運用一題多變探究與(-1)n有關的數列求和問題*

遲麗杰 姜尚鵬

(山東省平度市第九中學,266700)

數列求和問題是高考試題中的?？碱}型,對于一些常用的數列求和方法,如公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法、并項求和法等,學生已經熟練掌握.但在平時教學中,筆者發現對與(-1)n有關的數列求和,學生常感到無從下手.根據平時教學中的一些積累,本文對與(-1)n有關的數列求和進行了梳理和總結,以變式探究的形式整理成文,與讀者分享.

一、問題呈現

引例已知an=(-1)n(2n-1),求數列{an}的前n項和Sn.

解因為Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1),所以

評注數列求和的關鍵在于分清數列通項公式的特點,由此選擇相應的求和方法.此題是(-1)nf(n)型的求和問題(其中f(n)是等差數列的通項公式),因此根據等差數列相鄰兩項的差為定值的特點,采用分組求和法可簡化問題;對n進行分類討論求和時可用類比思想解題,也可以利用奇數項和與偶數項和的關系解題,如本題中當n是奇數時,n-1是偶數,則Sn=Sn-1+an=(n-1)-(2n-1)=-n.

二、變式探究

變式1若an=(-1)n2n,求數列{an}的前n項和Sn.

評注此題將引例中的f(n)換成了等比數列的通項公式,觀察an=(-1)n2n,發現此題中的(-1)n與2n分別是兩個等比數列的通項公式,其乘積的結果(-2)n也是一個等比數列的通項公式,由此轉化,可以直接用等比數列的前n項和公式求和.

變式5已知an=(-1)n-1(2n-1)2,求數列{an}的前n項和Sn.

解易見Sn=(12-32)+(52-72)+…+(-1)n-1(2n-1)2=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+…+(-1)n-1(2n-1)2.

當n是奇數時,Sn=Sn-1+an=-2(n-1)2+(2n-1)2=2n2-1.

評注此題把f(n)換成(2n-1)2,題設中的(-1)n-1起到的作用是兩個平方項作差,相鄰兩項可以用平方差公式運算,用并項求和法即可轉化為等差數列的求和問題.當然,在解題細節上需要注意對n進行分類討論.

評注此題對前面的與(-1)n有關的求和問題進行了推廣,通項公式是分段函數型,其中的奇數項和偶數項是均勻分布的,學生很容易分清它們的項數,將問題轉化為等差數列、等比數列求和問題.

變式7在數列{an}中,已知

其中k∈N，求{an}的前4n項和S4n.

評注此題是分段函數中的不均勻分組,重新組合后分組求和,因為求的是S4n,所以比較容易求和.若改為求Sn,則難度偏大,需要仔細分析并進行分類討論,數清各組的項數,有興趣的同學課后不妨進一步探究.