考慮不完美維護的視情維修和備件訂購聯合策略優化

趙 斐, 李 鑫, 郭 明

(1.東北大學 秦皇島分校 管理學院, 河北 秦皇島 066004; 2.東北大學 工商管理學院, 遼寧 沈陽 110819)

工業4.0時代智能傳感器的應用實現了對系統健康狀態的實時監控,為設備維修決策提供了大量數據,進一步將視情維修策略(condition-based maintenance,CBM)提升到一個新的高度[1-3].視情維修利用反映系統健康狀態的實時信息,依據系統當前工作狀態采取相應的維護保養以及維修措施,建立相關維修模型進行決策,從而科學、合理、有效地安排維修活動.因此,視情維修策略有助于提高系統可靠性和可用度,降低維修費用.然而,維修活動與備件庫存管理密切相關,維修活動導致備件消耗,而備件支持維修活動順利開展[4].為此,也有少量學者對單部件系統視情維修和備件聯合策略優化開展研究[5-6].

在工程實踐活動中,根據系統的修復程度不同,通常將維護分為完美維修、不完美維護和最小維修.完美維修即系統通過維護活動恢復至全新狀態,最小維修即維修后只能恢復到故障前狀態;可是,在工業界中不完美維護活動應用更為普遍,即介于完美維修和最小維護之間,經不完美維護減緩系統的退化過程.不完美維護已受到學者們的關注,Kijima等[7]和Nakagawa等[8]分別提出采用虛擬役齡模型、失效率增加模型描述不完美維護后系統的退化過程;在此基礎上,Zhou等[9]結合上述兩種模型提出不完美維護混合模型,并通過數值實例驗證了模型的合理性.不完美維護模型主要從虛擬役齡、失效率兩個方面考慮不完美維護的影響;然而,均無法準確刻畫在實際生產過程中不完美維護活動對系統隨機退化過程的影響.為此,Guo等[10]基于Wiener過程建立維護決策模型,引入殘余退化量模型表征不完美維護活動改善系統健康狀態能力逐漸減弱的趨勢.Zhang等[11]使用退化率函數代替失效率并引入隨機改進因子,建立一種新的不完美維護模型.基于剩余壽命預測的不完美維護研究僅考慮維修對退化率和退化量的單一影響,針對這一問題胡昌華等[12-13]提出一種同時考慮不完美維護活動對退化量和退化率影響的退化建模.本文在同時考慮系統退化量和退化率的前提下,使用維納過程建立維修決策模型,退化率更新函數選擇指數函數描述不完美維護后對系統實際退化軌跡的影響.

利用狀態監測得到的系統實時退化數據,預測剩余壽命并用于維修和備件訂購決策,體現了故障預測與健康管理技術的內涵[14-16].已有學者在預測剩余壽命基礎上對維修和備件聯合優化策略展開研究.Wang等[17]提出了一種基于實時預測壽命信息的聯合訂貨替換策略,通過預測剩余壽命獲得訂單替換決策及更新替換時間,建立序貫優化模型確定最優的訂貨點.蔣云鵬等[18]對剩余使用壽命進行預測,建立預測信息下的序貫優化模型和聯合優化模型,通過軸承加速壽命試驗證明聯合優化模型下的更換時間和備件訂購時間優于序貫優化模型結果.Si等[19]研究了系統更換和備件訂購問題,通過推導剩余壽命的概率密度函數,建立可靠性約束下的成本率模型.上述研究僅僅是將預測剩余壽命用于維修策略或備件策略,而未將預測得到的剩余壽命同時運用于維修決策和備件訂購決策上[20].

本文針對單部件系統分別設置預防性更換閾值和備件訂購閾值,用于系統何時執行不完美維護和預防性更換決策,何時訂購備件決策.結合系統更新時不同事件的發生概率,利用更新報酬理論對單部件系統維修和備件訂購聯合策略建立決策優化模型,并設計離散仿真事件算法求解;最后,通過數值仿真實驗進行驗證,并對不同參數進行靈敏度分析.

