傅里葉變換光譜儀角鏡二面角誤差分析研究

胡景森，黃 旻，高 寒

（1.中國科學院 空天信息創新研究院 計算光學成像技術重點實驗室，北京 100094；2.中國科學院大學 光電學院，北京 101408）

引言

光譜儀是獲取物質光譜的儀器，可以對物質結構和組分進行高精度分析，是目前科學研究中重要的檢測和分析手段。光譜儀以其分析精度高、測試速度快、無損檢測等優點，在化工、環境、食品、遙測等領域得到了廣泛的應用[1-4]。其中，時間調制型傅里葉變換紅外光譜儀(Fourier transform infrared spectrometer，FTIRS)，因其光譜分辨率高、光通量大等顯著優點[5]，逐漸成為目前光譜分析的主流儀器。傳統的時間調制型FTIRS 中干涉儀部分采用經典的邁克爾遜干涉儀結構，由平面動鏡、定鏡和分束器等部分構成。在實際應用中，由于裝調誤差，可能會導致平面動鏡或平面定鏡傾斜，使光束偏轉，影響光譜復原質量[6-8]。常用解決辦法是使用動態準直系統[9-10]，但是動態準直系統必須先檢測到誤差，再進行校準，導致調整過程總是滯后。雖然可用角反射鏡[11-12]和貓眼反射鏡[13]代替平面定鏡和平面動鏡來解決光束偏轉問題，但是這兩類光譜儀動鏡安裝的位置可能發生橫移，或在運動過程中可能偏離理想的運動方向，對干涉質量造成影響[14-15]。目前，主流的高性能時間調制型FTIRS 多采用旋轉方式產生光程差，角鏡擺臂型FTIRS[16]即為其中一種。相較于其他類型光譜儀，角鏡擺臂型FTIRS 消除了剪切問題[17]，具有結構緊湊、對元件傾斜不敏感等特點[18]，現已廣泛用于光譜儀設計中[19-20]。

由于存在裝調誤差，角鏡擺臂型FTIRS 中角反射鏡的3 個反射面之間不一定嚴格垂直。角反射鏡的二面角裝調精度將影響光線的準直情況，最終影響光譜質量。為實現FTIRS 具有較高的分辨率，討論角反射鏡的二面角公差很有必要。本文將結合理論推導和光學軟件模擬的方法來探討角反射鏡的二面角公差，為后續光譜儀設計和裝調提供參考。

1 基本理論

角鏡擺臂型FTIRS 結構如圖1所示。光源射出的光經過分束器被分為透射光和反射光，o1、o2分別為分束器和轉動平面的中心，在零光程差位置時，轉動平面垂直于分束器平面。根據圖1所示，分別建立全局坐標系x1y1z1、轉動平面坐標系x2y2z2和角反射鏡坐標系x3y3z3。根據三者之間的空間位置關系，利用坐標變換矩陣和光線追跡方法可以求得相干光束之間的夾角，進而求出干涉強度的數學表達式。

圖1 角鏡擺臂傅里葉變換光譜儀原理Fig.1 Oscillating Fourier transform spectrometer with corner-cube reflectors

1.1 坐標系變換

角反射鏡坐標系的具體示意圖如圖2所示。其中坐標原點o3為反射鏡M1 的一個頂點，反射鏡M1 與M3 相交的棱邊為x3軸，反射鏡M1 與M2 相交的棱邊為y3軸，反射鏡M1 的法線方向為z3軸，為角反射鏡的光軸方向。當角反射鏡不存在二面角誤差時，出射光與入射光平行。如果角反射鏡存在二面角誤差，則出射光線與入射光線不再平行，將產生夾角[21]，引入額外光程差，使調制度下降。

圖2 角反射鏡坐標系Fig.2 Coordinate system of corner-cube reflectors

根據文獻[12]可知，在光束不超出角反射鏡有效反射面的情況下，角反射鏡繞光軸的偏轉不會影響干涉質量。因此，角反射鏡和轉動平面的空間位置關系有很多種。假設轉動平面坐標系可由角反射鏡坐標系繞過原點o3，單位方向向量為的旋轉軸旋轉 θ得到，那么，由角反射鏡坐標系變換至轉動平面坐標系的變換矩陣Tcp可以表示為

