抓住關聯 在操作中建構
——以“角的分類和畫角”為例

江蘇省無錫市新吳區南豐小學 劉 穎

江蘇省無錫市新吳區江溪小學 吳建亞

“角的分類和畫角”是蘇教版數學四年級上冊第八單元“垂線與平行線”第四課時的教學內容。本節課是在學生對角已有初步認識并會用量角器量角的基礎上進行教學的。本節課的重點是討論角的分類、認識平角和周角，并會用量角器畫出指定度數的角。教師在教學中要有意識地滲透數學思想，融合新舊知識點，抓住知識間的關聯，讓學生在多次操作中觀察比較、感悟理解、主動探索、建構知識網絡，獲得思維進階。

一、抓住量的關聯 建構角的分類

【課堂片段】

師：請各學習小組根據“任務要求”自己動手做一做，并說一說。

任務要求：

1.小組內每個成員利用學具制作一個角。

2.用量角器量出角的度數。

3.小組討論，組長匯總。

師：哪個組來展示你們的作品？

第一小組：我們小組在正方形紙上找到了90度的角，對折一次折出了兩個45度的角，對折兩次折出了90度的角，全部打開后又找到了四個90度的角。

第二小組：我們在正方形紙上折出了120度的角，還將兩根硬紙條釘在一起，分開兩根硬紙條形成了角，有30度、55度、80度。

第三小組：我們小組將吸管折疊，折疊處形成了角，分別是75度、47度。

第四小組：打開圓形折扇，兩柄之間形成角，分別是170度、90度。

（學生展示作品）

師：你能把這些度數分分類嗎？完成下面表格中角及角的大小部分。（見表1）

表1

學生交流分類結果：

生1：我認為應該分成三類，我知道像這樣的角就是直角（手指直角），比直角小的角是銳角，比直角大的角是鈍角。

師：你是怎么判斷制作的角比直角大或比直角小的？

生1：通過觀察，或者與直角重合比較。

生2：我發現，直角都是90度，量出角的度數大小，比90度小的角是銳角，比90度大的角是鈍角。

生3：我有補充，應該是比90度大、比180度小的角是鈍角。

師：說說你的理由。

生3：我知道有一種角是平角，也是比90度大的角。

生4：平角是另外一種角，表1中的角應該分成三類，有銳角、直角和鈍角。

師：是的，根據度數的特點分成這三種角，這里便是角的分類（改寫表格板書）

（教師演示教具，展示銳角→直角→鈍角的演變過程，直到兩條邊在一條直線上為止）

師：這個角也大于90度，它是鈍角嗎？

師：指一指它的頂點和兩條邊，說一說它與眾不同的地方。

生：兩條邊在一條直線上。（畫圖示）

師：像這樣，角的兩條邊在一條直線上的角就是剛才同學說的平角。你能制作一個平角嗎？

（學生把手中的學具改成平角，展示）

師：平角是多少度？和鈍角相比怎么樣？

（學生動手操作）

生：180度，比鈍角大。

師：你是怎么知道的？

生1：我用量角器量出來的。

生2：我用兩個三角尺上的直角拼出來的。

生3：我還知道平角是直角的2倍，平角是180度，直角是90度，所以平角是直角的2倍。

師：是呀，同學們很愛動腦筋，1平角=2直角。

（繼續轉到活動角，當一條邊旋轉一圈與另一條邊完全重合時，停止）

師:同學們，現在有角嗎？

師：我們知道，角有一個頂點和兩條邊，你能找到頂點和兩條邊嗎？試著指一指。

學生能指出，教師追問：既然大家找到了頂點和兩條邊，大家爭論的點是什么呢？

生：它的兩條邊重合在一起。

師：看來，同學們已經發現它的特點了，它確實仍然是角，叫作周角。（畫圖示）

師：你們能用手邊學具制作一個周角嗎？并說說這個角的特點。

（學生操作學具并交流）

師：它的度數是多少？

生：（展示）這個角包含了兩個平角，就是360度。

師：這就是周角，是360度。（完成表格板書）看著表格，“新朋友”平角和周角與上面的“老朋友們”有什么關系？（見表2）

表2

【思考】

學生在之前的學習中，初步認識了銳角、直角和鈍角這三類角，知道比直角小的角是銳角，比直角大的角是鈍角。學生判斷的方法是用眼睛觀察，或者將角與直角重合比較。那么，對于直角的定義是什么，銳角和鈍角的具體范圍是多大，學生都是模糊不清的。這節課是深入理解這三類角的重要環節，所以，教師在設計中牢牢抓住量的關系，從量的角度來對角進行分類，是本節課再次認識銳角、直角、鈍角的目的。本次銳角、直角、鈍角的分類經歷不僅加深了學生對三種角的直觀感受，還讓學生對三種角的具體大小有了感知。有了表格的輔助，學生能清晰地得出三種角的大小范圍，再畫出圖示。整個過程從個別到一般、從一般到個別的歸納演繹，讓學生真切感受到銳角、直角、鈍角的大小及其關系。

