基于能量法的緊固件軸向等效剛度研究及應用

劉曉雪，張亞輝，郭翰飛，謝素明，張有為

(1.大連交通大學 機車車輛工程學院，遼寧 大連 116028；2.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116021；3.大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

0 引言

緊固件作為連接結構中最廣泛使用的形式，通常決定著如飛機、動車組等單個復雜組件的設計成敗。以動車組為例，單節車體采用數千個緊固件進行各部分的連接，緊固件軸向承載的重要特性是允許非常高的靜態強度極限，同等級的緊固件靜強度極限為1 000 Mpa時，對應允許的交變應力僅為40～50 Mpa[1]。這意味著當緊固結構受到不同外載荷作用時，需要使用足夠精確的剛度來保證緊固件結構的設計準確性。目前，國內外學者對于此類連接的研究主要采用彈性解析模型或數值分析方法[2-6]。當載荷為軸向中心線或微小偏心時，可以采用VDI2230的線性模型;對于載荷作用線偏心較大的情況，需要采用一些非線性模型[7-8];而對更為復雜的載荷作用形式，則需要采用有限元模型，上述分析中均涉及到精確的緊固件及被緊固結構的剛度。緊固結構中各組成部分的剛度可以反映整個結構承受軸向載荷的行為，該載荷主要是指沿緊固件軸線的位移，然而，隨著有限元的發展以及研究模型的細致，研究者逐漸認識到原軸向位移假設的求解準確性需要進一步提高[9-11]。LEHNHOFF等[12-14]通過對不同模型進行接觸區域節點的等效位移計算來模擬軸向位移，構成緊固件的各個組成部分在軸向載荷作用下的變形規律難以精確地進行計算。MASSOL[10]通過實驗對此類計算方法進行了驗證，結果證明等效位移計算并不理想。閆平等[15]通過改變緊固結構接觸端面的不平行度模擬了累積幾何偏差的影響，分析了各種參數對軸向剛度的影響，建立了影響因素與剛度的映射關系，并對剛度組成及變化范圍進行了定量分析。WANG等[16]建立了緊固結構相互作用剛度模型，研究了相互作用剛度對預緊力變化的影響，并用有限元模型進行了驗證。李國強等[17]對不同型號的緊固件進行了軸向拉伸試驗，推導了各組試驗的軸向剛度理論公式，并與試驗值進行對比，驗證了軸向剛度公式的正確性。上述分析中均建立了軸向作用力與軸向位移之間的關系，但是軸向位移的等效計算并不精確。當緊固結構較為復雜時或被緊固結構具有不同尺寸和材料特性的情況下，等效剛度并不容易獲得。應變能是結構中伴隨變形而產生的能量增量，應變能等于施加在結構上的載荷所做的功，對于承受軸向載荷的緊固件各子結構而言，通過有限元模型可以非常方便地得到其應變能，將各部分同化為具有等效剛度的彈簧元件，從而避免了軸向位移的計算和測量，而位移測量是前述研究中發現的剛度誤差主要來源，基于有限元模型采用能量方法進行剛度的計算可以準確且簡便地完成分析。

本文基于有限元應變能提出了建立軸向等效剛度特性的方法，避免了軸向位移的等效計算。應用Python進行基于ABAQUS的二次開發，生成參數化模型建模插件，研究并推導了基本參數的擬合函數。在等效參數精確計算的基礎上，建立對應的緊固件凝聚單元參數建模插件，并應用于具有大量緊固件結構的組件建模，使有限元模型的建立簡單高效。

1 緊固件軸向等效剛度

1.1 緊固件數值模型的校驗

采用緊固件進行兩個或多個組件連接的研究主要集中在兩個方面：①緊固連接的剛度及其對載荷的響應；②固定界面中接觸壓力分布的幾何形狀和大小。目前，國內外學者對于此類連接的研究主要采用彈性解析模型或數值分析方法[1]，計算緊固結構的夾緊性能和接頭剛度并確定界面壓力分布。1964年GREENWOOD[3]在SNEDDON[4]的研究基礎上，采用柱坐標(r,θ,z)，給出了如圖1所示的組件，當作用載荷p(r)的圓形區域半徑u變化時，軸向應力σz的解析表達式如式(1)，積分上下限涵蓋了從無限受壓面積到集中載荷的極限情況：

