兩轉一移并聯平臺伴隨運動力學性能研究*

白龍龍，金映麗

(沈陽工業大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

兩轉一移(2R1T)并聯平臺為繞X軸和Y軸旋轉、沿Z軸移動的三自由度機構，平臺在運動過程中會產生伴隨運動。伴隨運動不利于平臺軌跡規劃，并對其力學性能有較大影響。

在運動學方面，學者們對伴隨運動進行了大量研究[1-12]。如文獻[1]和文獻[2]利用運動約束關系分別對2-UPS/(S+SPR)R并聯平臺和新型3-PRS并聯機構的伴隨運動進行了運動學分析。本文中，P表示移動副，R表示轉動副，S表示球副，U表示萬向副，C表示圓柱副。文獻[3]分析指出，新型3-UPU對稱并聯機構不存在伴隨運動。大多數學者對并聯平臺進行了伴隨運動的運動學研究，但往往忽略了伴隨運動的力學分析。針對上述情況，本文針對兩種含防扭臂且結構參數相似的有、無伴隨運動平臺分別研究其防扭臂處的受力。

1 2R1T并聯平臺位姿描述

在兩轉一移(2R1T)并聯平臺的上、下平臺旋轉中心處分別建立動直角坐標系p-xyz、靜直角坐標系O-XYZ，如圖1所示的初始狀態下，動坐標系三軸分別對應平行靜坐標系三軸，且動坐標系原點p在靜坐標系中X、Y坐標都為0。

圖1 動、靜坐標系建立

動坐標系在靜坐標系中的旋轉運動采用歐拉角進行XYZ變換，旋轉矩陣如下：

(1)

其中：cφ=cosφ；sφ=sinφ；θ、φ、ψ分別為動坐標系繞靜坐標系X、Y、Z軸轉動的歐拉角。

矢量pp=(px,py,pz)T為動坐標系原點p在靜坐標系中的位置矢量。如圖1所示，動坐標系中一點api=(xpi,ypi,zpi)T經旋轉平移變換后在靜坐標系內的位姿ai=(Xi,Yi,Zi)T可以表示為：

ai=Tapi+pp.

(2)

其中：i為點代號。

把式(2)寫成式(3)形式：

(3)

兩轉一移并聯機構上平臺任一點在運動過程中均滿足式(3),將上平臺一點代入式(3)中，當非運動自由度px、py和ψ的值不為0時，則并聯機構存在非運動自由度上的伴隨運動。

2 伴隨運動力學性能理論分析

伴隨運動不僅影響平臺的運動，也影響著平臺的力學性能。3-UCU-CU-RCU平臺為含防扭臂機構，如圖2所示，a、b、c、e分別為動平臺萬向副U的中心點，動坐標系原點p和該處萬向副U中心點重合，點p在靜坐標系Z軸上，e點距p的長度為l，A、B、C分別為下平臺萬向副U的中心點，E1、E2、E3、E4分別為圓柱副C，E5為轉動套筒構成可轉動圓柱副，其轉動軸線平行靜系Y軸。

圖2 3-UCU-CU-RCU平臺

上平臺萬向副中心點e、p在動坐標系中坐標分別為(l,0,0)、(0,0,0)，平臺運動過程中，由運動約束可知e和p兩點在靜坐標系中分別為Ye=0和Xp=0、Yp=0，將各坐標代入式(3)中可知，px=0、py=0和ψ=0，由此可知該平臺無伴隨運動。

3-UCU-RCU-RPU平臺如圖3所示，a1、b1、c1分別為該機構動平臺萬向副U的中心點，A1、B1、C1分別為下平臺萬向副U的中心點，e1為距離動系原點l處布置的萬向副U的中心點，E11、E21、E31分別為圓柱副C的中點，E41為轉動套筒的中心點，由下平臺支架、動系原點處防扭臂和轉動套筒構成旋轉副和圓柱副，轉動套筒軸線經過靜系Z軸平行于X軸，E51為方形轉動套筒的中心點，其與動坐標系x軸上布置的方形防扭臂和下平臺支架構成旋轉副和移動副，方形轉動套筒布置在靜坐標系XOZ面，與Z軸的距離為l，轉軸軸線平行于靜系Y軸。

圖3 3-UCU-RCU-RPU平臺結構簡圖

e1、p1兩點在動坐標系中的坐標分別為e1(l,0,0)和p1(0,0,0)，平臺運動過程中，由運動約束可知e1、p1兩點在靜坐標系中坐標分別為Ye1=0，Xp1=0，將各坐標代入式(3)中得到p1點運動：

為揭示基礎錨桿在風機運行過程中的預應力變化情況，為后續長期承載力評價提供數據支撐，選取28#風機4根錨桿(共布置4支傳感器)進行應力監測，監測錨桿間隔90°(19根錨桿)，均布分布于基礎范圍內，可以反映各方向荷載變化對于錨桿預應力的影響，以適應風機受360°方向重復荷載和大偏心受拉荷載的特點。監測儀器布置如圖1所示。

py=-lsinθsinφ.

(4)

式(4)中，θ與φ分別為上平臺繞X、Y軸的旋轉角度，表明該平臺有Y向移動的伴隨運動為py，負號表示方向。

以3-UCU-RCU-RPU平臺為研究對象，分析防扭臂上鉸點的受力情況，因x軸上防扭臂運動幅度與3-UCU-CU-RCU平臺相似，為簡化分析，忽略x軸上防扭臂的質量、轉動慣量及鉸鏈的摩擦等影響。

(1) 中心點鉸鏈受力分析。將該點處防扭臂簡化為一質量為m的質點p1，在該點處由達朗貝爾原理有：

F+FN1+Fp1=0.