烏申斯基認為，比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。平角和周角是學生首次接觸的新知，通過不斷與學過的角進行比較，找出它們的共性和特性，學生理解這樣的角也是角，既清晰指出平角和周角的概念，又揭示了各種角之間的關系。新知識的建構不是一蹴而就的，教師從“指、說、做、思”四個方面完成平角和周角的教學，每一步都是為下一步做鋪墊?！爸浮笔侵赋鲰旤c與兩條邊，讓學生依據角的概念尋找角的組成部分，從而明確這樣的圖形也是角；“說”是要說一說這個角的特點，平角與周角特征明顯，與銳角、直角、鈍角區別很大，讓新知在學生的腦中形成表征?！白觥奔从檬种械膶W具做出平角、周角，在操作中繼續加深特征印象；“思”是通過表格中縱向對比，思考幾個角之間的聯系，內化新知。學生在這四步中，從感官到思維，這樣過渡合理而輕松。學生能先說出平角和周角的特點，在頭腦中便形成表征，腦中有形，手中才有形，接下來動手制作平角、周角，此時，學生對平角、周角的印象又一次加深，最后通過表格的縱向對比，思考幾個角之間的聯系，在關聯中完成知識建構。

網絡圖式結構的優點在于能清晰呈現知識點，便于比較。教師設計了表格貫穿其中，通過生生、師生的多元對話，在一次次補充、糾正后，動態生成角的分類及大小關系，在板書中逐步建構。最終，完整表格的呈現，既生成了知識結構，也教給學生學習平面圖形的方法。

二、抓住位置關聯，感悟畫角的方法

【課堂片段】

師：請同學們說一說量角的步驟及量角時應注意什么。

生：“兩重合一對齊”，頂點與量角器中心點重合，一條邊與零刻度線重合，看另一條邊對準的度數。要注意看準內圈還是外圈。（教師板書）

師：出示圖1，這里標注了∠1、∠2，請你量一量這兩個角的度數，看誰量得又對又快。你是怎么量的？

圖1

生：分別是20度、35度。量角器放好位置后不需要移動，可以直接看出兩個角的度數，這樣就很快。

師：為什么量這兩個角不需要移動量角器？

生：這兩個角的一條邊是同一條邊，量角器的零刻度線與這條邊重合，不需要移動，只需要分別看另一條邊的度數。

師：∠3的一條邊被墨水遮住了，只露出了一點，你能確定這個角有多大嗎？試一試。

生1：可以，量角器不動，只需要看這個點對應的度數，對應的度數是50度，這個角就是50度。

生2：也可以把這個點與頂點連接，就能確定這條邊的位置。量角器依然不動，量出是50度。

師：∠4的一條邊還是這條射線，另一條邊被完全遮住了，但我知道它是70度，你打算怎么確定另一條邊的位置？小組試一試，并討論畫法。

（小組匯報）

生：根據上面的經驗，量角器依然不動，找到70度的位置點上點，最后拿開量角器，把標記的點與頂點連接，就確定了這條邊的位置。

師（強調）：所以，確定這一條邊位置的前提是什么？

生：量角器不能動。

師：不能動的原因是什么？

生：為了頂點與量角器中心點重合，一條邊與零刻度線重合。

師：不知不覺中，大家就掌握了畫角的精髓——兩重合，我們試一試畫一個110度的角，第一步是什么？

生：畫出頂點和一條邊，就是一條射線。

師：請同學們畫一畫，并總結畫角的步驟。

（學生畫圖并交流）

生（演示畫圖過程）：1.先畫一條射線；2.量角器中心和射線端點重合，零刻度線與射線重合；3.從重合的零刻度線開始找50度的位置并做標記；4.連接頂點和標記點畫另一條射線。

（教師板書步驟）

師：這個同學畫出來的110度角和剛才的70度角一樣大，你知道為什么嗎？畫角時有什么要提醒大家的？

生：他把內圈度數看成了外圈。我們要從重合的零刻度線看起，看清內圈和外圈。

師：現在看一看量角和畫角的步驟及注意點，你有什么發現？

生：都是“兩重合一對準”，量角是找邊所對準的刻度，畫角是找到刻度并做標記，都要注意內圈、外圈不要看錯。

【思考】

考慮到畫角的難點在于如何在量角器上找出指定刻度并做標記，其實，學生已經掌握了量角的方法，知道了“兩重合一對準”，其知識遷移點便是量角器的使用，量角活動就是抓住學生已知量角器刻度線與角的兩邊重合的位置關系，在此基礎上，把一條邊變成一個點，化解畫角難點。學生會發現兩點即能確定邊，角的頂點固定不變，只需要根據量角器刻度確定另一個點便能確定邊，在量角的變化過程中讓學生領悟畫角的精髓，讓知識的遷移自然而然地發生。