(1)

(2)

式中：ρ=r/h，λ=u/h，a為載荷作用的圓形區域半徑。

根據緊固件連接結構的特點，本文采用軸對稱模型進行有限元分析。為驗證軸對稱有限元模型的合理性，并保證應用基于有限元模型能量法的剛度計算準確性，應用2種材料和3種板厚，設計了4個對比模型，模型基本參數如表1所示，定義模型名稱為M1～M4。采用ABAQUS軟件建立有限元模型，并選取軸對稱四邊形單元(CAX4R)進行網格劃分。

表1 驗證模型的基本參數

將式(1)Greenwood的解析表達式計算結果與按表1參數設計的有限元模型的軸向應力計算結果進行對比，結果如圖2所示。由圖2可知，解析解與M1～M4的有限元分析結果基本吻合，表明了采用軸對稱有限元模型進行分析的合理性，也保證了后續應用該軸對稱有限元模型進行基于能量法緊固件等效剛度研究的準確性。

1.2 基于能量法的緊固件等效剛度原理

從整體變形能的角度出發，忽略等效位移求解方法中對局部變形的細致性要求，將如圖3a所示的緊固件結構等效為如圖3b所示的彈簧模型，結合有限元模型進行等效剛度的求解。其中F和δ分別為緊固件軸向力和位移，可以通過作用在有限元模型上各節點的Fi和δi進行加和得到，同時也可以從有限元模型的計算結果中分別提取被緊固件應變能Wf和緊固件應變能Wb。

將緊固件與被緊固件的接觸部分由滑移產生的能耗定義為Wfric，在軸向力作用下該部分能耗如式(3)所列：

(3)

整理可得

(4)

(5)

(6)

當β=1時，滑移能耗為0，即緊固件和被緊固件之間無摩擦，根據能量法可以得到等效剛度的表達式：

(7)

(8)

(9)

(10)

其中：

(11)

(12)

將式(6)、式(11)和式(12)代入式(9)和式(10)，整理可得：

(13)

(14)

通過緊固結構的有限元模型計算結果可以很方便地提取出F，δ，Wb，Wf，即可由式(13)和式(14)得到緊固結構的等效剛度，該方法不需要進行軸向位移的計算，同時由于有限元對變形能的精確求解，使得剛度計算準確又簡單[18]。

1.3 緊固件結構的參數化模型建立

建立包含有大量緊固件結構的復雜組件模型時，將每個緊固件都采用實體單元進行建立，不僅需要耗費大量的建模時間，還需要增加相應的計算成本。結構設計中，通常將緊固件緊固過程中的力學行為等效為彈簧元件的串并聯關系，這種表述形式簡便且適用于簡化分析中不同幾何尺寸及材料參數的緊固結構。等效的結構剛度

(15)

式中：Es為子結構的彈性模量，Aeqi為子結構等效的截面積，Leqi為等效長度。

準確模擬等效模型的關鍵是確定緊固件的等效長度Leq和等效截面積Aeq，對于如圖4a所示的模型，對應的等效模型長度和截面積如圖4b所示，等效截面積Aeq包含上、下端部緊固件的截面積，分別表示為A0和As，與之對應的等效長度Leq分別為l0+αd和ls+βd，α和β分別對應緊固件上端的修正系數和下端修正系數；等效截面積對應緊固結構的有效作用面積，當等效截面積Aeq為常數時，等效長度Leq為lf+(α+β)d。

緊固結構的幾何參數包括：緊固件的規格公稱直徑d、緊固件上端直徑dn、緊固件厚度ln、緊固桿長度lf、被緊固結構的直徑dL、被緊固件厚度Lf、中間孔直徑dh；材料參數包括：摩擦系數Coefficient of friction、緊固件彈性模量Eb、密度Db、緊固件下端部彈性模量En、密度Dn、被緊固結構彈性模量Ef、密度Df。

