既有結構時變可靠度預測模型及計算方法研究

陳夢成，張明陽，方葦，楊超，李騏，溫清清，談勇，彭愛紅，游勇利

（1. 華東交通大學土木建筑學院，江西 南昌 330013；2. 華東交通大學省部共建軌道基礎設施性能監測和保障國家重點實驗室，江西 南昌 330013；3. 江西交通職業技術學院建筑工程學院，江西 南昌 330013；4. 江西省交通運輸廳高速公路管理處，江西 南昌330036；5. 江西省交通工程集團建設有限公司，江西 南昌 330006；6. 江西省公路科研設計院，江西 南昌 330002;7. 江西省嘉和工程咨詢監理有限公司，江西 南昌 330009）

既有鋼筋混凝土橋梁的時變可靠度評估主要可歸結為三個方面：抗力退化時變模型建立、荷載時變模型建立以及時變可靠度計算方法。 本文首先闡述既有鋼筋混凝土橋梁結構抗力退化隨機過程Gamma 模型、荷載隨機過程Poisson 模型，然后構建基于雙隨機過程的極限狀態函數，并建立蒙特卡洛抽樣時變可靠度計算方法，最后，以某現服役鋼筋混凝土梁式橋為例，對梁式橋服役期為20 a 與服役期為50 a 時的時變可靠性進行了分析。

1 抗力退化隨機模型

橋梁結構在服役期間， 因受到可變荷載和振動、極端天氣條件、除冰鹽和凍融循環以及海洋環境中空氣中氯化物等因素影響， 將會導致其結構性能退化。 近些年來，國內外對這方面進行了很多的相關研究[1-12]，提出了眾多的橋梁結構抗力退化模型。

本文采用基于Gamma 過程的抗力隨機退化模型描述橋梁結構的抗力退化

式中：R0為初始時刻抗力；R（tn）為tn時刻抗力；G（tn）為抗力退化系數；Gi為服從Gamma 分布的概率密度函數，隨機變量是ΔX（t），它描述的是：抗力退化為獨立增量隨機過程；Δai為形狀參數，b 為尺度參數；Γ（·）表示Gamma 函數；k 是退化參數，α 值根據主要的退化機制確定，如腐蝕（α=1）、硫酸鹽侵蝕（α=2）和擴散控制時效（α=0.5）。

根據式（1）～式（5）可以估算橋梁結構任一時刻的抗力值。

2 荷載隨機模型

荷載是影響橋梁結構可靠性以及壽命的另一個重要因素。 在橋梁荷載中，有一類荷載，大小隨時間變化很小，或者不變化，這就是恒載，譬如說橋梁自重，其大小是隨機的，通?？紤]為一個服從正態狀態分布的隨機變量。 另外，還有一類荷載是隨機發生的，其大小也是隨機的，作用在橋梁上的時間非常短，這就是活載，容易引起橋梁結構發生損傷。 如果荷載效應在其發生的間隔期間變化很小或很慢， 為便于進行可靠性分析，可以認為它的大小是一個不變的量，即認為其對結構的影響基本上是靜態的。 與橋梁服役壽命時間相比， 重要荷載在橋梁上出現的的持續時間非常短，而且出現的時間間隔可以認為服從指數分布。 如圖1 所示， 結構荷載效應隨機過程模擬為一系列隨機出現的脈沖，脈沖的大小為Sj，可以用濾過Poisson過程來描述[13]。 fR（r）為抗力的概率密度函數，fS（s）為荷載的概率密度函數；μR（t） 為抗力的均值變化曲線，μS（t）為荷載的均值變化曲線；T1為生命周期。

圖1 荷載隨機過程模型[17]Fig.1 Load stochastic process model[17]

根據濾過泊松過程模型， 在任一時長τ 的區間（0，τ）內，發生車輛荷載次數N（τ）的概率為

式中：λ 為單位時間內荷載的平均發生次數。 假設在時長τ 內發生n 次最不利荷載效應序列Si，i=1，…，n，它們相互獨立且服從同一分布。 根據相關研究[7-9]，我們假定Sj服從極值Ⅰ型分布，則其概率分布函數為

式中：γ 為歐拉常數，其值為0.577 215。

3 基于雙隨機過程的時變可靠度計算方法

橋梁結構的安全性可以用其可靠概率來衡量

式中：FS（r）是荷載效應的概率分布函數；L（T）為壽命T 內的可靠概率；P（·）為概率。

如前文所述， 結構荷載效應和抗力均隨時間發生變化，這使得結構的可靠度隨時間也發生變化。 為了研究結構的時變可靠度，我們可假設壽命基準期TL內可以分為L 個時間長度為τ 的相等的時間段，時間段序列為（0，t1），（t1，t2），…，（tL-1，tL）。 假定結構失效模式為串聯模式，則其可靠概率可以表示為

