基于映射彈性勢能增量的電網主振蕩路徑識別

路廣才，竺 煒，唐穎杰

(1.長沙理工大學電氣與信息工程學院，湖南 長沙 410114；2.國網青海省電力公司西寧供電公司，青海 西寧 810000)

近年來，實際電網時常發生范圍廣、周期長的低頻振蕩現象，危及電網的安全穩定運行[1-3]?，F有研究低頻振蕩的機理主要有負阻尼機理和強迫功率振蕩機理[4-5]，其中，負阻尼機理難以解釋由電網邊界(電源及負荷側)波動引起的低頻振蕩現象，但是強迫功率振蕩機理可以給出較好解釋，因此，許多學者對強迫功率振蕩問題開展了大量研究。強迫功率振蕩主要是由發電機側擾動引起的[5]，而文獻[6-8]通過深入研究電網及負荷側擾動引起強迫功率振蕩的問題，進一步完善了強迫功率振蕩機理；為了便于直觀感受電網狀態量的變化趨勢以及增強對電網的物理理解，文獻[9]提出了電網—彈性力學網的拓撲映射理論，該理論現主要用以分析靜態功角穩定問題，尚未應用于分析電網動態穩定性；在此基礎上，文獻[10]從負荷側擾動引起強迫功率振蕩的角度出發，通過映射彈性力學網研究功率振蕩特征，驗證了以力學視角分析電網功率振蕩是可行的。

當電網發生功率振蕩時，準確找尋到擾動源位置并及時切除擾動源或采取控制措施，是抑制振蕩的常用方式。針對擾動源位置的辨識問題，學者們提出了諸多振蕩擾動源的定位方法[11-13]，并且已取得良好成效。然而，振蕩過程必然存在一系列交互通道(振蕩路徑)，其中存在某一振蕩路徑下的若干線路振蕩最劇烈，該路徑即為主導振蕩路徑。如果能找到主導的振蕩路徑并采取有效防治措施，便能更好地抑制低頻振蕩現象，有助于電網的安全穩定運行。目前，鮮有學者研究電力系統低頻振蕩路徑的辨識問題。文獻[14]從能量角度分析了電力系統振蕩過程中網絡暫態能量的變化規律，文中定義承擔暫態能量最大的支路為主振蕩支路；文獻[15-16]證實了區間振蕩模式下主振蕩路徑的存在，并利用網絡狀態量(電壓、電流及相角)的靈敏度與發電機振型的關系辨識主振蕩路徑。

在前期研究基礎上[9-10,17-18]，基于電力系統與彈性力學系統的映射關系，本文將電網映射成彈性力學網，構建含阻尼特性的映射彈性力學動態模型，仿真發現二者動態特性基本一致，驗證其動態映射的合理性。根據受迫振動的能量轉換機理[19]，分析電力系統功率振蕩過程中系統能量的轉換特性，在此基礎上，通過建立辨識主振蕩路徑的指標獲得全網主振蕩路徑，算例分析驗證所提方法的有效性。

1 電力系統的映射彈性力學動態模型

1.1 發電機的映射彈性力學模型

圖1 發電機等值電路Figure 1 Equivalent circuit of generator

(1)

式中TJ為發電機慣性時間常數；Pm、Pe分別為機械功率和電磁功率；Δω為轉子角速度偏差；Δδ為轉子角偏差；D為阻尼系數。

(2)

彈性力學系統的單自由度質—阻—彈力學模型由質量塊、阻尼器、彈簧等理想元件構成，如圖2所示。

圖2 單自由度質—阻—彈模型Figure 2 Mass-damper-spring model with single degree of freedom

無外擾力作用時系統處于靜平衡(穩定)狀態。令Δx為位移，以質量塊的靜平衡位置為坐標原點建立坐標軸。根據牛頓第二定律可知，該模型受到小擾動后的運動微分方程為

(3)

以上分析發現，2個不同系統的動力學方程及固有特性參數具有高度相似性，動態本征一致。再對比式(1)、(3)，可得映射關系：

(4)

1.2 映射彈性力學動態模型的構建

設交流支路Lij的兩端電壓為Ui、Uj，相角差為θij，線路電抗為Xij，忽略電阻，則該線路傳輸的有功功率為

(5)

對式(5)線性化近似可得：

(6)

根據文獻[17]，線路的有功—相角特性與彈簧的受力—形變特性類似，故可將電網線路映射為單自由度彈簧，狀態量的映射關系為

(7)

式中F、x分別為彈簧的作用力和形變量；彈性系數k=dF/dx，則Kij為支路Lij的映射彈性系數。

文獻[9]將電網側網絡結構映射成彈性力學網，而根據對發電機及單自由度質—阻—彈模型的動態特性分析，可將發電機側映射至彈性力學網，進一步完善電網—彈性力學網的映射理論。