1 不完美維護下基于剩余壽命預測的視情維修和備件訂購聯合策略

1.1 問題描述

傳感器每隔Δt時間監測系統退化狀態獲得實時的健康信息,初始時刻0時系統退化狀態為0.考慮到不完美維護(imperfect maintenance, IPM)同時對系統退化量和退化率的影響,采用Wiener過程對系統退化過程進行分階段建模.根據視情維修的控制限原則,根據檢測時系統所處的不同健康狀態執行不同的維修活動,即若退化量達到最小維修閾值ωm時,對系統進行最小維修,且僅考慮執行一次最小維修;若達到預防性維護閾值ωp時,對系統進行不完美維護或預防性更換(preventive replacement, PR);若超過故障更換(corrective replacement, CR)閾值ωl,則立即進行故障更換.其中,當系統在第k次IPM時刻jkΔt達到預防性維護閾值ωp時，是否執行不完美維護需進一步決策;此時若系統剩余壽命rk,ωl大于預防性更換閾值TIPM,則考慮進行不完美維護活動,否則執行預防性更換,預防性更換時不完美維護次數為N.

無論是PR還是CR都是對舊系統的更換,顯然均會產生備件需求,根據系統健康狀態合理制定采購計劃是關鍵點.考慮到備件由采購至到貨需要經歷一段時間,即提前期L,本文通過引入訂購閾值Lo與提前期、預測剩余壽命比較構建備件訂購的約束條件.若在時刻jkΔt系統剩余使用壽命rk,ωl與備件提前期L、訂購閾值Lo滿足條件rk,ωl≤Lo+L,則下正常訂單,且備件經提前期L后到貨入庫;否則,不訂購直至下次執行IPM時再進行判斷.如果更換系統時,備件未訂購,則下緊急訂單,緊急訂單提前期與正常訂單提前期相比較小可忽略;若備件已經訂購但是未到貨,則直到備件到貨后再更換,備件缺貨將造成一定的經濟損失,單位時間內的缺貨成本為CP;如果更換需求產生時備件已到貨正處于存儲狀態,則立即更換系統,因備件提前到達以單位時間的成本Ch產生存儲費用.

檢測間隔的不同會影響系統退化狀態信息的獲取,進而影響維修決策和備件采購決策,而預防性維護閾值的決定直接影響是否產生備件需求,因此本研究將檢測間隔、預防性維護閾值作為決策變量進行優化.

1.2 不完美維護下的系統退化過程建模和剩余壽命預測

每隔時間Δt監測系統的健康狀態,時刻tm=mΔt系統退化量為X(tm).由于考慮了不完美維護,為此采用Wiener過程對系統退化分階段建模,將系統經過第k(0≤k≤N)次IPM后的退化量定義為

Xk(tm)=yk+μk(tm-jkΔt)+σBB(tm-jkΔt).

(1)

f(yk)=

(2)

其中:a,b為超參數;ck=1/(1-exp(-abk-1)).

基于首達時間概念預測系統剩余壽命,定義系統退化量首次達到閾值ωi(i=m,p,l)的時間Rk,ωi為

Rk,ωi=inf(rk,ωi|X(jkΔt+rk,ωi)≥ωi|yk,rk,ωi>0).

(3)

進而,系統剩余使用壽命Rk,ωi服從逆高斯分布,對應的概率密度函數fk,ωl(rk,ωl|yk)和累積分布函數Fk,ωl(rk,ωl|yk)分別為

fk,ωl(rk,ωl|yk)=

(4)

(5)

剩余壽命Rk,ωl的期望和方差分別為

(6)

(7)

2 不完美維護聯合策略優化建模

每次以成本Ci對系統進行狀態監測,X(tm)≥ωl時系統執行故障更換,每次故障更換成本為CCR;若ωl>X(tm)≥ωp,則每次以成本CIPM執行不完美維護或者以成本CPR對系統進行預防性更換;若ωp>X(tm)≥ωm,則每次以Cm執行最小維修.從而確定系統更換有兩種相互獨立的情形:一,系統退化量滿足條件ωl>X(tm)≥ωp且剩余使用壽命rN+1,ωlωl,此時系統執行故障更換.

2.1 更新事件的發生概率

系統在(m+1)Δt時刻執行最小維修概率為

Pm=P(X(mΔt)<ωm∩ωm

(1-F0,ωm(mΔt))(1-F0,ωp((m+1)Δt))-

(1-F0,ωm(mΔt))(1-F0,ωm((m+1)Δt)).