3.1 結構時段有效概率

根據Poisson 過程模型，確定在任一時段i 區間（ti-1，ti）內發生n 次最不利荷載效應Sij（j=1，…，n），并記下相應的發生時刻為tij， 則該時段內結構可靠概率PSi為

若考慮最n 個不利荷載效應Sij在時段長度τ（tL-1，tL）內發生的時刻tij是一個隨機變量，而且服從同一分布和相互獨立， 概率密度函數記為fT（t）。一般假定Sij在時段長τ（tL-1，tL）內發生的時刻tij服從均勻分布，則式（11）改寫為

3.2 時段內結構失效概率

根據概率的性質， 我們可以得到結構在時段（tL-1，tL）內的失效概率Pfi為

3.3 壽命基準期內總失效概率

根據各時段失效概率Pfi，（i=1，…，L）和式（10），我們即可得到壽命基準期TL內橋梁結構的總失效概率Pf（TL）為

若假定每個時段τ（ti-1，ti）內結構荷載效應和抗力均相互獨立, 這里筆者作出獨立性假設的依據是：一方面,結構在各時點的抗力之間是相關的，但其相關性很難分析，將在另文闡述這方面的研究;另一方面，采用獨立的抗力與荷載模型， 可得到更加偏于保守，安全的結果[14]。 根據獨立性假設，則式（19）可變形為

3.4 計算周期內可靠指標

假定在時段τ（ti-1，ti）內，時變可靠度指標用β（ti）來描述，則根據可靠度指標定義Pf=Φ（-β）有

應該指出的是，這里的時變可靠性指標β（ti）僅僅是借用了基于設計基準期可靠性指標的定義，與其實際含義是不同的[15]。

4 蒙特卡洛抽樣法（MCS）

一般地，式（15）采用直接積分的方法很難被計算出來，隨著計算機計算機技術的發展，蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation，MCS）方法越來越多地用于計算此類問題。 MCS 的原理是：對工程結構的抗力與荷載效應進行多次抽樣，這樣得到多個結構狀態，然后將Z<0 的狀態進行統計，即計算失效的次數占抽樣總次數的比值為結構的失效概率。 本文采用MCS 方法計算基于雙隨機過程的時變可靠度計算。 MCS 方法的計算步驟為：

1） 隨機抗力初始值R0的樣本；

2） 壽命基準期TL內可以分為L 個時間長度為τ 的相等的時間段，時間段序列為（0，t1），（t1，t2），…，（tL-1，tL）；

3） 對每一段時間序列（ti-1，ti）生成一個均值為λτ 的的泊松數n，然后生成n 個在時間序列（ti-1，ti）均勻，獨立分布的時刻tj，j=1，…，n；

4） 對應tj，j=1，…，n 時刻，隨機生成荷載效應樣本值Sij及抗力樣本值R0G（tij）；

5） 若對抽取的Sij與R0G（tij）均滿足R0G（tij）≥Sij，則說明結構安全，否則結構失效；

本文采用的改進的時變可靠度Monte Carlo 計算方法與傳統的時變可靠度計算方法相比， 增加了第2 步與第3 步， 這樣做的目的是將計算期的每個階段隨機劃分為N 段， 然后計算每一段的失效概率，進而計算整個計算周期內的失效概率。

5 算例分析

算例1：本文算例來自于文獻[16]，工程概況：某現服役鋼筋混凝土梁式橋，其橫斷面如圖7 所示。主梁為T 型截面。梁混凝土等級為C30，鋼筋等級為二級鋼（HRB335），跨徑為15.5 m。

圖2 某橋梁斷面[16]（單位：cm）Fig.2 Cross section of an illustrative bridge[16]（Unit：cm）

依據《公路橋梁承載能力檢測評定規程》，考慮橋梁結構隨時間退化，可評估出上述橋梁結構當前實際承載能力（抗力），R0為2 530 kN·m?？紤]到R0的不確定性，根據Ellingwood[17]的研究，抗力R0服從對數正態分布，其變異系數為0.15。 本算例跨中截面最大彎矩（荷載效應）的均值和標準差分別為1 020 kN·m 和240 kN·m。

為驗證本方法的有效性，采用與文獻[16]一樣的抗力退化模型。 即Enright[18]的混凝土抗力退化的確定性模型

式 中：k1，k2為 承 載 力 退 化 速 度；t 為 退 化 時 間，a；k1，k2取值表示不同退化速率模型，如下所示

式中：T 為起始退化時間，a。慢速退化模型與中速退化模型為線性回歸模型， 快速退化模型為非線性模型。 當退化T=20 a 時，基于慢速、中速、快速三種退化情形分別計算該橋梁時變可靠度， 計算得到的失效概率、 可靠度β 與時間的關系如圖3所示。 從圖3 中可見，改進的MC 方法與文獻[18]的MC 方法的計算結果吻合很好。 以慢速退化退化機制下的T=20 a 時的可靠度指標為例，本文方法：β（20）=2.093 7，傳統方法：β（20）=2.118 7，兩者相差1.18%，由此證明了本方法的準確性。并當改進的MC 方法與普通的MC 方法抽取次數均為ns=106時，3 種情況下，2 種方法所用時間如表1所示。

