復雜系統結構建模分析

王鵬程，黃 祺，肖人彬

(1.華中科技大學 人工智能與自動化學院，湖北 武漢 430074；2.云驤網絡科技(上海)有限公司，上海 200439)

結構模型(structural model)描述的是系統的結構性態，它是從系統的概念模型過渡到定量分析的中介[1]；而建立結構模型的過程就是結構建模(structural modeling)?，F有結構建模方法較多，如：解釋結構建模(Interpretive Structural Modeling，ISM)[1]、決策實驗室分析法(Decision Making Trial and Evaluation Laboratory，DEMATEL)[2]、系統動力學(System Dynamics，SD)[3]、交叉影響分析(Cross Impact Analysis，CIA)[4]等。其中，系統動力學由Forrester于20世紀50年代始創于美國[5]，它以定性分析為先導，以定量分析為支持，特別適宜分析解決社會、經濟、生態等復雜系統問題，有“政策實驗室”之稱[6]，在國際上影響很大；而由Warfield[7-10]提出并發展的解釋結構建模(ISM)方法適合處理的問題領域眾多，覆蓋面廣，便于操作，應用廣泛[11-12]。本文討論的結構建模就是指ISM，它包括級別劃分、區域劃分、強連接子集劃分等幾個主要環節[1，13]。

復雜系統的基本特征是數量巨大、種類繁多、異質性突出、多層次結構[14-15]?，F有的ISM方法采用基于遞歸的逐級迭代方式進行劃分操作，是一種拓撲分析方法，對復雜系統進行結構建模時需要分層處理，不僅效率低下，還存在某些隱患(詳見第2節論述)。為此本文致力于闡明適于復雜系統結構建模的代數分析途徑的優越性，圍繞復雜系統結構建模的幾個重要問題剖析概念本質，進行原理性分析。

1 結構建模概要

系統的結構模型描述的是系統中各元素之間的關系，如果不考慮關系強弱，則只需要說明是否存在關系。而描述這種元素之間是否存在關系的簡便方式就是利用圖形。比如圖1表示的是數控立車的部分模塊之間的關系，從中可看到，立柱對懸臂裝置有影響；立柱對橫梁升降箱有影響，橫梁升降箱又對橫梁有影響。前者是直接影響，后者是通過另一模塊的間接影響，這些都可以從該圖中一目了然。

不僅工程系統可以采用這種圖形表示，一些帶有社會因素的系統也是如此。圖2表示的是一個地區發電供電與工廠、人口、環境之間的關系[1]。從該圖中可以看出，工廠數對用電量有影響。工廠數對職工數也有影響，職工數影響到人口數，又影響到用電量。前者是直接影響，后者是通過另兩個因素的間接影響。

圖1 數控立車模塊間關系 圖2 地區發電與相關因素間關系

像圖1和圖2這樣的圖形表達的是人們對客觀世界中各種系統的概念認知，稱為系統的概念模型(conceptual model)，其中表示元素的圓圈稱為節點，表示元素間影響(從抽象意義上講就是關系)的線段稱為邊，而影響作用的方向用箭頭表示，所以概念模型圖是一種有向圖。雖然人們難以測辨出復雜系統中元素間的關系哪些是直接關系，哪些是間接關系，但對兩兩元素之間是否存在關系不難給出，因此系統的概念模型比較容易得到，它也是系統結構建模的起點。

除了用有向圖表示系統結構外，還可以使用與之對應的同構矩陣來表征系統的結構，其中與概念模型圖相對應的同構矩陣稱為鄰接矩陣(adjacency matrix)。例如對于圖1而言，其對應的鄰接矩陣是：

工作臺 立柱 橫梁 橫梁升降箱 懸臂裝置

這是一個5×5階的方陣，它的每一行和每一列都對應圖1中的一個節點(代表機床的一個模塊)。如果某一模塊對另一模塊有影響作用，例如工作臺對立柱有影響，對應的矩陣元素為1；如果沒有影響(例如工作臺對橫梁)，則對應的元素為0。所以鄰接矩陣是一個布爾矩陣，即其中的元素只能為0或1。

