動力傳動機構四點接觸球軸承的振動特性分析

田凱文，邱 明,2，王東峰

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2. 高端軸承先進制造與智能裝備河南省工程技術研究中心，河南 洛陽 471003；3. 洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039)

軸承作為動力機械傳動機構的關鍵零部件，其性能直接影響著整個傳動裝置的效率和可靠性，除了滿足長壽命的要求外，軸承振動噪聲的控制也越來越嚴格。四點接觸球軸承因具有能夠承受雙向軸向負荷的特點，在動力機械傳動機構中的應用也越來越廣泛。

目前，有關滾動軸承振動機理的研究大多基于制造誤差引起的振動激勵[1]，且研究對象多集中在深溝球軸承和圓柱滾子軸承[2-5]，對四點接觸球軸承振動特性的研究卻鮮有報道。余光偉等[6]建立了考慮套圈波紋度的深溝球軸承動力學模型，分析了波紋度對深溝球軸承動態特性的影響。侯萍萍等[7-8]采用等效彈簧-質量模型分析了高速角接觸球軸承波紋度參數對軸承振動特性的影響。王曉明[9]以軸承套圈的徑向、軸向跳動為旋轉精度參數，建立了角接觸球軸承旋轉精度數值仿真模型，分析了軸承零件幾何誤差對旋轉精度的影響。顧曉輝等[10]分析了內、外圈波紋度最大幅值對滾動軸承-轉子系統的非線性動力學響應，用分形理論計算了不同波紋度幅值時的關聯關系。陳月等[11-12]提出了空載條件下考慮四點接觸球軸承套圈溝道圓度誤差的旋轉精度數值計算方法，研究了溝道圓度誤差幅值、諧波階次、鋼球直徑偏差、鋼球個數對軸承旋轉精度的影響。

綜上所述，已有的研究多數基于四點接觸球軸承制造誤差波紋度量與軸承振動量之間的關系，缺乏軸承結構參數對振動影響的研究。鑒于此，本文建立了3自由度的四點接觸球軸承的非線性振動模型，將彈性流體動力潤滑(elastohydrodynamic lubrication)引入到模型中，并采用定步長的四階Runge-Kutta法對四點接觸球軸承的非線性微分方程組進行了簡化求解，進而研究了四點接觸球軸承結構參數對軸承振動特性的影響?？蔀榈驼駝铀狞c接觸球軸承結構參數的選取提供理論依據。

1 四點接觸球軸承振動數學模型

1.1 四點接觸球軸承的接觸特性

四點接觸球軸承是一種可承受雙向軸向載荷的角接觸球軸承，其內、外圈滾道均為“桃形”，在加工過程中相當于兩個半內圈或外圈之間加有墊片，如圖1所示。圖1中：ri和re分別為內、外圈的溝曲率半徑；xi和xe分別為內、外圈溝曲率中心的偏心距。在四點接觸球軸承正常工作時，為了避免接觸區發生大的滑動摩擦，要求其為兩點接觸，即對于圖2中軸向載荷Fa1為點2和點4接觸，對于軸向載荷Fa2為點1和點3接觸。

圖1 四點接觸球軸承的加工墊片Fig.1 Machined gaskets for four-point contact ball bearing

圖2 四點接觸球軸承的基本結構Fig.2 Basic structure of four-point contact ball bearing

在軸承不承受外載荷的情況下，軸承的接觸角稱為原始接觸角。四點接觸球軸承的原始接觸角與原始徑向游隙和溝曲率中心偏心距有關，根據軸承的幾何關系，四點接觸球軸承的原始接觸角α0為[13]

(1)

式中，Gr為四點接觸球軸承的徑向游隙。

在軸承承受外載荷的情況下，軸承的接觸角為工作接觸角。當四點接觸球軸承受到軸向載荷時，四點接觸球軸承接觸角的變化如圖3所示。圖3中：α為軸承的工作接觸角；k為外圈的溝曲率中心；m和m′分別為接觸角變化前和變化后左半內圈的溝曲率中心；E和E′分別為接觸角變化前和變化后鋼球與左半內圈的接觸點；H和H′分別為接觸角變化前和變化后鋼球與外圈的接觸點。