根據式(4)、(7)的映射關系可將整個電力系統映射成彈性力學系統，即電網映射成一個二維平面的縱向彈性力學網。如圖3所示，電網中的發電機映射為集中質量塊，機械阻尼映射為同質量塊相連的阻尼器，發電機支路和電網線路映射為彈簧，有功負荷映射為向下的外施作用力，網絡拓撲的映射參見文獻[9]。

圖3 電網拓撲映射Figure 3 Power grid topology mapping

因此，電力系統的映射多自由度彈性力學模型的運動微分方程為

i=1,2,…,m

(8)

式(8)化為矩陣形式為

(9)

式中M=diag[TJ1/ω0,TJ2/ω0,…,TJm/ω0]為質量矩陣；K為剛度矩陣，具體求解見文獻[10]；C=diag[D1/ω0,D2/ω0,…,Dm/ω0]為阻尼矩陣。

對式(9)所表征的相應無阻尼系統(C=0)進行固有振動分析，求出各階固有振動頻率ωi及相應振型φi，獲取其譜矩陣Λ及振型(模態)矩陣Φ。則系統的主質量、主剛度和主阻尼矩陣為

(10)

2 功率振蕩的能量轉換特性

類比于彈性力學受迫振動過程中的能量轉換特性[19]，將電網映射為彈性力學網后，根據受迫振動的能量轉換原理，對電網功率振蕩過程的能量特性進行剖析。以單機無窮大系統為例，系統在工作點處的線性化運動方程同式(1)。假設發電機機械功率發生擾動，其變化量為ΔPm=P0sin(ωt+β)，則式(1)可改寫為

(11)

式(11)即為電網的映射彈性力學網中發電機的受力平衡式，等式左邊表征加速力和彈性恢復力之和，右邊表征外擾力和阻尼力之差。若系統的發電機轉子角偏差(位移)響應為Δδ(t)=Hsin(ωt+β)，則等式兩邊同對Δδ積分，可得系統的能量平衡方程為

ΔWk(t)+ΔWp(t)=W(t)

(12)

式中W(t)為功率擾動輸入能量與阻尼耗能的差值，即系統振蕩時的凈輸入能量函數；ΔWk(t)、ΔWp(t)分別為系統的動能增量函數和勢能增量函數，其表達式為

考慮在一個振蕩周期內的能量增量，有

(13)

可知在一個振蕩周期內，無論系統動能增量ΔWk與系統勢能增量ΔWp相等與否，系統的凈輸入能量W均為恒定值。如圖4所示，當系統處于穩態振蕩時，系統動能和勢能可以相互轉換，二者此消彼長，系統保持周期性能量平衡，振蕩形式綜合表現為無阻尼自由振蕩。

圖4 能量轉換特性Figure 4 Energy conversion characteristics

對于多機電力系統，若系統有m臺發電機、n個節點，系統在受到周期性功率擾動后，將發電機的動能及支路勢能分別加和，得到其動能增量函數和勢能增量函數為

(14)

則總的凈輸入能量增量函數為

W(t)=ΔWk(t)+ΔWp(t)

(15)

系統各節點有功功率平衡方程為

(16)

式中Pdi為節點i有功負荷；Pij為支路Lij的有功功率。

式(16)線性化方程為

(17)

取Δφ=[ΔδT,ΔθT]為系統所有節點相角偏差，則系統勢能增量函數又可表示為

(18)

系統功率振蕩在一個周期內的總能量保持不變，且總能量是由發電機轉子動能與發電機支路勢能共同組成，兩者相互轉換。根據式(18)可知，發電機支路勢能經由與其相連支路將勢能在網絡中傳播，并存儲在各個支路，則系統總的勢能為各支路勢能累加值。

由式(6)、(18)可得：

(19)

由于式(19)是基于電網模型與彈性力學模型的映射關系推導而得，且與文獻[18]進行區分，故本文定義其為支路映射彈性勢能增量函數(簡稱勢能增量函數)。

3 電網主振蕩路徑的辨識方法

3.1 路徑振蕩指標

通過前述將電網映射為彈性力學網，再依據彈性力學的功能原理以分析相應電網功率振蕩的能量轉換特性，即功率振蕩過程伴隨著能量的交互傳遞(系統動能和勢能之間的轉換)。由各支路組成的電力網絡是能量交互的媒介，支路就是能量傳遞的通道，而外擾力(功率擾動)做功產生向系統輸入的外界能量以勢能形式流向網絡并存儲在各支路中。

能量是一個物理概念，在分析振蕩(或振動)問題中具有重要作用，振蕩過程存在能量的轉化和傳遞[20]。系統受擾后的外界輸入能量可用以表征系統振蕩程度，能量越大振蕩越劇烈。因此，某一支路的振蕩程度可用一個振蕩周期內的平均勢能增量衡量，即

