道路工程數值分析中無限元邊界的應用

位可可，林 棟，衛 濤，涂慧慧，王笑風*

(1.交通運輸行業公路建設與養護技術、材料及裝備研發中心，河南 鄭州 450000；2.河南省交通規劃設計研究院股份有限公司，河南 鄭州 450000；3.河南高速公路發展有限責任公司，河南 鄭州 450052；4.河南高速公路發展有限責任公司信陽分公司，河南 信陽 464000)

道路工程動力響應分析中，大多數路面結構模型邊界采用的是固定邊界，即將無限域的路基路面人為截斷并固定，動荷載產生的應力波傳到固定邊界時，將產生反射效應，導致路面結構模擬區域的計算結果具有一定的誤差。因此，采用有限元數值模擬的方法研究道路工程動力響應問題時，如何用有限的道路結構模型模擬無限域路基路面，從而減小模型邊界上應力波的反射就顯得非常重要。

為了克服路面結構固定邊界的缺陷，解決無限域模擬的問題，目前已發展了多種處理方法，比如設置遠置邊界[1]、黏性邊界[2]、黏彈性邊界[3]、一致粘彈性邊界[4-5]、無限元邊界[6-8]等；遠置邊界需設置足夠遠的邊界，致使計算模型過大、計算效率低下；粘彈性邊界、黏性邊界及一致粘彈性邊界的設置需要復雜的編程過程，且計算量較大，致使模擬結果的可信度降低；而無限元邊界可以和有限元模型完美匹配，在模擬和近似模擬無限域問題方面表現出明顯的優越性[9-12]。

張林成等[13]將有限元模型和無限元邊界結合，實現了三維可控電磁法問題的快速求解；張天琦等[14]采用有限元-無限元方法模擬箱梁近場低頻結構噪聲，解決單獨采用有限元法時聲場邊界反射的影響，避免了采用有限元-邊界元方法時多軟件交叉使用的不便；王永剛等[15]建立無限元邊界的三維動力有限元模型，研究了移動荷載作用下彈塑性半無限空間的動應力分布；張龑等[16]通過引入“有限元-無限元”理論，建立了包含泄水建筑物、地基、周邊場地土體以及無限半空間的有限元-無限元耦合模型，研究了多振源聯合激勵模擬方法，分析了高壩泄洪誘發場地振動的傳播問題；ASHEGHABADI等[17]將無限元邊界條件應用于地震作用下三維無界區域的物理和工程問題，結果表明，用無限單元邊界來評價模型的抗震性能，可以很容易與有限元結合起來；肖曉等[18]提出一種新的2.5D直流電阻率有限元-無限元耦合數值模擬方法，研究結果表明，有限元-無限元耦合方法比傳統有限元法能夠在邊界測點處得到更高的計算精度，在較小的計算范圍內得到更優的計算結果。

上述成果可證明無限元邊界已經廣泛運用到有限元數值模擬各個領域，但在道路工程中有限元數值模擬對無限元邊界的運用卻很鮮見。本研究基于無限元邊界和有限元模型相結合的方法，利用ABAQUS有限元軟件建立移動荷載作用下路面動力響應的數值模型，分析無限元邊界對反射波的吸收效果，為將無限元邊界運用到道路工程有限元數值模擬中提供理論支撐。

1 基本原理

1.1 動力無限元理論基礎

ABAQUS動力分析中無限元理論參考了Lysmer和Kuhlemeyer的研究成果。在涉及到無窮遠邊界的動力分析中，人工邊界最大問題就是應力波會在邊界界面上發生反射，從而能量傳回分析網格，而實際上應力波會向無窮遠處傳播。無限元的理想就是將遠場無限域劃分為許多由人工邊界伸展至無限遠的單元，下面以一維波的傳導進行說明。

(1)

式中：ρ為密度；E為彈性模量；x為軸向坐標。

上式的解答為

u=f(x±ct)

(2)

當波傳導至有限元與無限元的分界截面上時，波的形式為u=f1(x-ct)，反射波的形式u=f2(x+ct)?？芍吷系膽?/p>

(3)

在邊界上設置一個阻尼邊界條件

(4)

為了抑制應力波的反射，則有

(5)

d=ρc

(6)

理論上來看，邊界阻尼參數選擇合適，就可以模擬無應力波反射的情況。之后，Lysmer和Kuhlemeyer將其推廣到三維空間中，得到

(7)

(8)

ABAQUS在無限元中考慮了以上阻尼的設置。

1.2 動力施加基本原理

在ABAQUS軟件中運用無限元邊界進行動力分析時，動力產生的應力波傳到無限元與有限元交界處時無明顯反射效應，應力波能量被無限域吸收；其中，動力荷載采用移動荷載模擬，即在道路模型上設置荷載移動帶，并利用Fortran語言編寫相關代碼，實現移動荷載的加載，荷載移動帶如圖1所示。在荷載移動的過程中，當每一個荷載步結束時，荷載整體就會向行駛方向前移動一個矩形區域，即荷載作用面積逐漸由剛開始的1、2、3移動帶到2、3、4區域，通過這種循環的方式逐步向前移動，其中荷載的移動速度可以通過每個分析步的時間來進行控制。

圖1 荷載移動帶示意圖Fig.1 Diagram of load movement zone

2 無限元邊界的數值模擬

2.1 模型的建立

利用ABAQUS有限元軟件建立三維瀝青路面模型，路面結構是由4種結構材料組成，分別為：面層(瀝青混凝土)、基層(水泥穩定碎石)、底基層(水泥土)、壓實路基，黃色部分為無限元區域，網格類型為C3D8，綠色部分為有限元部分，網格類型為C3D8R，并在瀝青面層施加移動荷載，如圖2所示；在道路表面選取4點，即無限元區域與有限元交界處A點、模型邊界處B點及荷載施加區域C、D點，如圖3所示。