圖3 四點接觸球軸承接觸角的變化Fig.3 Change of contact angle of four-point contact ball bearing

由圖3中的幾何關系可知

(2)

式中：δ鋼球和內、外滾道之間的接觸變形；B=fi+fe-1；Dw為鋼球直徑。

根據Hertz接觸理論，鋼球與套圈之間的接觸負荷可以表示為[14]

(3)

式中，Kn為負荷-變形常數。

當四點接觸球軸承承受軸向載荷時，各鋼球的負荷均勻分布，可以由式(4)求得[15]

(4)

式中，Fa為軸承承受的軸向載荷。

聯立式(2)～式(4)，并采用Newton-Raphson的方法，便可求出四點接觸球軸承受載后鋼球與套圈的實際工作接觸角。

1.2 油膜厚度及潤滑阻尼方程

潤滑是服役狀態下軸承正常運轉的前提，也是影響軸承振動特性的重要因素，因此在建立四點接觸球軸承振動模型時必須考慮潤滑的作用。由Hamrock和Dowson推導出的等溫條件下點接觸彈流油膜厚度計算方法，鋼球與套圈接觸中心油膜厚度h0為[16]

(5)

(6)

式中：ε為潤滑油黏度的壓力系數；η0為潤滑油的動力黏度；u為兩接觸表面的平均速度；Rx為沿鋼球滾動方向的當量曲率半徑；Ry為軸承軸向平面內的當量曲率半徑；K為橢圓率；E0為當量彈性模數；Q為鋼球與套圈的接觸負荷；dm為軸承的節圓直徑；n為軸承內圈轉速；γ為無量綱幾何參數；fj為軸承內、外套圈的溝曲率半徑系數。

阻尼是振動方程中不可忽略的因素，軸承的阻尼主要考慮潤滑油的阻尼。圖4為EHL條件下鋼球與套圈的接觸模型，高壓使得Hertz接觸區的油膜完全剛化，因此忽略Hertz接觸區的阻尼，潤滑油的阻尼主要來自油膜的入口區。

圖4 鋼球與套圈的接觸模型Fig.4 Contact model between steel ball and bearing ring

潤滑油的阻尼可以表示為[17]

(7)

式中，a為鋼球與套圈接觸區的短半軸。

四點接觸球軸承在正常工作狀態下，鋼球同時與內、外圈接觸形成潤滑油膜，因此潤滑油的總阻尼是由內、外圈的油膜復合而成[18]

(8)

式中，ci，ce分別為鋼球與內、外圈的油膜阻尼。

式(8)表示的是工作狀態下單個鋼球與內、外圈接觸時的阻尼，此時整個四點球軸承的油膜阻尼為

(9)

式中：cx，cy，cz分別為油膜阻尼在x，y，z方向上的分量；Z為鋼球的數量；αj為接觸角。

1.3 四點接觸球軸承的振動方程

根據GB/T 32333—2015《滾動軸承 振動(加速度)測量方法及技術條件》規定，在測量軸承的振動時，內圈旋轉，且軸承受到一定的軸向載荷，通過傳感器測量軸承外圈的振動，因此研究軸承的振動實際上討論的是軸承外圈的振動。

鋼球引起的彈性接觸振動是四點接觸球軸承振動的基本形式，是由結構決定的軸承固有特性。參照球軸承接觸振動理論，將四點接觸球軸承的鋼球視為無質量的非線性彈簧，將與兩個滾道的接觸視為連著有一定質量的自由質點，由此建立了四點接觸球軸承的振動坐標系如圖3所示，其中O-XYZ為固定坐標系，O-nτ為自然坐標系。

作用在第j個鋼球上的赫茲接觸力為

(10)

式中，Kj為剛度系數，由鋼球與內、外圈之間的剛度系數共同決定，由式(11)計算得到

(11)