(8)

系統在jkΔt時刻執行不完美維護的概率為

(9)

系統故障更換概率PCR:

(10)

其中,n=1,2,…,N.

系統預防性更換概率PPR:

(11)

式(8)～式(11)中:

(12)

(13)

(14)

利用監測得到的系統健康狀態,預測系統剩余使用壽命并判斷是否在該監測點進行備件訂購.根據rk,ωl與訂購閾值Lo對比:rk,ωl>L+Lo,則備件未訂購,此時訂購時刻To=0,則通過緊急訂單滿足系統的備件需求;如果Lork,ωl,則備件已到貨.

備件未訂購概率:

P(rk,ωl>L+Lo)=

(15)

備件已訂購未到概率:

P(Lo

(16)

備件已訂購且到貨的概率:

P(0

(17)

2.2 構建費用-時間率聯合決策模型

根據系統退化狀態和備件狀態,分析并推導各更新事件發生概率和對應的期望成本EC和期望時長ET,并利用更新報酬理論構建費用-時間率聯合決策模型.

事件1:系統執行故障更換且備件未訂購:

(18)

(19)

事件2:系統執行故障更換且備件已訂未到貨:

(20)

rk,ωl>Lo).

(21)

事件3:系統執行故障更換且備件已到貨:

(tm-To-L)Ch)×PCRP(Lo>rk,ωl>0),

(22)

(23)

事件4:系統執行預防性更換且備件未訂購:

PPRP(rk,ωl>(L+Lo)),

(24)

(25)

事件5:系統執行預防性更換且備件已訂購未到貨:

(26)

(27)

事件6:系統執行預防性更換且備件已到貨:

(28)

(29)

式中,To為備件訂購時刻.

采用更新報酬理論建立目標函數:

(30)

3 離散事件仿真算法設計

通過設計離散事件仿真算法求解最優的決策變量,即檢測間隔和預防性維護閾值.結合所提出的聯合策略和構建的優化模型,圖1給出了離散事件仿真算法的流程圖,詳細步驟如下所示:

圖1 離散事件仿真算法

步驟1 設置初始漂移系數μ0,擴散系數σB,初始殘余退化量y0,系統故障更換閾值ωl=40,最小維修閾值ωm=1,預防性維護閾值ωp=1,最大迭代次數imax,預防性更換閾值TIPM,提前期L,備件訂購閾值Lo,以及所有成本參數.

步驟2 設置預防性維護閾值ωp=ωp+0.5,檢測間隔Δt=0.5.

步驟3 設置初始總期望成本TC=0,總期望時間TL=0,迭代次數i=0,檢測間隔Δt=Δt+0.5.

步驟4 設置當前時刻tm=0,系統退化量X(tm)=0,備件訂購時間To=0,不完美維護次數k=0,檢測間隔Δt和預防性維護閾值ωp不變,運行次數i=i+1.

步驟6 將tm時刻的系統退化量X(tm)分別與最小維修閾值ωm、預防性維護閾值ωp和故障更換閾值ωl進行對比.若X(tm)≥ωl,則轉到步驟7;若X(tm)<ωl,則返回步驟5,系統繼續疊加退化量,總期望成本TC=TC+Ci.若ωl>X(tm)≥ωp,則轉到步驟8和步驟9;若X(tm)<ωp,則返回步驟5.若ωp>X(tm)≥ωm,則系統執行最小維修,總期望成本TC=TC+Cm;若X(tm)<ωm,則返回步驟5.

步驟7 如果X(tm)≥ωl,則系統執行故障更換,如圖2所示,總期望成本TC=TC+CCR.若To=0,則備件未訂購,事件1發生,總期望成本TC=TC+Ceo.若To

圖2 離散事件仿真算法的Box A

步驟8 如果ωl>X(tm)≥ωp,則根據式(6)預測系統剩余壽命.若rk,ωl>L+Lo,則訂購時刻To=0;若rk,ωl≤L+Lo,且To=0,則訂購時刻To=tm,總期望成本TC=TC+Co.

步驟9 如果ωl>X(tm)≥ωp,則根據式(6)預測系統剩余壽命.若rk,ωl≥TIPM,則系統執行不完美維護,維修后系統退化量為yk,根據退化模型中的μk=(exp(k)+1)μ0更新漂移系數μk,不完美維護次數k=k+1,總期望成本TC=TC+CIPM,否則轉到步驟10.

