大擾動后正阻尼單機水電系統頻率振蕩的近似及適應性分析

王嘉偉，熊鴻韜，劉曉博，楊 瀅，張建承，莊文彬，華 文，薛安成

（1. 華北電力大學 新能源電力系統國家重點實驗室，北京 102206；2. 國網浙江省電力有限公司電力科學研究院，浙江 杭州 310014；3. 國網浙江省電力有限公司調度控制中心，浙江 杭州 310007）

0 引言

近年來，國內外高水電占比電網在實際運行或試驗中，出現了多次復雜的超低頻頻率振蕩事故，威脅著電網的安全穩定運行［1?3］。例如，云南電網在試驗中，出現了系統負阻尼效應導致的頻率振蕩失穩問題，以及調速器增強型死區導致系統不存在平衡點，其引起頻率在死區附近振蕩的問題［4］。另一方面，某大電網仿真表明，在線路N-2 故障下，當故障持續時間為40 ms 時，系統會恢復穩定（系統正阻尼），而當故障持續時間為80 ms 時，系統會發生持續的調速器限幅參與的超低頻頻率振蕩（大擾動后正阻尼的振蕩）［5］。目前，超低頻頻率振蕩的數學機理可分為負阻尼振蕩、光滑的強迫振蕩和切換型振蕩［6］。

在負阻尼振蕩方面，文獻［7?8］分析指出，水電機組調速器提供負阻尼導致一次調頻過程中小擾動失穩，是造成實際電網超低頻頻率振蕩的直接原因之一。在對應的分析方法上，目前較為常用的是基于時域的狀態空間模型的特征根分析法以及基于頻域的復轉矩系數法。強迫振蕩易出現在本身阻尼較弱而外界擾動較大的系統中［9］。文獻［10-11］利用端口供給能量法，分析可得超低頻頻率振蕩起振階段的誘發原因為負阻尼；并利用模態圖和快速傅里葉分解法，分析認為持續振蕩階段的特征類似于強迫振蕩的全局共振，即發電機之間同相位共振。上述負阻尼振蕩和光滑的強迫振蕩分別對應于系統負阻尼和弱阻尼時在小擾動后的光滑振蕩，其對應于光滑的動力系統，相應的分析方法大多是基于小擾動后電力系統的線性化模型。值得注意的是，調速器中的死區和限幅非線性切換環節也會對振蕩特性產生較大影響［4?5］。含死區和限幅的電力系統是非光滑動力系統，大擾動后死區和限幅參與的振蕩是大范圍（全局）的非光滑振蕩（即切換型振蕩），其相應的數學機理不同，傳統光滑系統的小擾動分析方法可能不再適用。

在切換型振蕩方面，目前發現了3 種不同類型的切換型超低頻頻率振蕩：一是嚴重大擾動后具有穩定平衡點（局部正阻尼）的系統，在初始狀態偏離平衡點較遠時，無法返回平衡點的穩定域而進入非光滑極限環的吸引域時出現的切換型振蕩［5，12-13］；二是在擾動后，具有不穩定平衡點（局部負阻尼）的系統軌線發散時，死區、限幅等環節參與形成的切換型振蕩［14］；三是擾動后無平衡點的系統出現的死區參與的切換型振蕩［4，13］。但是，上述研究僅通過仿真發現了切換型頻率振蕩這一現象，并定性分析了其隨參數變化的非光滑分岔特性，缺少相應的量化分析手段。

考慮調速器死區時，文獻［15-16］建立了含死區的分段線性系統模型，通過不同擾動下的解析求解［15］、描述函數［16］等方法，分析了調速器的不同死區類型對單機簡化系統穩定性的影響，獲得了水輪發電機組的死區影響頻率振蕩特性的一般規律。進一步，文獻［17］定義了擴展描述函數，定量分析了多個死區環節對多機組合系統頻率振蕩的影響，并提出通過死區配置抑制超低頻頻率振蕩的方法。值得注意的是，上述研究僅分析了單一死區切換環節參與的頻率振蕩，缺乏對多個不同類型切換環節參與的振蕩分析（未同時考慮限幅）。此外，描述函數法是一種近似分析方法，使用時具有一定的假設前提［18］，文獻［16-17］直接采用描述函數法，但均未涉及適應性分析。將非光滑系統近似為光滑系統，能否精確近似非光滑單機水電系統的超低頻頻率振蕩，在其他文獻中也未見分析報道。

鑒于此，本文在已有研究成果的基礎上，針對大擾動后正阻尼的非光滑單機水電系統出現的死區和限幅參與的切換型頻率振蕩現象，應用分段的描述函數，說明了近似光滑系統的穩定極限環可近似大擾動后正阻尼的非光滑系統出現的切換型振蕩。并分析了不同的限幅參數對振蕩特性的影響以及描述函數法的適應性。