因此，要計算作用在鋼球上的接觸力，首先應先計算鋼球與套圈之間的彈性變形量δj，即外圈振動前和振動后內、外圈溝曲率中心距離的差值。

內圈和外圈溝曲率中心的位置向量(如圖5所示)在外圈無位移之前為

(12)

(13)

其中，

θj=ωct+2π(j-1)/Z,
Ri=0.5(dm+Bdcosα),
Re=0.5(dm-Bdcosα),
Ze-Zi=Bdsinα

(14)

式中：ωc為保持架的旋轉角速度；Zi和Ze為內、外圈溝道曲率中心的初始位置；Bd為內、外圈溝曲率中心之間的初始距離，由式(15)計算

Bd=ri+re-Dw-Grcosα

(15)

考慮外圈5個方向的位移(直線位移x，y，z；旋轉位移θx，θy)后，內圈和外圈溝曲率中心的位置向量為

OB′=xi+yj+zk+T×Rej,
OA′=OA

(16)

式中，T為變換矩陣，其表達式為

(17)

圖5 四點接觸球軸承的振動坐標系Fig.5 Vibration coordinate system of four-point contact ball bearing

式中，φ，ψ，χ分別為新坐標系關于原坐標系的旋轉角。其中：φ為X軸的旋轉角；ψ為Y軸的旋轉角；χ為Z軸的旋轉角。在本模型中，φ，ψ，χ分別為

φ=θx→0，ψ=θy→0，χ=0

sinθx≈θx，sinθy≈θy，cosθx≈1, cosθy≈1

(18)

將式(18)代入式(17)，變換矩陣T變為

(19)

將式(19)代入式(16)，內圈和外圈溝曲率中心位置向量變為

(20)

AB′=OB′-OA′=

(21)

其中，令

(22)

則向量AB′的方向角為

(23)

式中，φj，ψj，χj分別為向量AB′與X軸、Y軸和Z軸之間的夾角。

由式(22)可知，考慮外圈5個方向的振動位移后，內、外圈溝曲率中心的距離為

(24)

第j個鋼球上的彈性變形量即為外圈振動前和振動后內、外圈溝曲率中心距離的差值

(25)

將式(25)代入式(10)，外圈和鋼球之間的接觸力Fj變為

(26)

對上述方程進行簡化，只考慮外圈3個方向的平動，則四點接觸球軸承的非線性振動方程為

(27)

式中：m為四點接觸球軸承外圈的質量；g為重力加速度。

2 模型驗證

圖6 求解流程圖Fig.6 Solution flow chart

以QJ214四點接觸球軸承為研究對象，其主要結構參數如表1所示，設定軸承內圈轉速為3 240 r/min，軸承外圈質量為0.515 kg，軸承受到的軸向載荷為3 500 N。先不考慮潤滑的影響，通過上述模型計算得到軸承徑向方向的振動加速度仿真信號如圖7所示，對振動信號進行FFT分析，得到振動信號的頻譜圖，如圖8所示。

表1 軸承結構參數Tab.1 Structure parameters of bearing

圖7 理想狀況下軸承振動仿真結果Fig.7 Simulation results of bearing vibration under ideal conditions

圖8 振動信號的頻譜圖Fig.8 Spectrum diagram of vibration signal

由圖8可知，軸承y方向振動加速度信號的頻譜圖在347 Hz處出現明顯峰值，其他頻率成分均為374 Hz的倍頻成分。由于徑向力的作用，在四點接觸球軸承載荷區內，鋼球奇偶交替變換，造成軸承外圈以外圈通過頻率(ball pass frequency on outer race，BPFO)振動，即鋼球通過四點接觸球軸承外圈溝道上一點的頻率[19-20]。

鋼球通過外圈溝道上一點的理論頻率為

(28)