一般情況下，設系統S中有n個元素，記為

S={x1，x2，…，xn}，

(1)

則該系統的鄰接矩陣A=(aij)n×n是一個布爾矩陣。aij=1表示xi對xj有影響，aij=0表示xi對xj無影響。其幾何意義是：如果在系統概念模型圖中，有從節點xi到xj的有向邊，則aij取值為1，否則為0。

由鄰接矩陣通過下式可求得系統的可達矩陣Re

Re=In∪A∪A2…∪An，

(2)

式中，In為n階單位矩陣，Re=(rij)n×n中的每一個元素rij表明xi能否到達xj。

通過矩陣運算可知：

In∪A∪A2…∪An=(A∪In)n.

(3)

因此，式(2)可化為

Re=(A∪In)n.

(4)

在可達矩陣的基礎上，可以進一步建立系統的結構模型，因此獲得可達矩陣是結構建模的關鍵。為了便于后續討論，有必要對結構建模中的有關概念給予嚴格的定義。

設X={x1，x2，…，xn}，Y={y1，y2，…，yn}均為有限論域，則X×Y上由謂詞確定的二元關系R可用一個n×m階的布爾矩陣表示。下面將相互對應的二元關系和布爾矩陣視為同一，均記為R。特別地，若X=Y，則稱R為X上的二元關系，相應的布爾矩陣是一個方陣。設有限論域X={x1，x2，…，xn}，所表征的系統為S，因為S是用X來表征的，故從組成上可將系統記為S={x1，x2，…，xn}，其中xi(i=1，2，…，n)稱為S的元素。若S′?S，則S′稱為S的子系統。

有限論域X與由謂詞確定的X上的二元關系R之總和，稱為X所表征系統的結構模型。結構模型建立的起點是概念模型，該模型可用一個有向圖表示，與此有向圖同構的矩陣稱為鄰接矩陣。

定義1設R是X上的二元關系，對?x∈X，若xRx，則稱R是自反的；對?x∈X，若〈x，x〉?R，則稱R是反自反的。

定義2設R是X上的二元關系，對?x1，x2，x3∈X，若x1Rx2∧x2Rx3?x1Rx3，則稱R是傳遞的。

定義4設系統S的鄰接矩陣為A，In為n階單位矩陣，則A∪In的傳遞閉包稱為S的可達矩陣，記為Re。

Re=t(A∪In)=(A∪In)n

(5)

定義5設Re=(rij)n×n為系統S的可達矩陣，若rij=1，則稱xi可達xj，記為xi→xj。

定義6設xi，xj∈S(i≠j)，若xi→xj且xj→xi，則稱元素xi與xj有強連接關系。

定義7設S′?S，若?xi，xj∈S(i≠j)，xi與xj都有強連接關系，則稱子系統S′為強連接的。

定義8設S′?S，若S′是強連接的，且?xi∈S′，xj∈S-S′，xi與xj都無強連接關系，則稱S′為系統S的強連接子集。

定義9設S的縮減系統為S′，則S′的可達矩陣稱為S的縮減矩陣，記為R′e。

定義11設m階布爾矩陣R′e為系統S的縮減矩陣，則S′k=R′e1/m-Im稱為S的縮減骨架矩陣。對S′k進行縮減逆變換后得到的矩陣Sk稱為S的骨架矩陣。

上述定義4～11主要根據文獻[16]并參考文獻[1，13]整理得到。

2 從拓撲分析到代數分析

文獻[1，10]對現有的ISM方法作了介紹，從中可以看出，現有方法主要采用遞歸進行的逐層迭代方式進行劃分操作，進而建立系統的結構模型。它類似于運籌學中常常用到的圖上作業分析，是一種拓撲分析方法。當問題規模較小時，這種方法比較直觀，易于理解，因而也就行之有效。

但對復雜系統而言，其內元素往往很多，并且元素間的關系錯綜交織，這樣形成的問題規模就很大。如果沿用現有方法，一方面在計算復雜性上存在“組合爆炸”，從而導致問題求解的效率很低；另一方面逐層迭代的操作過程可能導致求解的不完備，下面以區域劃分為例進行說明。

區域劃分就是將系統從結構上劃分成相互獨立的若干部分，用公式可描述成

∏(S)={D1，D2，…，Dm}.