圖2 瀝青路面模型Fig.2 The asphalt pavement model

圖3 選點位置Fig.3 The location of the points

路面結構層均采用線彈性本構模型，其各層材料參數取值如表1所示。

表1 路結構材料參數Tab.1 The structural parameters of pavement

2.2 模型的計算結果

為方便、直觀地區分施加無限元邊界和施加固定邊界的模型，現將兩者計算后的模型外觀進行對比，如圖4～5所示。結果發現，施加無限元邊界的道路模型四周及底部表面比較光滑，無封閉網格。

圖4 施加無限元邊界模型Fig.4 The infinite element boundary Model

圖5 施加固定邊界模型Fig.5 The fixed boundary model

1)模型邊緣計算結果

提取A點、B點的位移、應力變化曲線以及路表位移云圖，將無限元邊界和固定邊界計算結果進行對比，如圖6～11所示。

從圖6～7可以看出：當模型邊界為固定邊界時，A點的位移及受力呈現出波動現象，說明動荷載產生的應力波遇到固定邊界發生了反射效應；模型邊界為無限元邊界時，A的位移隨荷載時間的增加而不斷地增大，無波動現象，這是因為荷載在移動過程中，不斷產生的應力波相互疊加，且不受反射波的影響，或者是受反射波的影響，但反射波波幅較小，不足于影響A點的波動趨勢；另外，A點受力達到峰值時會出現小范圍的波動現象(圖7紅色箭頭所指)，而后A點受力隨時間的變化越來越小，這說明應力波遇到無限元區域和有限元區域交界處會發生反射現象，但反射力度不大。

圖8～9表明：當模型設置為固定邊界時，B點處于固定邊界上，應力波傳到固定邊界時，應力波會發生發射，致使A、B點位移及受力出現波動現象；當模型邊界為無限元邊界時，B點處于無限元區域的最外圍，即相當于路面結構無窮遠處，其位移和受力始終為零，這是因為無限元區域會不斷地吸收動荷載產生的應力波，且無限元區域與有限元區域交界處有小幅度的反射波，致使動荷載產生的應力波無法傳播到B點，這也說明了在道路工程中施加無限元邊界可以有效地減小應力波的反射，增加道路模型計算結果的精確度。

圖6 A點位移變化曲線Fig.6 Curve of the displacement at point A

圖7 A點Mises應力變化曲線Fig.7 Curve of the Mises stress at the point A

圖8 B點位移變化曲線Fig.8 Curve of the displacement at the point B

圖9 B點Mises應力變化曲線Fig.9 Curve of the Mises stress at the B piont

(a)5.6 ms時刻 (b)8.3 ms時刻 (c)11 ms時刻圖10 無限元邊界位移云圖Fig.10 The nephogram of infinite element boundary displacement

(a)5.6 ms時刻 (b)8.3 ms時刻 (c)11 ms時刻圖11 固定邊界位移云圖Fig.11 The nephogram of fixed boundary displacement

圖10～11表明，當路面模型施加無限元時，移動荷載作用下路面產生的應力波傳播到無限元區域與有限元區域交界時，應力波不能繼續向模型邊界傳播；而當路面模型施加固定邊界時，應力波可以傳播到模型邊界，再次印證了無限元有效地吸收了動荷載產生的應力波。

2)荷載施加區域計算結果

現提取路面C和D點位置的位移變化曲線，如圖12～13所示。

圖12 C點位移變化曲線圖Fig.12 The displacement curve at point C

圖13 D點位移變化曲線Fig.13 The displacement curve at point D

在實際狀況下，移動荷載在逐漸接近C和D點時，C和D點的位移量會增大；當移動荷載移動到C和D點時，該兩點的位移量達到最大值；隨后移動荷載遠離C、D兩點位置，C和D點的位移量會慢慢地減小。該過程的變化趨勢與圖12～13中施加無限元邊界模型時的位移變化趨勢基本吻合。然而，路面模型邊界為固定邊界時，移動荷載在接近和遠離C和D點的過程中，其位移量都會出現波動現象(如圖12～13箭頭所示區域)，這是因為移動荷載產生的應力波遇到固定邊界會發生反射，致使路面結構位移出現波動，與實際狀況嚴重不符。因此，在道路工程數值模擬領域中，對路面結構四周及向下延伸的路基施加無限元邊界十分必要。

綜上所述，當應力波傳播到無限元區域和有限元區域的交界處時，應力波大部分的能量被吸收掉，小部分能量被反射，減小了反射波對路面結構動力響應的影響，使路面結構的受力狀況更加接近真實。

3 結論

在道路工程動力數值模擬的基礎上，引用了無限元邊界，提出了利用無限元模擬道路工程無限土體及路面結構的方法，并驗證了以下內容：

1)動荷載產生的應力波遇到固定邊界時會發生反射，嚴重影響路面結構的受力狀況；

2)無限元區域會吸收動荷載產生的應力波，致使無限元區域遠端位移及受力始終為零；

3)動荷載產生的應力波傳到無限元區域與有限元區域交界處時會發生反射，但大部分會被吸收掉；

4)道路工程在動力數值模擬中施加無限元邊界，路面結構的受力狀況更接近于真實狀況。

文中雖然驗證了無限元可以吸收動荷載產生的應力波，但是沒有具體地分析無限元對應力波的吸收率，建議后續研究無限元的吸收率以及考慮改進無限元的方法，增加無限元對應力波的吸收率。