(5)

其中：F為質點的主動力，由上平臺運動所產生；FN1為質點約束力；Fp1=-ma為質點p1的慣性力，a為質點p1加速度。

式(5)可以寫成：

FN1=ma-F.

(6)

式(4)左右對時間求二次導得到：

(7)

式(7)中，a與主動力F同號。將式(7)代入式(6)中得到機構有伴隨運動時質點處的約束力FN1。

以3-UCU-CU-RCU平臺為研究對象，將動系旋轉中心處防扭管RCU簡化為質點，其約束力FN為：

FN=-F.

(8)

給定兩平臺相同的運動參數，式(6)、式(8)中主動力F相同。則平臺在有、無伴隨運動時質點約束力大小為：

|FN1|<|FN|.

(9)

由式(9)知，平臺無伴隨運動時，其旋轉中心鉸鏈受力大于有伴隨運動時的受力。

(2)x軸上鉸鏈點受力分析。給定兩機構上平臺相同姿態，上平臺對兩防扭臂的總作用力Ftol相同。由3-UCU-CU-RCU平臺可知：

Ftol=FN+FX.

(10)

其中：FX為3-UCU-CU-RCU平臺的x軸上防扭臂上鉸鏈受力。

由3-UCU-RCU-RPU平臺可知：

Ftol=FN1+FX1.

(11)

其中：FX1為3-UCU-RCU-RPU平臺的x軸上防扭臂上鉸鏈受力。由式(9)、式(10)、式(11)知：

|FX1|>|FX|.

(12)

由式(12)可知，平臺無伴隨運動時，在x軸上鉸鏈點受力小于有伴隨運動時的受力。

綜上，機構無伴隨運動時上平臺中心點處防扭臂受力大于有伴隨運動時的受力，而機構無伴隨運動時x軸上鉸鏈點處防扭臂受力小于有伴隨運動時的受力；且在有、無伴隨運動時各鉸鏈處受力不同主要是由所在方向上伴隨運動引起的，其大小與上平臺伴隨運動參數、結構參數及防扭臂質量有關。

3 伴隨運動力學性能仿真分析

為驗證平臺伴隨運動對構件受力影響的理論分析，對3-UCU-CU-RCU平臺和3-UCU-RCU-RPU平臺進行仿真分析。在兩平臺運動過程中，x軸上布置的防扭臂運動基本相似，為簡化分析，忽略x軸上所布置防扭臂的質量、轉動慣量以及各關節副的摩擦力影響。在平臺運動過程中分別研究其上平臺旋轉中心處、x軸上防扭臂上鉸鏈點的受力情況。

3-UCU-CU-RCU和3-UCU-RCU-RPU平臺結構參數相同，如表1所示。

表1 平臺結構參數

在UG中分別建立兩種平臺的三維模型，導入ADAMS動力學仿真軟件中，如圖4所示。圖4(a)中防扭臂4上鉸點在動坐標系x軸上，與下平臺支架通過轉動套筒構成旋轉副和圓柱副，動坐標系原點p處鏈接的防扭臂5與下平臺支架通過直線軸承構成圓柱副。圖4(b)中方形防扭臂6上鉸點在動坐標系x軸上，與下平臺支架通過方形轉動套筒構成旋轉副與移動副，動坐標系原點p1處防扭臂7與下平臺支架通過轉動套筒構成旋轉副和圓柱副，其旋轉副旋轉軸線平行于靜坐標系X軸。

圖4 兩種平臺三維模型

當上平臺繞X軸轉動θ=10°、繞Y軸轉動φ=5°時，由運動學反解給定3個缸的驅動函數如下(單位為mm)：

q1=69.6×sint.
q2=-32.6×sint.
q3=-110.1×sint.

電缸驅動函數與運動周期相同，兩種機構對應有、無伴隨運動時，上平臺中心鉸鏈點受力如圖5所示，x軸處防扭鉸鏈點受力如圖6所示。

平臺在有、無伴隨運動時，中心點處防扭臂上鉸鏈在X、Y、Z三個方向的力及總受力幅值分別如圖5中(a)、(b)、(c)、(d)所示，在有、無伴隨運動時中心鉸鏈點最大受力幅值分別約為146 N、385 N，無伴隨運動中心鉸鏈點受力大于有伴隨運動時的受力，且為倍數增大；在X、Z向上受力幾乎相同，則總受力幅值主要由Y軸上即伴隨運動方向上受力決定。

圖5 有、無伴隨運動中心點防扭臂上鉸鏈受力

平臺在有、無伴隨運動時，x軸上防扭臂上鉸鏈在X、Y、Z三個方向上受力及總受力幅值分別如圖6中(a)、(b)、(c)、(d)所示，在有、無伴隨運動時x軸處防扭臂上鉸鏈最大受力幅值分別約為452 N、273 N，且在有伴隨運動時受力幅值大于無伴隨運動時的受力；在X、Z向上受力幾乎相同，則總受力幅值主要由伴隨運動所在的Y向上受力決定。

圖6 有、無伴隨運動x軸防扭臂上鉸鏈點受力

4 結論

本文分別通過理論和仿真方法分析了三自由度并聯平臺的伴隨運動力學性能。分析結果表明，平臺在無伴隨運動時上平臺中心點鉸鏈受力相當倍數大于有伴隨運動時的受力，平臺在有伴隨運動時x軸處防扭臂上鉸鏈點受力大于無伴隨運動時的受力，且都是由伴隨運動所在的方向受力引起的。故對于有、無伴隨運動的平臺應在不同位置設計適當強度的防扭臂機構。