2.2 邊界約束彈簧剛度對彈性梁耦合振動特性影響

本節對彈性梁在不同邊界約束彈簧剛度下的橫向、縱向和扭轉振動的第一階模態特性進行研究，以實現本文方法對任意邊界條件下的彈性梁耦合振動特性進行分析。計算中彈性梁參數按主軸簡化模型參數選取如表2所示。

(1)邊界約束彈簧剛度對彈性梁扭轉振動影響

為模擬彈性梁扭轉振動從兩端自由到兩端固支的邊界條件，將兩端約束彈簧旋轉剛度Kθθ，Kθ1從0.000 1 N·m/rad增加到1010N·m/rad，其它邊界約束彈簧剛度設置為0。圖3是彈性梁扭轉振動第一階固有頻率隨邊界約束彈簧旋轉剛度變化的三維圖，其中坐標軸取邊界約束彈簧剛度值的對數，以下小節坐標軸設置同理。

圖3 邊界約束彈簧旋轉剛度對彈性梁扭轉振動的影響Fig.3 Influence of boundary restraining rotational stiffness on the torsional vibration of elastic beam

由圖3可知，隨著邊界約束彈簧旋轉剛度的增大，彈性梁第一階扭轉振動固有頻率逐漸增大。當約束彈簧旋轉剛度在0～105N·m/rad范圍內變化時，彈性梁固有頻率變化明顯，當約束彈簧旋轉剛度增大至105N·m/rad以上時，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個定值。因此可知彈性梁第一階扭轉振動固有頻率隨旋轉剛度值變化存在敏感區間，該區間為0～105N·m/rad。

(2)邊界約束彈簧剛度對彈性梁縱向振動影響

為模擬彈性梁縱向振動從兩端自由到兩端固支的邊界條件，將兩端約束彈簧平動剛度kx0，kx1從0.000 1 N/m增加到1015N/m，其它邊界約束彈簧剛度設置為0。圖4是彈性梁縱向振動第一階固有頻率隨邊界約束彈簧平動剛度變化的三維圖。

圖4 邊界約束彈簧平動剛度對彈性梁縱向振動的影響Fig.4 Influence of boundary restraining translational stiffness on the longitudinal vibration of elastic beam

由圖4可知，彈性梁第一階縱向振動固有頻率隨約束彈簧平動剛度的增大而增大。當約束彈簧平動剛度在105～1011N/m范圍內變化時，彈性梁固有頻率變化明顯，當約束彈簧平動剛度增大至1011N/m以上時，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個定值。因此可知彈性梁第一階縱向振動固有頻率隨平動剛度值變化存在敏感區間，該區間為105～1011N/m。

(3)邊界約束彈簧剛度對彈性梁橫向振動影響

本小節首先研究邊界約束彈簧平動剛度對彈性梁y-向橫向振動的影響，對彈性梁z-向橫向振動的影響同理。將約束彈簧旋轉剛度設置為Ky0=0 N·m/rad，Ky1=0 N·m/rad，將約束彈簧平動剛度ky0，ky1從0.000 1 N/m增加到1015N/m，其它邊界約束彈簧剛度設置為0，模擬彈性梁y-向橫向振動從兩端自由到兩端簡支的邊界條件。圖5是彈性梁y-向橫向振動第一階固有頻率隨邊界約束彈簧平動剛度變化的三維圖。

圖5 邊界約束彈簧平動剛度對彈性梁橫向振動的影響Fig.5 Influence of boundary restraining translational stiffness on the transverse vibration of elastic beam

由圖5可知，彈性梁第一階y-向橫向振動固有頻率隨約束彈簧平動剛度的增大而增大。當約束彈簧平動剛度在102～109N/m范圍內變化時，彈性梁固有頻率變化明顯，當約束彈簧平動剛度增大至109N/m以上時，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個定值。因此可知彈性梁第一階y-向橫向振動固有頻率隨平動剛度變化存在敏感區間，該區間為102～109N/m。

其次研究邊界約束彈簧旋轉剛度對彈性梁y-向橫向振動的影響。通過將約束彈簧平動剛度設置為ky0=1015N/m，ky1=1015N/m，將約束彈簧旋轉剛度Ky0，Ky1從0.000 1 N·m/rad增加到1015N·m/rad，其它邊界約束彈簧剛度設置為0，模擬彈性梁y-向橫向振動從兩端簡支到兩端固支的邊界條件。圖6是彈性梁y-向橫向振動第一階固有頻率隨邊界約束彈簧旋轉剛度變化的三維圖。

由圖6可知，彈性梁第一階y-向橫向振動固有頻率隨約束彈簧旋轉剛度的增大而增大。當約束彈簧旋轉剛度在102～107N·m/rad范圍內變化時，彈性梁第一階固有頻率變化明顯，約束彈簧旋轉剛度增大至107N·m/rad以上時，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個定值。因此可知彈性梁第一階y-向橫向振動固有頻率隨旋轉剛度變化存在敏感區間，該區間為102～107N·m/rad。

圖6 邊界約束彈簧旋轉剛度對彈性梁橫向振動的影響Fig.6 Influence of boundary restraining rotational stiffness on the transverse vibration of elastic beam

綜上所述，通過更改彈性梁兩端相應邊界約束彈簧的平動剛度、旋轉剛度值即可實現模型在任意邊界約束條件下的橫向、縱向和扭轉振動特性分析。同時由上文分析可知，彈性梁耦合振動固有頻率隨邊界約束彈簧剛度變化都存在剛度影響敏感區域，當剛度值在此范圍內變化時可以調整彈性梁耦合振動特性。

3 結 論

本文將基于改進傅里葉級數法的譜幾何法應用到彈性梁的扭轉振動分析并建立了任意邊界條件下彈性梁的橫向、縱向和扭轉耦合振動特性統一計算模型。結論如下：

(1)彈性梁模型的橫向、縱向和扭轉振動位移函數都表示為一種譜幾何形式的改進傅里葉級數，統一了彈性梁橫向、縱向和扭轉振動位移函數的表示形式和模態特性的求解方程。

(2)在數值計算中，較小的位移函數級數截斷數即可得到較高的計算精度，表現出較快的收斂性。

(3)在彈性梁結構兩端引入邊界約束彈簧組，當邊界條件改變時，通過改變其剛度值大小從0到無窮大模擬。通過改變彈性梁幾何參數和材料參數可以實現相應參數化研究，不需要重新進行理論建模和更改程序，方便對結構進行優化設計。

(4)計算出彈性梁橫向、縱向和扭轉振動特性隨兩端邊界約束彈簧剛度變化的敏感區間。結構耦合振動特性可以通過在此區間內改變彈簧剛度值進行調整。為實際工程中改變結構邊界約束剛度以避免在外部激勵下發生共振提供參考。