類比有助于學生自主探索新知識，改變被動學習方式，有助于學生構建數學知識體系，增強對知識理解的整體性。教師在本部分融入類比的思想，共分為四個層次，層層相連。第一層，從一開始量兩個共用一條邊的已知角，感受量角的第一個步驟“兩重合”的重要性，也為接下來的操作提供思路；第二層次中，學生明確了通過另一條邊上的某點就能確定角的大??；第三層次里，學生已經深諳“兩重合”，只要模仿第二層的找點——“一對準”，就可以完成要求。最后一層次便是從量角悄悄過渡到畫角的環節了。學生經歷了以上三個環節，這里的操作便水到渠成了。學生在這樣環環相扣、層層深入的活動中輕松完成了畫角操作。

最后進行對比，形成知識的反芻，利用類比思想將量角、畫角有機結合起來，貫通關聯，這樣抓住畫角與量角方法的關聯，抓住操作中兩條邊的位置關聯，從而形成畫角建構。

三、抓住變的關聯 促進思維進階

【課堂片段】

出示兩張透明長方形卡片，一張紅色、一張藍色。

師：在卡片上，你看到了什么角？

生1：各有四個直角。

師：我在每張卡片上各選一個直角，并將這兩個直角用圖釘釘在一起，你看到了什么？（見圖2）

圖2

圖3

生：兩個直角拼成了一個平角。

師：是的，將卡片旋轉重疊一部分，重疊的角便是∠3，以圖釘為頂點，你發現了幾個角？（見圖3）

生：有6個角，∠1、∠2、∠3，還有原來的兩個直角，以及∠1、∠2和∠3合起來的最大的角。

（教師繼續慢慢旋轉卡片）

師：仔細看旋轉過程中這些角的變化。

生：∠1和∠2慢慢變小，∠3變大，但兩個直角一直不變。

師：那這∠1、∠2、∠3在變化中有什么聯系？

生1：∠1和∠2一直一樣大。從直角里去掉∠3就是∠2，從另一個直角里去掉∠3就是∠1，所以∠1和∠2一樣大。

師：看來，不管卡片重疊部分多大，∠1都會等于∠2。如果我將圖釘釘在卡片的一條邊上呢？以圖釘為頂點，你發現了幾個角？此時的∠1和∠2還一樣大嗎？（見圖4）

圖4

生1：∠1、∠2、∠3，還有兩個平角。

生2：平角去掉∠3就是∠2，同理，另一個平角去掉∠3就是∠1，所以∠1和∠2一樣大。

師：如果圖釘釘在這里，你又能發現什么？按照剛才的思路，小組討論并匯報想法。（見圖5）

圖5

生：在旋轉過程中，平角不變是180度，∠3也不變，一直是90度，從平角里去掉∠3就是∠1和∠2，所以不管怎么旋轉，∠1和∠2的和都是90度。

師：是呀，在旋轉變化的過程中，我們只要抓住不變的角，再去思考變與不變之間的關系，就會有奇妙的發現。同學們還可以繼續思考，圖釘還可以釘在哪里，看看還能發現什么有趣的規律。

【思考】

教材中的這道思考題給出的圖示是靜止狀態，學生對問題中兩角的形成及關系都比較模糊，直接思考兩角的關系比較困難。因此，筆者將此題再次精心創編，把問題導向的題目變成規律探尋題，特別設計了不同顏色的透明卡片交疊在一起，展示動態變化的過程，讓學生可以更清晰地看到∠1、∠2、∠3的形成過程，從而抓住變化過程中變與不變的關聯，厘清各個角之間的關系，這樣∠1和∠2的關系也就呼之欲出。教學目標并不能止于解決一道題，要讓學生從一道題的解答轉變為對一類問題的思考，這樣的設計旨在培養學生能總結解決同一類問題的基本方法，在變化中抓住角的大小關系，發現其中不變的角，在三種不同擺放位置中抓住不變的量，便是解決這類問題的關鍵之處，在這樣的探究中形成屬于自己的策略系統，會舉一反三。在最后的思考環節中，教師引導學生自主探索圖釘釘在不同位置上的情況，著眼于鍛煉學生思維，有意識地從“模仿”到“建構”，使學生能夠解決形式不同但本質相同的問題。學生的數學素養在潛移默化中得到發展，思維水平不斷提升。

教師在本節課緊抓新舊知識之間的密切關系，加強知識系統化、結構化，從學生認知水平出發，教學設計符合學生的思維特點和認知規律，引導學生在知識關聯中完成知識建構。學生在角的分類環節中，在角度的變化中抓住量的關聯；在畫角環節中，以量角知識為抓手推動畫角步驟的生成；在探究變化角的活動里，抓住變與不變的關系，促進思維進階。在多次活動里，學生自主地思考、獨立地操作、從容地互助、自信地表達，生成了精彩的觀點和深刻見解，不僅獲得了數學知識和技能，還收獲了過程性的體驗和感悟，體會到了知識產生與發展的過程，感悟到了數學知識的緊密聯系。精心設計的教學過程讓學生思維由線性的漸入變成波浪式的卷入，將學生帶到思維的高地。