在驗證了軸對稱模型的適用性基礎上，為了研究不同參數對等效剛度的影響，假設緊固件下端參數與上端相同，裝配緊固件和被緊固結構構建分析模型。應用Python基于ABAQUS進行整個分析過程的參數化腳本文件定義，借助RSG(really simple GUI)構造出緊固結構參數化模型建模的輸入界面，如圖5所示。參數類型分為幾何參數(geometric parameters)、材料參數(material parameters)、載荷及求解模型參數(force and job)，通過參數化建模求解并應用能量法得到等效剛度。

2 相關參數對等效模型的影響

基于能量法得到緊固件軸向剛度的前提下，合理建立兩個因素等效長度Leq及等效截面積Aeq，即可以準確完成等效模型的簡化。本章對兩個參數的相關影響因素展開研究，定義無量綱參量并進行公式擬合，為建立等效模型提供基礎數據。

2.1 等效模型長度修正系數

引入一個無量綱修正系數γ表征等效長度Leq與緊固件直徑d之間的關系，如式(16)：

(16)

在應用1.2節中的能量法得到緊固件準確剛度Kb的前提下，即可以開展對γ相關參數的研究。

(1)幾何參數的影響

緊固結構自身的幾何參數包括上端緊固部分的寬度dn、高度ln和緊固件的厚度lf，引入無量綱參數α,β,ε表征這3個幾何參數與公稱直徑d的關系，可以對標準及非標準緊固件結構進行量化。選取公稱直徑d分別為M12、M16、M24、M36的緊固件為研究對象，參數取值如表2所示，其中摩擦系數μ=0.4，所有材料均為鋼。

表2 幾何無量綱參數取值

應用Parametric modeling of fasteners插件建立緊固件的參數化模型并進行求解，基于能量法得到各模型準確的緊固件剛度，進而求解等效修正系數與無量綱參數α,β,ε之間的關系，計算結果如圖6所示。

建立等效修正系數γ與幾何無量綱參數之間的關系擬合公式：

γα=0.18α+1.9；

(17)

(18)

γε=0.96ε+0.55。

(19)

由圖6a和γα擬合公式可得，隨著系數α的增大，等效長度的修正系數γ線性增加，α由0.5變化至2.0，等效修正系數變化僅為0.25，表明等效修正系數γ與幾何參數上端緊固部dn之間的相關性較低；由圖6b和γβ擬合公式可得，當系數β≤0.8時，等效長度的修正系數γ隨著β增加而線性減小，當β>0.8時，等效長度的修正系數不再隨之變化，等效長度的修正系數與上端緊固部分的高度ln相關性較高；由圖6c和γε擬合公式可得，隨著系數ε增加，等效長度的修正系數γ呈持續的線性增加，說明等效長度的修正系數與緊固件厚度lf的相關性很高，等效長度的修正系數與3個幾何參數的相關性排列規律為ε>β>α。

(2)材料參數的影響

緊固件結構的材料參數包括下端部分彈性模量En與緊固件主體的彈性模量Efastener，引入無量綱參量η和λ分別表征這兩個參數與緊固件彈性模量Eb及被緊固件彈性模量E的比值。選取公稱直徑d分別為M12、M16、M24、M36的緊固件為研究對象，參數取值如表3，幾何參數均采用標準件，其中摩擦系數μ=0.4。

表3 結構材料參數取值

應用Parametric modeling of fasteners插件進行緊固件的參數化模型建立及求解，基于能量法得到各模型準確的緊固件剛度，進而求解等效修正系數與無量綱參數η和λ，計算結果如圖7所示。

建立等效長度的修正系數γ與材料參數之間的關系擬合公式：

γη=-0.04η+2.0；

(20)

γλ=0.77λ2-3.8λ+5.4。

(21)

由圖7a和擬合公式γη可得，隨著η的增加，等效長度修正系數γ線性降低，η由0.5增加至3，γη減小了0.1，說明等效長度修正系數γ與下端部緊固結構的材料參數En之間的相關性較低；由圖7b和擬合公式γλ可得，隨著λ增加，等效長度修正系數γ呈現拋物線型式的下降，λ由0.5增加至3，γλ減小接近4，且變化幅度明顯，說明等效長度修正系數γ與被緊固件的材料參數Efastener相關性較高，當2<λ<3，等效長度修正系數γ的變化趨于平緩。