圖3 兩種方法的各種退化模型失效概率Fig.3 Failure probability of various degradation models of the two methods

圖4 兩種方法的各種退化模型可靠度Fig.4 Reliability of various degradation models of the two methods

表1 兩種方法的計算時間Tab.1 calculation time of two methods

從表1 可以看出一般方法所用時間為本文方法所用時間近乎4 倍，這體現了本方法的高效性。

算例2：采用基于Gamma 過程的抗力隨機退化模型描述橋梁結構的抗力退化，如式（1）～式（5）所示，其中考慮三種抗力退化機制：腐蝕（α=1）、硫酸鹽侵蝕（α=2）和擴散控制時效（α=0.5）。 本算例采用服役期20 a后抗力劣化系數均值與上述快速退化機制下得一致，即為G（20）=0.82。 則取對于腐蝕機制引起的線性劣化（α=1），參數b=0.147 和k=0.061 2。 對于平方根惡化（α=0.5），b=0.147，k=0.274，對于拋物線退化（α=2），b=0.147，k=0.003 06；對于以上3 種退化機制，分別計算該橋梁的失效概率、可靠度β 與時間的關系，并與傳統的時變可靠度計算方法進行對比，如圖5，圖6 所示。

從圖5，圖6 中可見，改進的時變可靠度計算方法與傳統的計算方法的結果吻合很好。 以拋物線退化機制下的T=20 a 時的可靠度指標為例， 本文方法：β（20）＝0.952 2，傳統方法：β（20）＝0.935 9，兩者相差1.7%，由此證明了本方法的準確性。 并當本文方法與傳統的時變可靠度計算方法抽取次數均為ns=106時，3 種情況下，2 種方法所用時間如表2 所示。

圖5 兩種方法的各種退化模型失效概率Fig.5 Failure probability of various degradation models of the two methods

圖6 兩種方法的各種退化模型可靠度Fig.6 Reliability of various degradation models of the two methods

表2 2 種方法的計算時間Tab.2 calculation time of two methods

從表2 可以看出普通的時變可靠度方法所用時間為本文方法所用時間近乎4 倍甚至更多，這體現了本方法的高效性。

另外，我們可以對該橋梁的失效概率與可靠指標做出預測。 以腐蝕機制下的橋梁抗力退化模型為例，預測得到橋梁在后30 a 的失效概率以及可靠指標，如圖7，圖8 所示。 并將T=30，40，50 a 時的預測失效概率與可靠指標列于表3 中。

表3 預測腐蝕機制下的橋梁時變可靠度Tab.3 Prediction of time-varying reliability of bridges under corrosion mechanism

圖7 腐蝕機制下的橋梁預測失效概率Fig.7 predicted failure probability of bridge under corrosion mechanism

圖8 腐蝕機制下的橋梁預測可靠指標Fig.8 predicted reliability indexof bridge under corrosion mechanism

從圖7，圖8，表3 中可以看出，可以在既有結構的基礎上，建立抗力的隨機過程模型，并利用該方法對橋梁結構的失效概率與可靠指標進行預測。

6 結論

本文的一個主要工作是構建了一個適用于實際工程，考慮抗力-荷載雙隨機過程的理論模型，并基于抗力和荷載效應相互獨立的基本假定，使用條件概率公式， 嚴格得到了結構失效概率計算表達式。 進而提出了基于抗力-荷載雙隨機過程模型的改進的時變可靠度計算方法。 該方法將計算期的每個階段隨機劃分為N 段，然后計算每一段的失效概率，進而計算整個計算周期內的失效概率。 使用該方法計算了某現服役鋼筋混凝土梁式橋20 a 在2種不同抗力退化模型下以及預測腐蝕機制退化模型的后30 a 時的失效概率可靠度。 通過計算與分析，得到以下結論。

1） 本方法可計算荷載與抗力均為隨機過程的時變可靠度， 算例表明了本方法的準確性與高效性。 利用該方法給出的可靠度計算結果與普通方法給出的“精確”相比誤差不超過1%，但計算時間僅為普通方法的1/5～1/3，且當橋梁使用期限越長時，該方法的高效性越顯著。

2） 本文將荷載效應與各個時間點上的抗力退化均描述為是相互獨立的。 但事實上，抗力退化過程本身，荷載之間，荷載與抗力之間是相關的。 如何考慮它們之間的相關性， 擬作為下一步研究的重點。