Rosenau-Burgers方程的一種高精度有限差分格式

羅詩棟,凌永輝

（閩南師范大學數學與統計學院,福建漳州 363000）

在動力學系統中,經典的Korteweg-de Vries(KdV)方程不能很好的描述波與波,波與壁碰撞的物理相互作用等問題,為了克服這些缺點,Rosenau[1]在1988年提出如下方程

式(1)之后被稱為Rosenau方程.Park[2]證明了方程(1)解的存在唯一性,但其解析解仍難以求出.因此,大量的學者對該方程的數值求解方法進行研究.Chung 等[3-4]用有限元Galerkin 方法近似求解Rosenau 方程,Omrani 等[5-6]對Rosenau 方程分別建立了二階精度和四階精度保守恒的有限差分格式.若進一步考慮動力系統在空間中的損耗,如孔徑傳播現象和水波等問題,則需要添加一個粘性項-uxx,從而得到Rosenau-Βurgers 方程,該方程與Βurgers 方程有相似的耗散性[7].對于Rosenau-Βurgers 方程已有許多有效的有限差分格式被提出,如Hu 等[8]提出了一種Crank-Nicolson 有限差分格式,并對所得的非線性方程組應用Newton 法進行求解.之后為了避免Crank-Nicolson 格式所帶來的非線性方程組,Ma 等[9]和阿布都熱西提等[10]分別提出了不同的線性化Crank-Nicolson 格式,能大大地減少計算量和計算時間.Janwised[11]等提出一個三層線性的隱式差分格式.高啟存等[12]針對非齊次Rosenau-Βurgers 方程建立了包括Crank-Nicolson 格式及其修正格式的三種數值算法并對三種格式進行數值比較.除此之外,文獻[13-15]討論廣義Rosenau-Βurgers方程的數值方法.

考慮如下Rosenau-Βurgers方程的周期初值問題

其中:u0(x)是以L為周期的函數,且0 ＜T＜∞,為了求解上述初值問題,將求解空間限制在Ω=[0,L].

在Ω上定義如下實值函數的周期Sobolev空間[10]，即

其中:u(j)是第j階偏導數；k為正常數,當k=0時,是定義在L2(Ω)=H0(Ω)空間上的范數.

引理1[14]設則問題(2～4)的解滿足如下質量守恒性和能量耗散性

針對Rosenau-Βurgers方程的周期初值問題(2～4),首先構造了一種三層線性隱式有限差分格式,并證明該格式的質量守恒和能量耗散性;然后證明了該格式數值解的存在唯一性及有界性.此外,證明了該格式數值解的收斂性,并得到其精度達到Ο(τ2+h4);最后通過一些數值算例驗證理論的可靠性.

1 差分格式的構造

對求解區間[0,L]×[0,T]進行網格分割,記空間步長h=L/J,時間步長τ=T/N,其中J和N為正整數,網格點空間節點為xj=jh,j=0,1,…,J,時間節點為tn=nτ,n=0,1,…,N,則網格節點.此外,記,并對任意的網格函數U,,定義如下符號

對問題(2～4)建立差分格式為

其中

其中:A和B均為非負數,則Gn≤AeBnk,n=0,1,2,….

2 差分格式的質量守恒和能量耗散性質

本節將證明差分格式(7～9)的質量守恒和能量耗散性質,由如下定理給出.

定理1差分格式(7～9)滿足如下質量守恒和能量耗散性質,即

證明將差分格式(7)兩端同時乘h后對j從1到J求和得

由引理2可得

由Qn的定義,將式(15)對n遞推得到式(11).

即

由En的定義,將式(17)對n進行遞推得到式(12).

3 差分格式解存在的唯一性和有界性

本節將證明差分格式(7～9)解的唯一性和有界性,分別由定理2和定理3給出.

定理2差分格式(7～9)的解Un是唯一存在的.

證明 U0由初始條件式(8)確定,用兩層格式(10)計算U1,則U0和U1是唯一確定的.由數學歸納法,假設U0,U1,…,Un是唯一可解的,考慮式(7)中關于Un+1的齊次線性方程組

將式(18)與Un+1做內積,利用引理2-4有

4 差分格式解的收斂性

本節將證明差分格式(7～9)的數值解Un收斂到Rosenau-Βurgers方程初值問題(2～4)的精確解.

5 數值實驗

本節考慮如下非齊次Rosenau-Βurgers方程周期性邊界的初值問題

其中

該初值問題的精確解為u(x,t)=exp(-t)sin(2πx).

其中||en(τ,h)||∞是時間步長為τ,空間步長為h的誤差.

取空間步長和時間步長分別為h=0.05,τ=0.002 5,圖1畫出時刻為t=0.1,t=0.5,t=1.0的數值解(左)和數值解的三維圖像(右).表1分別計算差分格式在不同時刻的離散質量數值和能量數值,驗證了質量守恒性和能量耗散性.表2固定h=0.01,計算不同時間步長的誤差和時間收斂階,說明差分格式在時間上二階精度.表3固定τ=h2,計算不同時空步長的誤差和空間收斂階,表明差分格式在空間上是四階精度.

表1 不同時刻的離散質量數值和離散能量數值Tab.1 Discrete mass values and energy values at various times.

表2 h=0.01的誤差和時間收斂階Tab.2 Errors and temporal convergence orders when h=0.01.

表3 τ=h2的誤差和空間收斂階Tab.3 Errors and spatial convergence orders when τ=h2.

圖1 不同時刻的數值解(左)和數值解的三維圖像(右)Fig.1 Numerical solutions at various times(left)and the three dimensional image of numerical solutions(right).

由以上數值結果,驗證了提出的差分格式(7～9)是有效的.