(20)

以擾動源為始點、發電機為終點(若擾動源為發電機，則另一發電機為終點)，經過若干節點并依次添加相關線路，直至連接成一條連通路徑，此路徑即為一條振蕩路徑。

本文將所有經過某一路徑的有關支路表征的WL的累加值定義為該路徑的振蕩指標：

(21)

電網的振蕩路徑多而不一，不同路徑的振蕩程度亦不同。以存儲能量大(振蕩程度最劇烈)的路徑視為主振蕩路徑，則經式(21)求得WR值最大的路徑即為主振蕩路徑。

3.2 Floyd算法

Floyd算法是一種求取任意兩點之間最短路徑的經典算法，通過一個拓撲圖的權值矩陣求出它的任意兩點間的最短路徑，可以正確解決無向圖、有向圖或負權的最短路徑問題[21]。

對于賦權無向圖G(V,W)，以V={v1,v2,…,vn}表示拓撲網絡圖的頂點集合，W=(ωij)n×n為G的鄰接矩陣，矩陣元素ωij為邊(vi,vj)的權值，若頂點vi、vj之間無鄰邊，則ωij=∞。任意2個頂點vi、vj之間的最短路徑有2種可能：①直接從vi到vj；②從vi到vj之間經過若干節點。

用dij表示頂點vi、vj之間的最短距離，對于任意節點vk，若滿足dij>dik+dkj，則令dij=dik+dkj，遍歷每個節點，更新n次后，計算完成。用rij表示經過頂點vi、vj之間的點集，rij隨著dij同時更新，則R=(rij)n×n為最短路徑矩陣，D=(dij)n×n為最短距離矩陣。

圖G有n個頂點，計算最短距離矩陣D和最短路徑矩陣R需要進行n次更新。具體步驟如下。

1)賦初值。

2)對頂點vk∈V更新矩陣。

更新計算為

(22)

3)獲得矩陣D、R。

3.3 主振蕩路徑的辨識

電力系統單從其接線拓撲圖來看是一個無向圖G(V,W)，其鄰接矩陣W可用來描述電力系統的網絡結構?；谏鲜鏊⒌暮饬恐稬ij振蕩程度的指標WLij，對圖G相關邊W(i,j)賦權為1/WLij，則某一路徑距離dij越小，WR值越大，那么電網主振蕩路徑的辨識問題就轉變為最短路徑的求解。通過利用Floyd算法可以快速確定主振蕩路徑，主振蕩路徑辨識的具體步驟如下：

1)量測電網各支路有功功率值、各節點電壓值及相位值；2)獲取各支路Lij有功功率變化量ΔPij、相位差變化量Δθij，根據式(20)，計算支路Lij的平均勢能增量WLij；3)設WLij為支路Lij的權值，則鄰接矩陣W(i,j)=1/WLij，并對矩陣D、R賦初值；4)根據式(22)更新計算dij、rij，獲取矩陣D、R；5)根據步驟4)結果，通過矩陣D、R追溯獲得任意兩節點間的最短路徑及其距離，該連通路徑即為電網主振蕩路徑。

4 算例分析

4.1 電網動態映射的合理性驗證

以IEEE 9節點系統為例，發電機采用經典二階模型，系統結構可見圖3(a)。根據前文所述方法，將IEEE 9節點系統映射成彈性力學網(圖3(b))，計算得到映射彈性力學網各彈簧支路的剛度系數，獲取式(10)相關矩陣，得到系統振蕩模式的相關信息，如表1所示。IEEE 9節點系統小干擾穩定分析計算結果如表2所示。

表1 映射彈性力學網特征值計算結果Table 1 Calculation results of eigenvalues of mapped elastic networks

表2 IEEE 9節點系統小干擾穩定結果Table 2 Small signal stability results of IEEE 9-bus system

以振蕩模式1為例，設電網節點6處的負荷發生周期性小擾動引發強迫功率振蕩；同樣類比電網負荷擾動情形，在彈性力學網聯絡節點6處施加相同激振力，擾動時間為0～5 s，則系統發電機有功出力的波動曲線如圖5所示，質量塊受力變化曲線如圖6所示。

圖5 發電機有功出力的波動曲線Figure 5 Fluctuation curve of generator active power output

圖6 質量塊受力變化曲線Figure 6 Force variation curve of mass

對比圖5、6可以看出，發電機有功出力的波動曲線與質量塊受力變化曲線近乎同等。再對比表1、2結果發現，電力系統與映射彈性力學系統的振蕩模式基本相同，二者振蕩頻率及阻尼比非常相近，說明其動態特性具有一致性。因此，電力系統的映射彈性力學動態模型可以較準確地反映電網的振蕩特性，進而驗證二者動態映射的合理可行。