(6)

對于每一個元素xi，把xi可以到達的所有元素匯集成一個集合，稱為xi的可達集R(xi)；把所有的可以到達xi的元素匯集成一個集合，稱為xi的前因集A(xi)。即

R(xi)={xj|xj∈S，rij=1}，

(7)

A(xi)={xj|xj∈S，rji=1}，

(8)

式中rij和rji均為可達矩陣的元素。

區域劃分是自下而上實現的，首先找出滿足

A(xi)=A(xi)∩R(xi)

(9)

的元素，經過分析可知，這樣的元素一定是系統的底層元素，即其下不再有其他元素的元素。

將底層元素的集合記為B，對?xi，xj∈B(i≠j)，如果下式成立：

R(xi)∩R(xj)≠?，

(10)

則xi和xj處于同一部分(區域)之內，否則它們就不在一個區域內。這一結論在系統工程的經典教材[1，11]都是這樣表述的。

按照式(10)逐一分析，可以將系統中的元素歸為不同的區域，從而實現區域劃分?，F有ISM方法斷定滿足式(10)的xi和xj在同一區域內，確實如此；但R(xi)∩R(xj)=?，即不滿足式(10)的xi和xj就不在一個區域內的結論則是不完備的，下面給出圖3所示的反例。

圖3 區域劃分的一個反例

根據圖3所示的系統，底層元素集B={1，2，3}，從圖3可以直觀地看出，元素1，2，3在同一區域內。各元素的可達集是：R(1)={1，4}，R(2)={2，4，5}，R(3)={3，5}。按照式(10)，R(1)∩R(2)={4}≠?，所以1和2在同一區域內；R(2)∩R(3)={5}≠?，所以2和3在同一區域內；由于區域劃分滿足傳遞性，所以元素1，2，3在同一區域內，這與直觀的圖形顯示出來的結果一致。但是，R(1)∩R(3)=?，按照現有ISM方法，1和3就不在一個區域內，顯然這是不正確的，由此可見，現有ISM方法存在著不完備性。

上面剖析了現有ISM方法存在的問題，即求解大規模問題存在的“組合爆炸”和迭代操作存在的不完備性。要解決這些問題，就必須針對ISM的劃分操作，將現有ISM的拓撲分析方法進一步轉化為代數分析方法，以便計算機實施處理。從代數角度上講，劃分就是等價關系，它們有著本質的關系，乃是同一概念的不同表達形式。因此，基于代數分析的觀點，劃分的實質是要構造某種等價關系，該等價關系是相應劃分的充要條件。這是文獻[16]提出結構建模代數方法的基本出發點。

3 關于骨架矩陣的求法

結構建模形成的最終結構模型圖中，哪些邊要連上，哪些邊不必連，是一個至關重要的環節。就現有ISM方法而言，對這一問題并未有效解決。實際上，現有方法對此問題采取的是回避方式，即仍然是運用拓撲分析、通過人為觀察剔除派生連線來完成的，這種方式依賴于直覺，其正確性無法保證，弊端卻是顯而易見。

在結構建模代數方法求解中，這實際上是要確定系統的骨架矩陣(骨架矩陣的界定見定義11)。只有借助代數分析，給出骨架矩陣的代數表達式才能從根本上解決這一問題。因此，求系統的骨架矩陣是結構建模代數方法的另一個需要完成的任務。

為了獲取骨架矩陣，文獻[17]基于系統結構建模分析，給出了求骨架矩陣的代數表達式，實現了骨架矩陣的代數求法，從根本上解決了這一難題。該結果也是結構建模代數方法體系的組成部分。