為了計算和建模方便，選取其中一種情況進行討論。令：

在這種情況下，角反射鏡的光軸方向noc垂直于轉動平面。雖然變換后的角反射鏡坐標系與轉動平面坐標系的原點不重合，但是并不影響變換后向量的方向。

由于轉動平面在零光程差位置時與分束器平面垂直，為了將轉動平面坐標系變換到全局坐標系，需要知道分束器平面與x1o1y1平面的夾角。假設分束器平面與x1o1y1平面的夾角為α，轉動平面繞x2軸正方向順時針擺動β度，則全局坐標系可以看作是轉動平面坐標系繞x2軸正方向順時針轉動γ=90°-α+β。坐標系變換矩陣Tpg為

同理，雖然變換后的坐標系原點不重合，但是并不影響變換后向量的方向和后續光線偏轉角的求解。

1.2 干涉強度與調制度推導

首先對角反射鏡坐標系進行分析。假設反射鏡M1 與M2之間的二面角誤差為 δa，反 射鏡M1 與M3 的二面角誤差為 δb，反射鏡M2 與M3 的二面角誤差為 δc，那么M1 與M2、M1 與M3、M2 與M3 之間的夾角可以分別表示為 π/2+δa，π/2+δb，π/2+δc。根據所建立的坐標系，可以令反射面M1、M2 和M3 的單位法線向量為

又有：

由于 δa，δb，δc均為很小的值，所以有 c os(δk)=1，sin(δk)=δk。聯立(4)式～(6)式可得：

那么，全局坐標系下反射鏡面的法線向量為

式中，i=1、2、3，分別表示反射面1、反射面2、反射面3。后文出現i表示的意義相同。

根據矩陣形式的反射定律，全局坐標系下3 個反射面的反射矩陣可以寫成：

根據入射光方向，存在6 種反射情況[21]，6 種情況相似，選取其中一種分析即可。假定全局坐標系下，透射光路射入角反射鏡的單位方向向量為分別經反射面1、反射面2 和反射面3 反射，那么出射光線可表示為

同理，可以求得反射光路中出射光線的方向向量O′，那么兩束光之間的夾角為

根據上述推導可以發現，相干光束間夾角不僅受到二面角誤差的影響，還受到擺角的影響，因此需要確定擺角的范圍。當選擇了矩形窗切趾函數時，角鏡擺臂型FTIRS 擺角與光譜分辨率的關系為[22]

式中：R為擺臂長；Δσ為光譜分辨率。根據光譜分辨率即可確定擺角范圍。

將光路展開后，等效光路如圖3所示。干涉坐標系x4y4z4以探測器中心o4為坐標原點，且探測器足夠大，能接收所有光束。圖3 中CCR1 和CCR2分別對應2 個角反射鏡，L表示零光程差位置時角反射鏡與探測器間的距離，l表示角反射鏡擺動的機械距離，φ表示相干光束的夾角，D表示入射光線的孔徑大小。在分析角反射鏡誤差導致的光束偏轉時，可以將角反射鏡視為傾斜平面鏡，使用傾斜平面動鏡的誤差分析方法，計算額外光程差[23]。2 個角反射鏡均可視為繞自身幾何中心發生偏轉的平面鏡，并且導致相干光束產生的夾角為 φ。

圖3 等效光路圖Fig.3 Equivalent optical path diagram

實際情況下夾角 φ很小，兩路相干光束均不會偏離正常光束位置太遠。因此，光路可以近似為圖3（b）的情況，這種情況下，假設其中一路光束是無誤差的正常光束，另一路光束是有誤差的偏轉光束，兩束光的夾角仍為 φ。那么角反射鏡二面角誤差引入的額外光程差可以分為以下2 個部分：

1）光束偏轉導致的恒定光程差，可表示為

2）沿y4軸不同位置的入射光線導致的偏移光程差，可表示為

當入射光束為D×D的正方形孔徑光束時，由于光線偏轉，探測器接收的正方形孔徑光束被拉伸成矩形孔徑。同理，由于偏轉角通常較小，探測器接收到的光束孔徑仍然可以看作D×D的正方形孔徑。探測器平面接收干涉光束示意圖如圖4所示。圖4 中d為兩束干涉光中心的偏離量，d的值取決于兩束光的夾角 φ以及2 個角反射鏡到探測器平面的距離L+l和L-l。當L+l和L-l不是非常大時，干涉區域可以近似看成D×D的正方形孔徑光束，如圖4（b）所示。此時干涉強度值在探測器平面上是變化的，需要對整個干涉區域求積分。那么干涉函數可以寫為