選取振蕩穩態時段的部分數據，計算功率振蕩的能量變化，其趨勢如圖7所示，系統一個振蕩周期的能量增量如表3所示。

圖7 能量變化趨勢Figure 7 Energy change trend

表3 一個振蕩周期的能量增量Table 3 Energy increment of an oscillation period

從圖7可以看出，當電力系統振蕩穩態時，系統總能量W、動能增量ΔWk、勢能增量ΔWp均隨時間波動。由表3可知，一個振蕩周期內的動能增量與勢能增量雖不相等，但系統總能量是恒定的，其中勢能增量ΔWp與各支路勢能增量累加值ΣΔWpij基本相等。該仿真結果與前述分析結論一致。

4.2 電網主振蕩路徑的確定

以IEEE 39節點系統為例，根據2個振蕩模式(如表4所示)，本文分別從機械、負荷功率周期性擾動2種情形進行分析，確定電網的主振蕩路徑。擾動幅值均設為0.7 p.u.，擾動時間為0～5 s。

表4 IEEE 39節點系統小干擾穩定結果Table 4 Small signal stability results of IEEE 39-bus system

1)機械功率周期性擾動。

以振蕩模式1為例，假設發電機G31為擾動源，存在周期性機械功率擾動引發系統強迫功率振蕩。在振蕩穩態階段，取部分時段數據進行支路勢能增量函數的計算。系統支路勢能增量波動趨勢如圖8所示，振蕩路徑的WR計算結果如表5所示。

圖8 支路勢能增量變化曲線Figure 8 Variation curve of branch potential energy increment

以支路10-11、4-14為例，其支路勢能增量平均值分別為0.071、0.012。如圖9所示，對比2個支路的勢能增量平均值與有功功率波動發現，支路10-11功率波動程度較支路4-14明顯，說明支路勢能增量平均值衡量其振蕩程度是合理的。

圖9 有功功率波動曲線Figure 9 Active power fluctuation curve

根據表5振蕩路徑的WR計算結果，可知路徑R{31,6,11,10,32}的d值最小，WR值最大。以擾動源發電機G31為起始點，依次添加支路6-31、6-11、10-11和10-32連接至發電機G32，形成一個連通路徑，如圖10所示，該路徑即為電網主振蕩路徑。比較系統各支路勢能增量變化，從圖8可以看出，支路6-31、10-32的勢能增量變化顯著，說明G31、G32振蕩較劇烈。同時，G31、G32也是該振蕩模式下相關因子較大的機組，側面說明G31、G32間相關支路作為主振蕩路徑是合理的。

圖10 電網主振蕩路徑Figure 10 Main oscillation path of a power grid

2)負荷功率周期性擾動。

以振蕩模式2為例，設節點18處負荷功率發生周期性擾動，進而導致系統發生功率振蕩。取振蕩穩態時段的部分數據計算系統各支路勢能增量函數，其變化趨勢如圖11所示，振蕩路徑的WR計算結果如表6所示。

圖11 支路勢能增量變化曲線Figure 11 Variation curve of branch potential energy increment

表6 振蕩路徑WR計算結果Table 6 WR calculation results of oscillation paths

由圖11可知，發電機出口支路20-34勢能增量變化明顯，發電機G34振蕩劇烈。同理，根據表6結果，路徑R{18,17,16,19,20,34}的d值最小，WR值最大，故連接擾動源節點18至發電機G34的相關線路為一個連通路徑。該連通路徑見圖10，即為主振蕩路徑。

5 結語

通過對電力系統與彈性力學系統的相似性分析，發現二者在基本組成結構與數學模型上均具有高度相似性，從而得到兩不同系統的映射關系，構建了電力系統的映射彈性力學動態模型。算例和分析均表明，2個不同系統的動態特性十分契合。

將電網映射成彈性力學網，系統受擾后可以通過彈性力學網的“伸縮”直觀感知電網的振蕩區域，有助于清晰理解功率振蕩的物理過程。從新的視角出發，可以借助力學方面的知識分析電網的低頻振蕩現象，拓新研究低頻振蕩的思路。

基于受迫振動的能量轉換原理，分析了電力系統功率振蕩時的能量轉換特性，即穩態振蕩時動能與勢能增量周期性波動，但一個振蕩周期內總能量保持恒定，系統保持周期能量平衡；揭示了電網功率振蕩時的能量交互規律，即功率擾動產生的外界輸入能量是以勢能形式在網絡中傳遞。在此基礎上，利用建立的路徑振蕩指標辨識電網的主振蕩路徑，可以有效識別出電網的振蕩區域，為研究開展相應抑制低頻振蕩措施提供實際參考價值。