步驟10 如果rk,ωl

圖3 離散事件仿真算法的Box B

步驟11 判斷運行次數,若滿足i=imax,則計算EC(ωp,Δt)并記錄,否則返回步驟4.

步驟12 若EC(ωp,Δt)

4 算例分析

設置數值仿真實驗對決策模型進行仿真優化,分析不同參數對目標函數和決策結果的影響,驗證模型有效性.

4.1 參數設置

系統退化參數如表1所示.

表1 退化參數

成本參數如表2所示.

表2 成本參數

4.2 最優解分析

圖4 目標函數與決策變量之間關系

在假定成本參數和退化參數不變的情況下,分別探討預防性維護閾值ωp、預防性更換閾值TIPM、訂購閾值Lo、提前期L變化時,檢測間隔Δt與目標函數之間的關系.

1)ωp變化時Δt與目標函數之間的關系，如圖5所示.預防性維護閾值ωp決定設備何時執行不完美維修,當ωp過小時,提前進行不完美維修,維護頻率提高,維修后部件退化加快,提前進行設備更換,設備總運行時間降低;當ωp過大時,由于不完美維修會造成退化率變大,設備不完美維修次數減少,設備退化量超過故障更換閾值,更換成本增加.這與圖5中結果一致,如果檢測間隔Δt不變時,當ωp=27或ωp=29時，都會增加單位時間內的成本.而對于任一預防性維護閾值而言,目標函數均呈現出隨檢測間隔先降低后增加的趨勢,這與對圖4的分析一致.

圖5 預防性維護閾值對目標函數的影響

2)TIPM變化時Δt與目標函數之間的關系.在每次不完美維護前,比較預測剩余壽命與預防性更換閾值TIPM,以決策是否對設備執行不完美維護活動.從圖6中結果可看出,當TIPM小于13時,預測剩余壽命總是大于TIPM,不完美維修多次執行,導致設備未及時進行更換,造成設備故障更換成本升高;當TIPM大于13時,設備執行幾次不完美維修后便需要進行預防性更換,設備利用率降低.因此,TIPM合理設置可以使設備避免維修過多和故障成本過高.

圖6 預防性更換閾值對目標函數的影響

3)Lo變化時Δt與目標函數之間的關系.由圖7結果可看出,訂購閾值變化時目標函數值隨檢測間隔先降低后增加.其中, 訂購閾值Lo過小則備件訂購提前并且提前到貨,備件庫存成本過高,從而增加期望總成本;反之,設備執行預防性更換或故障更換時,Lo過大導致備件處于未訂購狀態,則需要通過緊急訂單滿足備件需求,故增加期望總成本,導致目標函數增加.

圖7 訂購閾值對目標函數的影響

4)L變化時Δt與目標函數之間的關系.如圖8所示,提前期L過小則備件訂購后提前到貨,備件存儲時間變長,庫存成本過高;提前期L過大,系統執行預防性更換或故障更換時,如備件已訂購但未到貨,此時缺貨成本增加.

圖8 提前期對目標函數的影響

4.3 對比分析

圖9 目標函數與決策變量之間關系

通過對比兩組數值仿真實驗的結果發現,模型1的最優長期期望費用率小于模型2,這是由于模型1策略中不完美維護使系統避免了維修不足的實際問題,延長了系統役齡,使系統成本率最低.

5 結 論

1)本文對單部件系統提出視情維修和備件訂購的聯合策略,其中維修策略采用控制限策略,考慮了不完美維護對系統退化的實際影響,使用Wiener過程對系統退化分階段建模,推導最小維修、不完美維護、預防性更換和故障更換概率.

2)將預測的剩余壽命分別應用于維修決策和備件訂購決策中,在每次不完美維護時刻預測系統剩余使用壽命并分別對比預防性更換閾值和訂購閾值,確定是否執行預防性更換、訂購備件決策,結合維修方式和備件狀態推導各事件發生概率,構建成本率目標函數.

3)通過設計離散事件仿真算法優化決策變量Δt和ωp,并對不同參數進行靈敏度分析;同時,與未考慮剩余壽命預測的聯合決策模型進行比較,結果表明所提出的聯合策略能夠有效降低系統的成本.