4 結構建模中的矩陣關系分析

在第1節給出的概念定義的基礎上，本節將進一步對系統結構建模進行分析，著重討論ISM中涉及到的幾種矩陣以及它們之間的相互關系，澄清認識，加深對結構建模實質的理解。

根據結構模型的定義，在論域明確的情況下，結構建模的目的主要是辨識關系R。若用D(R)表示R對應的有向圖，那么在ISM中，D(S′k)就是縮減系統的結構模型，D(Sk)即是原系統的結構模型。

下面逐一討論ISM中的各種矩陣的內涵并分析它們之間的關系。

設縮減骨架矩陣為m階布爾矩陣，那么(S′k+Im)m=t(S′k+Im)，又由定義11，(S′k+Im)m=R′e，所以

t(S′k+Im)=R′e，

(11)

若有S″k≠S′k，滿足t(S′k+Im)=R′e，也即t(S″k+Im)=R′e，根據定義10和定義11，應有S″k>S′k，由式(11)可得

(12)

這說明D(S′k)保存了D(R′e-Im)的全部可達性，且具有最少的邊，稱為最少邊圖。因此，S′k反映的是縮減系統S′中元素之間的直接關系(從可達性講，是一步可達關系)。同樣，骨架系統Sk反映的是原系統S中元素之間的直接關系。

鄰接矩陣A是由概念模型所描述的關系得到的，并且滿足

Sk≤A≤Re，

(13)

它有兩種特殊情況：A=Sk和A=Re。但通常A≠Sk，這是因為在復雜系統中，人們雖可判斷元素之間是否存在關系，卻往往難以區分哪些是直接關系，哪此是間接關系。而且通常也有A≠Re，原因在于人的觀察能力有限，其判斷并不總是保持傳遞性，尤其當系統元素較多時更是如此。即使鄰接矩陣A等于Sk或者Re，要確認這一事實成立也非易事。一般來說，認為Sk

將上面討論的各種矩陣的性質特征進行歸納，可總結得到表1。

表1 結構建模中各矩陣的性質

綜合上述分析，可以明確得到以下結論：

(1)不少文獻(例如文獻[18])在論述結構建模時認為鄰接矩陣表示的是系統中各元素之間的直接關系。事實上，這一觀點是不全面的。鄰接矩陣不僅表示的是元素之間的直接關系，而且還表示了元素之間的部分間接關系，但不管是直接還是間接關系，它們都是相鄰元素之間的關系。如果把元素對自身的零步可達關系看成是一種特殊的相鄰元素(相鄰元素重合)之間的關系，則鄰接矩陣反映的就是不同元素之間的鄰接聯系情況，這樣它才“名副其實”。

(2)在鄰接矩陣的基礎上求出可達矩陣，實質上是要找到系統元素之間的所有間接關系。根據可達矩陣得到的骨架矩陣只保留了元素之間的所有直接關系，這也是系統分析的通常作法，即把握那些本質關系，而忽略那些已被隱含的派生關系。

5 結束語

由Warfield提出并發展的解釋結構建模(ISM)應用廣泛，不乏成功案例[11-12]。該方法涉及鄰接矩陣、可達矩陣等代數概念，但主要采用的是拓撲分析的思路，因此在求解大規模問題時存在著“組合爆炸”，在建模的迭代操作中存在著不完備性，這些不足導致現有ISM方法難以適應復雜系統結構建模的要求。針對現有ISM的拓撲分析方法的不足，有必要將現有ISM的拓撲分析方法進一步轉化為代數分析方法，以便計算機實施處理。本文致力于復雜系統結構建模分析研究，一方面闡明適于復雜系統結構建模的代數分析途徑的優越性，圍繞復雜系統結構建模的幾個重要問題剖析概念本質，進行原理性分析；另一方面著重討論ISM中涉及到的幾種矩陣以及它們之間的相互關系，澄清了一些容易混淆的觀點和認識。

復雜系統結構建模是一個具有挑戰性的難題，現有ISM的拓撲分析方法與本文倡導的代數分析方法相輔相成，可以取長補短，形成復雜系統結構建模的綜合集成方法，據此下一步將開展綜合集成視角下的復雜系統結構建模研究，提出相應的方法體系，實現復雜系統建模求解的大成智慧的涌現[19-20]。