1 單機水電系統模型及其振蕩現象

1.1 含非線性切換環節的系統模型

當電力系統發生超低頻頻率振蕩時，所有機組頻率基本保持同相位振蕩，因此可以將系統簡化為單機系統進行分析［19］。另一方面，文獻［7?8］研究表明，超低頻頻率振蕩主要與水電機組的一次調頻過程不穩定相關。故針對頻率振蕩問題，本文分析的帶負荷單水電機組簡化系統（以下簡稱單機水電系統）忽略了勵磁器，僅考慮調速器。

單機水電系統的調速器數學模型如附錄A 圖A1 所示，其包括調節系統、電液伺服系統、水輪機3個部分，各部分的傳遞函數分別為：

式中：KW為頻率偏差放大倍數；KP、KI分別為比例、積分環節的放大倍數；bp為永態轉差系數；KP1為電液轉換模塊的放大倍數；Ty為接力器時間常數；TW為水錘效應時間常數。進一步，發電機部分的傳遞函數如式（4）所示。

式中：Δω為角頻率偏差；ΔPm為機械功率偏差；TJ、KL分別為發電機轉動慣量和負荷的單位調節功率。綜上，簡化單機水電系統線性部分的開環傳遞函數可表示為：

圖A1 中調速器含多個死區和限幅非線性切換環節，本文僅考慮一次調頻死區和限幅環節F(x4)，其示意圖如圖1 所示。圖中，切換環節的輸入信號x4為角頻率偏差的負值；±ε和±λ分別為死區值和限幅值。

圖1 死區和限幅切換環節Fig.1 Switching link of dead zone and limitation

1.2 大擾動后正阻尼系統的切換型頻率振蕩現象

對于上述單機水電系統，采用實際電網中引發超低頻頻率振蕩事故的某一主要機組的典型參數取值為：角頻率參考值ωref=1 p.u.，調速開度參考值Yref=1 p.u.，KW=1.1，KP=5，KI=1，KP1=40，bp=0.03，Ty=13.86 s，TJ=10 s，KL=1.5，TW=1.6 s，ε=0.000 8 p.u.，λ=0.0308 p.u.。

根據文獻［12］，當負荷為額定參數，即PL=1 p.u.時，單機水電系統存在穩定的平衡點（局部正阻尼）。當大擾動造成系統初值（即系統的初始狀態）在一定范圍內波動（即初值偏離平衡點較遠）時，系統將發生死區和限幅參與的切換型頻率振蕩。不同角頻率偏差初值下，系統的角頻率偏差變化如圖2 所示，圖中角頻率偏差為標幺值。由圖可知：當小擾動造成角頻率偏差的初值為0.015 7 p.u.（實線）時，系統角頻率經調速器的調節，最終角頻率偏差為0，這說明頻率振蕩逐漸衰減，單機水電系統恢復穩定，對應著系統軌線最終收斂到穩定的平衡點；當大擾動造成角頻率偏差的初值為0.015 8 p.u.（點劃線）時，系統最終發生了死區和限幅參與的頻率振蕩，其振蕩幅值為0.032 5 p.u.，振蕩頻率為0.1073 Hz。

圖2 角頻率偏差的時域變化Fig.2 Time domain variation of angle-frequency deviation

2 描述函數法

2.1 總體介紹

在進行無外部輸入信號非線性系統的穩定性分析時，描述函數法是一種計算非線性系統振蕩參數的經典近似方法。假設系統發生振蕩時，非線性部分的輸入信號為正弦信號，即：

式中：A和ω分別為輸入信號的振蕩幅值和振蕩角頻率；t為時間。

在具有靜態非線性特性的非線性環節中，當輸入信號為正弦信號時，其輸出信號是一個與輸入信號周期相同的周期函數［18］。將輸出信號y(t)用傅里葉級數展開，并忽略高階項可得：

式中：A0為直流分量；A1、B1分別為輸入信號基波正、余弦分量的幅值；Y1、φ1分別為輸出信號基波分量的幅值和相位。則非線性部分的描述函數N(A)可表示為輸出信號的基波分量和輸入信號的復數比，如式（8）所示。

此時，整個非線性系統（非光滑系統）可以在頻域內近似為一個單環負反饋控制系統（近似的光滑系統），如圖3 所示，圖中r、z分別為近似控制系統的輸入、輸出信號。描述函數法只考慮周期運動變量x、y、z的基波分量，不計高次諧波分量，此時要求系統的線性部分G0(jω)具有較好的低通濾波性能，即在能阻止高次諧波通過時，描述函數法有較高的精度。