(3)摩擦系數的影響

選取公稱直徑d分別為M12、M16、M24、M36的緊固件為研究對象，幾何參數均采用標準件，所有材料均為鋼。假設法向“硬”接觸，摩擦系數以0.1為增量變化區間為0～0.4，應用Parametric modeling of fasteners插件進行緊固件的參數化模型建立及求解，基于能量法得到各模型準確的緊固件剛度，進而得到摩擦系數μ與等效長度修正系數γ之間的關系，計算結果如圖8所示。

隨著摩擦系數μ從0增加至0.4，等效長度修正系數γ的最大變化值僅為0.05，摩擦系數μ=0時的等效長度修正系數與摩擦系數μ=0.4相差4%，該結果與ALKATAN[18]中的計算結果吻合，說明摩擦系數對等效長度修正系數γ的影響可以忽略。

(4)預緊力的影響

選取公稱直徑d分別為M12、M16、M24、M36的緊固件為研究對象，幾何參數均采用標準件，所有材料均為鋼。分別施加20%、40%、60%、80%、100%的預緊力，應用Parametric modeling of fasteners插件進行緊固件的參數化模型建立及求解，基于能量法得到各模型準確的緊固件剛度，進而得到預緊力與等效長度修正系數γ之間的關系，計算結果如圖9所示。由圖9可知，原始尺寸對等效長度修正系數有影響，隨著原始尺寸的增加，等效長度修正系數有所減小，但變化范圍僅為0.02，而預緊力的變化與等效長度修正系數之間的相關性最大誤差為0.8%，說明預緊力對等效長度修正系數γ的影響也可以忽略。

2.2 等效模型修正面積

如圖10所示，將緊固結構整體等效為柱狀模型時，確定合理的等效修正面積是建立等效模型的關鍵，基于能量法得到精確的裝配緊固結構剛度Kf的基礎上可以得到：

(22)

(23)

緊固件連接的其他幾何參量也以dn為基準定義相應的無量綱參量：

(24)

(25)

(26)

3 等效參數的試驗驗證

3.1 試驗的基本原理

前述研究已證明，預緊力的大小對結構剛度的影響可以忽略，在此前提下，假設外載荷作用大小與緊固件初始結構剛度無關，則可以通過緊固不同彈性模型的結構，分別得到緊固件剛度Kb和被緊固結構剛度Kf。

設計兩個幾何相同的被緊固件結構，材料分別選擇鋼和鋁，具有彈性模型為Ef1和Ef2，使用完全相同的緊固件進行緊固，彈性模量為Eb，不同外載荷Fi作用下產生相同相對位移δ，

(27)

其中，兩種被緊固結構的等效剛度Kfi表示為等效截面Af和等效長度lf的函數：

Kf1=Ef1Af/lf；

(28)

Kf2=Ef2Af/lf。

(29)

當相對位移δ相同時，得到等效面積Af(如式(30))和Kb(如式(31))：

(30)

(31)

測試中下端采用施加扭矩加載的方式，旋轉角度Δθ與整體伸長量成正比，只需要確定相同的扭轉角θ即可保證兩個測試件的相同位移。通過緊固件上應變片的變化量ε得到各扭轉角對應的軸向力F，利用式(27)、式(30)和式(31)得到Kb、Kfi的分離剛度值以及影響面積Af，實驗和數值計算的基本原理如圖12所示。

3.2 驗證試驗

設計鋼制和鋁制兩種材料的被緊固試件，上部結構厚度為10 mm，下部試件的厚度為12 mm。中心位置為緊固件的安裝孔，采用M20的緊固件進行裝配，在緊固件端部加工出測試線的開孔以方便測試，如圖13所示。

在緊固件桿身的周向對稱位置貼兩個單向應變片，取其平均值作為軸向力的測試值，在C位置處貼夾角為45°的應變花以測量扭矩，其中單向應變片接1/4惠斯特電橋，應變花接1/2惠斯特電橋，并進行溫度補償，采用東華5922進行數據采集，測試貼片位置及實際布置如圖14所示。

3.3 試驗驗證結果

分別對兩組試件施加相同的扭轉角度以保證得到相同的伸長量，選取測試值并進行數據采集，得到軸向拉伸的一系列應變結果ε1i和ε2i，對應每個扭轉角度取兩個應變片應變值的均值作為軸向應變。