圖4 干涉光束積分區域Fig.4 Integral region of interference beams

化簡后可得：

式中 σ表示入射光的波數。從（15）式可以得到干涉圖的調制度為

2 仿真與分析

利用Zemax 的非序列功能建立角鏡擺臂型FTIRS，如圖5所示。其中入射光波長 λ=632.8 nm，光束孔徑D=2 mm，擺臂長R=45 mm，擺臂平面中心距離分束器平面中心d1=70 mm,平面反射鏡中心距離分束器平面中心d2=52 mm，探測器平面中心點o4到分束器平面的距離d3=10 mm。分束器平面繞x1軸逆時針旋轉30°，那么γ=60°+β，平面反射鏡與分束器的夾角為60°。根據幾何關系，可以得到零光程差位置時角反射鏡到探測器平面的距離L≈140 mm。分束器A 面和D 面分別鍍半透半反膜，B 面和C 面分別鍍增透膜，該結構的光譜儀不需要補償器。當光譜分辨率 Δσ=0.25 cm-1時，由(12)式求得擺角范圍為 γ ∈[0,6.379°]。

圖5 Zemax 非序列建立的角鏡擺臂型FTIRS 示意圖Fig.5 Schematic diagram of Zemax no-sequential mode

2.1 理論模型合理性驗證

為了給后續多個二面角誤差分析打下基礎，先分析一個二面角誤差，對所建立的模型是否合理進行驗證。假設只有透射光路角反射鏡存在二面角誤差，且 δb= δc=0 時，（7）式可簡化為

圖6 調制度函數圖像Fig.6 Diagram of modulation depth function

再利用Zemax 進行模擬，擺角由0°擺動至0.000 35°。根據調制度定義，求出不同誤差角下干涉信號的調制度，并進行擬合，擬合得到的調制度函數如圖7所示。當調制度M=0.9 時，得到二面角公差為 δa=0.002 58°=9.288″，與理論值相比，誤差為0.792″。

圖7 Zeamx 模擬得到的調制度函數Fig.7 Modulation depth function simulated by Zemax

圖8 為擺角在0°附近時根據理論數值計算得到的調制度曲線和Zemax 模擬得到的調制度曲線。從圖8 可以看出，兩者在主峰匹配較好，證明本文理論模型是合理的。

圖8 擺角為0 時理論曲線與模擬曲線對比Fig.8 Comparison of theoretical curve and simulated curve with oscillating angle of 0

2.2 角反射鏡二面角公差分析

為探究角反射鏡二面角公差，需要分析不同二面角誤差對調制度的影響。上述2.1 節證明了本文所提出理論模型的合理性，因此使用該模型進行分析。根據該模型，分別繪制調制度隨 δa、δb和δc的變化曲線，如圖9所示。從圖9 可以看出，3 個曲線完全重合，可以證明同一個角反射鏡的3 個二面角誤差對調制度的影響是相同的。

圖9 同一角反射鏡中不同二面角誤差對調制度的影響Fig.9 Effects of different dihedral angle errors on modulation depth in same corner-cube reflector

根據上述分析，假設同一個角反射鏡中3 個二面角產生的誤差是相同的，那么其中一個二面角到達允許的最大誤差角時，另外2 個二面角也到達了允許的最大誤差角。因此，透射光路角反射鏡產生的二面角誤差為 δa=δb=δc=δ。由于透射光路和反射光路在理想情況下是完全對稱的，當反射光路的角反射鏡二面角誤差為δ′a=δ′b=δ′c=-δ時，相干光束O與O′間夾角是最大的，此時干涉圖調制度受到的影響最大。當誤差角 δ的變化范圍為[-0.005 °,0.005 °]時，繪制得到的理論曲線和模擬曲線如圖10所示。由圖10 可知，為滿足調制度判據，得到的理論二面角公差為2.52″，模擬得到的二面角公差為2.38″，兩者誤差為0.14″，屬于可接受范圍。

圖10 理論曲線與模擬曲線對比Fig.10 Comparison of theoretical curve and simulated curve

3 結論

本文根據光線追跡理論和平面鏡傾斜誤差分析方法，討論了角鏡擺臂傅里葉變換光譜儀中角反射鏡二面角的裝調誤差。將有誤差的角反射鏡視為傾斜平面鏡，計算額外光程差，并根據雙光束干涉理論求出干涉強度和調制度函數。根據理論推導，得到的角反射鏡二面角公差為2.52″，利用Zemax 模擬得到的反射鏡二面角公差為2.38″，兩者誤差為0.14″，符合較好。模擬結果表明，該理論可用于分析擺臂角鏡FTIRS 的角反射鏡二面角誤差。以目前的工藝水平，角反射鏡的綜合角偏差通?？梢钥刂圃?″以內[25]，因此本文求出的二面角公差在實際的裝調中是可以實現的，為后續的生產和設計提供了參考。