圖3 頻域近似控制系統Fig.3 Approximate control system in frequency domain

2.2 應用準則

根據圖3，頻域近似控制系統的閉環頻率特性為：

其特征方程為：

可變化為：

類似于Nyquist 判據的最常見形式［18］，可以通過圖4 所示復平面上的G0(jω)曲線和-1/N(A)曲線的相對位置關系來分析頻域近似控制系統的穩定性。圖中：G0(jω)表示ω從0 增大到+∞的開環頻率特性曲線；-1/N(A)表示輸入信號幅值A從0 增大到+∞的負倒特性曲線。

圖4 描述函數法的判別準則Fig.4 Discriminant criteria of describing function method

1）如果G0(jω)曲線始終包圍／不包圍-1/N(A)曲線，則表明近似系統不穩定／穩定。

2）如果G0(jω)曲線和-1/N(A)曲線存在交點，則表明近似系統中存在極限環，根據交點的不同，又需進一步區分。

（1）從不穩定區到穩定區的穿出交點（Acr1，ω1）（Acr1和ω1分別為該交點下對應振蕩的幅值和角頻率）對應的是穩定極限環。在穿出交點附近，若輸入信號幅值A>Acr1，則系統運行點位于穩定區，振蕩會逐漸衰減；若輸入信號幅值AAcr1，則系統運行點位于不穩定區，振蕩會進一步發散；兩者最終都收斂到穿出交點處的穩定極限環。

（2）從穩定區到不穩定區的穿入交點（Acr2，ω2）（Acr2和ω2分別為該交點下對應振蕩的幅值和角頻率）對應的是不穩定極限環。穿入交點處的穩定性與輸入信號幅值A有關，若振幅在穩定區，則系統振蕩逐漸衰減，最終恢復穩定（收斂到穩定的平衡點）；若輸入信號幅值在不穩定區，則系統振蕩進一步發散，最終收斂到穩定的極限環。

（3）如果2 條曲線為相切關系，那么切點處對應的是半穩定極限環。

3 基于描述函數法的近似分析

3.1 描述函數法的分析結果

在固定參數下，對比基于描述函數法的近似分析結果與實際仿真結果，初步驗證描述函數法用于近似分析大擾動后正阻尼的單機水電系統出現的死區和限幅起作用的切換型頻率振蕩的適用性。

對于圖1 所示的死區和限幅切換環節，其輸入輸出信號為奇對稱，故在圖2 所示正弦輸入信號下，經切換環節的輸出信號傅里葉級數展開中，A0=0，B1=0。因此，切換環節的輸出信號中不含直流分量，且其描述函數僅含實數部分。死區和限幅切換環節的輸入輸出信號具有分段特性，故其描述函數也需分段表示，如式（12）所示［18］。

在1.2 節設置的系統參數下，由式（5）、（12），可得到開環頻率特性曲線G0(jω)和負倒特性曲線-1/N(A)，在復平面上如圖5所示，圖中橫縱軸刻度值均為標幺值。負倒特性曲線-1/N(A)也分為3段：當A≤0.000 8 時，-1/N(A)在負無窮遠處；當0.000 8A≤0.030 8 時，-1/N(A)的第二段由圖中圓圈構成；當A>0.0308時，-1/N(A)的第三段為圖中直線。負倒特性曲線-1/N(A)與開環頻率特性曲線G0(jω)有2 個交點：①圓圈所對應的交點為穿入交點，穿入交點處的振蕩角頻率為0.673 3 rad／s（0.107 2 Hz），振幅為0.022 6 p.u.，其對應的是不穩定極限環的幅值；②直線對應的穿出交點，穿出交點處的振蕩角頻率為0.673 3 rad／s（0.107 2 Hz），振幅為0.032 5 p.u.，其對應的是死區和限幅作用的穩定極限環（A>λ）。

圖5 開環頻率特性和負倒特性曲線Fig.5 Open-loop frequency characteristics and minus reciprocal curves

描述函數法的分析結果表明，本文分析的含死區和限幅切換環節的單機水電系統在穩定平衡點外，同時存在一個不穩定極限環和一個穩定極限環。因此，從系統動力學角度看，根據輸入信號幅值的不同，系統表現出不同的穩定性。具體為：當擾動后輸入信號幅值較?。ㄐ_動后的輸入信號幅值），輸入信號幅值處于穩定平衡點的穩定域內部時，該振蕩最終平息，恢復穩定（軌線收斂到穩定平衡點）；當擾動后輸入信號幅值較大（大擾動后的輸入信號幅值）時，輸入信號幅值不在穩定平衡點的穩定域內部，而在穩定極限環的吸引域內部，此時，軌線收斂到穩定極限環，即近似控制系統發散形成穩定持續的振蕩。

同時，該分析結果與1.2節仿真獲得的振蕩信息（振幅為0.032 5 p.u.，振蕩頻率為0.107 3 Hz）接近。因此，在本文參數設置情形下，基于描述函數法的頻率振蕩的近似精度較好，近似光滑系統的穩定振蕩可近似為非光滑系統的大范圍（死區和限幅起作用）切換型振蕩。