(32)

Fi=σmiS=EεmiS。

(33)

其中：S為貼片位置對應的截面積，計算得到相應的軸向力Fi，根據試驗原理得到相應的Kb、Kf1、Kf2和Af，同時與前述基于能量法得到的數值結果進行對比，如圖15所示。計算m個扭轉角度，其中m=6，對應測試值均值與基于能量法求解的結果進行比較，可以得出兩者之間的誤差，其中Kf1的誤差最大為7.89%，Kb的誤差最小為2.88%，所有結果均在10%以內，進一步驗證了基于能量法軸向等效剛度的準確性。

4 緊固件等效模型的應用

對于包含有大量緊固件結構或者對緊固件選擇有要求的結構，合理地應用等效模型建?？梢宰畲笙薅鹊睾喕嬎氵^程，本章在驗證了基于能量法的緊固件軸向剛度研究的基礎上，將前述等效模型長度及修正面積的研究內容，應用Python結合ABAQUS進行了等效模型參數化建模的插件的開發，如圖16所示。在輸入緊固件的基本參數后，在Equivalent correction factor插件中選擇不同幾何參數及材料參數下的等效長度修正系數，從而生成緊固件的等效模型作為子結構模型，在包含有多個緊固結構的組件中可以重復調用，從而減少了建模的復雜性。

選擇幾何參數β和材料參數η、λ為研究變量，首先應用緊固件等效模型的建模插件Equivalent FM生成不同參數變量的等效模型，以某車下牽引變流器冷卻單元吊裝結構建立應用數值模型。牽引變流器冷卻單元結構外圍框架基本尺寸2 700 mm×700 mm×1 430 mm，垂向對應圖17中的Y軸，橫向對應X軸，縱向對應Z軸，共劃分了37 738個節點，43 646個單元，鋼制材料，內部為鋁合金材質，總重量543.26 kg。

原始模型連接的緊固件采用六面體單元進行劃分，采用預緊力單元模擬初始預緊，并在主吊及緊固件之間設置接觸關系；等效模型應用Equivalent FM建立不同參數的緊固件等效子模型，生成相應的文件，在主體模型中進行調用，根據標準對兩種模型均施加垂向方向1 g加速度的工況，選取框架上端面橫向方向中心位置處的垂向位移，驗證等效模型的適用性。兩種模型對應不同參數變化的對比計算結果如圖18所示，由圖18a可得，當幾何參數β在0.5～2.0之間變化，等效模型與原始模型之間所選取的測試點垂向位移誤差最小為1.1%，最大為7.4%；由圖18b可得，當材料參數η在0.5～2.0之間變化，該測試點垂向位移誤差最小0.5%，最大4.37%；由圖18c可得，當材料參數λ在0.5～2.0之

間變化，測點垂向位移最小誤差9.17%，最大誤差35.4%。參數λ的變化對等效模型的精度影響較大，垂向位移的變化規律與前述研究結果一致。

應用Equivalent FM建立等效模型對于采用多個緊固件進行連接的組件來說具有很好的適用性及準確性。以上述牽引變流器冷卻單元的吊裝為例，因分析中涉及接觸及預緊力加載，單個原始模型的分析時長是采用等效模型的6倍，從計算效率的角度也驗證了采用等效模型的合理性。

5 結束語

緊固件及被緊固結構的合理性簡化是進行包含此類連接結構動態特性分析的基礎，伴隨變形產生的能量與有限元法相結合，可以方便快捷地進行此類結構的等效。本文開發了參數化建模工具，從4個主要影響因素進行分析，得出了緊固件的等效長度修正系數公式，同時對被緊固結構等效無量綱截面積進行了兩種方法的驗證，并確定了合理的等效公式。針對實際結構開發了兩種不同材質的雙重數值計算，為試驗研究提供了方法并對基于能量法計算得到的等效剛度及有效面積進行了驗證。應用研究結果基于ABAQUS開發了緊固件等效模型生成插件Equivalent FM，以某車下牽引變流器冷卻單元吊裝結構為例驗證了等效分析的準確性及有效性，為解決此類復雜結構的動態特性分析提供了有效手段。未來在本文研究的基礎上，也可以展開針對包含緊固結構動態分析的研究。