3.2 限幅參數的影響分析

改變非光滑結構的限幅值，近似的描述函數法和仿真法求得的穩定極限環（切換型振蕩）對應的振蕩頻率和振蕩幅值對比如表1 所示，表中振蕩幅值為標幺值，后同。由表1可得如下結論：

表1 不同限幅下的結果對比Table 1 Results comparison under different limitations

1）基于描述函數法的近似和仿真計算結果，在誤差允許的范圍內，基本一致；

2）限幅參數變化時，非光滑單機水電系統仿真中切換型頻率振蕩的振蕩幅值變化，而振蕩頻率基本不變，該現象可通過圖5 所示的開環頻率特性和負倒特性曲線解釋，即限幅參數變化時負倒特性曲線-1/N(A)仍在實軸上，但各處對應的輸入信號幅值A發生變化，而開環頻率特性曲線G0(jω)不隨限幅變化而變化，故2 條曲線的交點對應的穩定極限環，其振蕩角頻率ω不變，而振蕩幅值A變化。

4 描述函數法的適應性分析

本節進一步分析單機水電系統的線性部分的參數變化（線性部分的低通濾波性能變化）時，描述函數法的適應性。與第3 節分析類似，改變一次調頻比例積分PI（Proportional Integral）環節的比例增益參數KP，描述函數法和仿真法求得的穩定極限環（切換型振蕩）對應的振蕩頻率和振蕩幅值對比如表2 所示，可得如下結論。

表2 不同KP下的結果對比Table 2 Results comparison under different values of KP

1）當KP變化時，非光滑單機水電系統仿真中切換型頻率振蕩的振蕩頻率和幅值均會變化。這是因為當KP變化時，由圖5 可知，開環頻率特性曲線G0(jω)變化，其與負倒特性曲線-1/N(A)之間的穿出交點（穩定極限環）所對應的振蕩頻率和振蕩幅值均發生變化。

2）對比描述函數法和仿真計算的結果，在KP較小時，二者的振蕩頻率和幅值基本一致；在KP較大時，振蕩頻率和幅值誤差偏大。表明描述函數法成立的前提可能受到挑戰，即系統不具有低通濾波性質。

由于本文分析的切換環節和輸入信號均為奇對稱，輸出信號中主要含有奇次諧波。線性部分G0(jω)的基波項和3 次諧波項的幅值增益的計算結果如表3所示。

表3 不同KP下的幅值增益Table 3 Amplitude gain under different values of KP

由表2、3 可知：當KP較小時，線性部分的3 次諧波項的幅值增益較小，這說明線性部分的頻率特性G0(jω)對高次諧波分量的抑制效果較好，因此，使用描述函數法的分析結果與仿真法基本一致，精度較高；當KP較大時，3 次諧波項的幅值增益變大，這說明線性部分的頻率特性G0(jω)對高次諧波分量的抑制效果變差，因此，分析結果的誤差也增大。同理可得，當單機水電系統線性部分的積分參數KI和水錘效應時間常數TW變化時，描述函數法的近似分析結果與仿真結果之間的誤差也會隨3 次諧波幅值的增大而增大，如附錄A的圖A2、A3所示。

上述分析表明，描述函數法在非光滑系統的分析中僅考慮了基波分量，為近似方法。如果線性部分對高次諧波的濾波性能變差（即3 次諧波項的幅值增益變大），那么基于描述函數法的分析結果與實際情況的差異也將變大。因此，在使用描述函數法時，尤其需要注意系統對高次諧波的濾波性能。

5 結論

針對大擾動后正阻尼的非光滑單機水電系統出現的死區和限幅參與的切換型頻率振蕩，提供一種基于分段描述函數的近似分析方法，得到主要結論如下。

1）在小擾動后正阻尼的單機水電系統，經調速器調節，系統頻率恢復穩定；在大擾動后正阻尼的單機水電系統，會出現死區和限幅參與的切換型頻率振蕩現象。

2）當參數滿足低通濾波條件時，基于描述函數法分析的光滑系統的穩定極限環，可近似對應大擾動后正阻尼的非光滑系統出現的死區和限幅起作用的切換型振蕩；且可解釋不同限幅參數下切換型頻率振蕩的振蕩幅值變化而振蕩頻率基本不變的現象。

3）參數變化可能導致單機水電系統在振蕩頻率附近的濾波性能變差，3 次諧波無法忽略，導致采用描述函數法的近似分析結果的精度也變差。

本文方法主要用于單機水電系統。對于高維的含有不同死區和限幅的實際多機水電系統，在不同擾動下如何確認哪些機組哪些死區和限幅參與振蕩，并結合死區和限幅組合分析，還需要進一步研究。

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