由式(28)可知，理論計算值345.6 Hz與仿真計算值347 Hz之間的誤差為0.405%，結果基本一致，驗證了數值仿真結果的正確性。

3 四點接觸球軸承振動特性分析

設軸承在室溫下工作時，采用10W-40型號的潤滑油，其黏壓系數ε為2.21×10-6Pa-1，動力黏度η0為0.063 38 Pa·s。為了對四點接觸球軸承的振動進行定量分析，采用振動加速度級L作為指標來描述整個軸承的振動水平[21]

(29)

式中：ai為振動加速度的均方根值；a0為振動標準參考值，其值為9.81×10-3m/s2。

3.1 徑向游隙對軸承振動的影響

當四點接觸球軸承內圈轉速為3 240 r/min，軸向載荷為3 500 N，鋼球數量為15個時，徑向游隙對軸承振動加速度的影響如圖9所示。從圖9可以看出，徑向游隙對軸承振動加速度的影響比較顯著，隨著徑向游隙的增大，軸承振動加速度的幅值逐漸增大。圖10為徑向游隙對軸承振動加速度級的影響。由圖10可知，當軸承徑向游隙從45 μm增大到95 μm時，軸承的振動加速度級增大了14%，且徑向游隙值越大，振動加速度級的增幅越大。

圖9 軸承徑向游隙對軸承振動加速度的影響Fig.9 Effect of bearing radial clearances on vibration acceleration

圖10 軸承徑向游隙對軸承振動的影響Fig.10 Effect of bearing radial clearances on vibration value

四點接觸球軸承在工作時為了避免出現多點接觸的情況，往往需要調整軸承的徑向游隙來滿足軸承工作接觸角大于墊片角的要求，因此在保證四點接觸球軸承呈兩點接觸的狀態下，應該盡量選較小徑向游隙值來降低軸承的振動水平。

3.2 滾動體數量對軸承振動的影響

當四點接觸球軸承內圈轉速為3 240 r/min，軸向載荷為3 500 N，徑向游隙為75 μm時，鋼球數量對軸承振動加速度的影響如圖11所示。從圖11可以看出，隨著鋼球數量的增加，軸承振動加速度的幅值略有增大。從圖12可以看到，滾動體數量與軸承振動加速度級之間近似呈線性關系，當滾動體數量由12個增大到17個時，軸承的振動加速度級只增大了1.62%。

圖11 滾動體數量對軸承振動加速度的影響Fig.11 Effect of bearing rolling number on vibration acceleration

圖12 滾動體數量對軸承振動的影響Fig.12 Effect of bearing rolling number on vibration value

當鋼球數量增多時，單個鋼球與套圈的接觸載荷減小，彈性接觸變形減小，單個鋼球引起的振動更小，但是對于整個四點接觸球軸承，鋼球個數的增加也意味著振動噪聲源數量的增加，將會導致軸承振動水平的增大。因此，從四點接觸球軸承整體設計的角度出發，減小滾動體數量可以降低軸承的振動，但是降低的程度有限。

3.3 外圈溝曲率半徑系數對軸承振動的影響

當四點接觸球軸承內圈轉速為3 240 r/min，軸向載荷為3 500 N，徑向游隙為75 μm，鋼球數量為15個，內圈溝曲率系數為0.517時，外圈溝曲率半徑系數對軸承振動加速度的影響，如圖13所示。從圖13可以看出，當外圈溝曲率半徑系數變化時，軸承振動加速度的幅值變化比較明顯。隨著外圈溝曲率半徑系數由0.51變化到0.54，軸承的振動加速度級先減小后增大(如圖14所示)，呈現出非線性特性，且當外圈溝曲率半徑系數為0.52時，軸承的振動處于一個較低水平，與外圈溝曲率半徑系數為0.54時相比，軸承的振動加速度級降低了25.08%。因此四點接觸球軸承外圈溝曲率半徑系數是影響軸承振動的關鍵結構參數，球軸承溝曲率半徑系數的選取一般為0.510～0.535，對于四點接觸球軸承，將外圈溝曲率半徑系數控制在0.515～0.525更有利于降低軸承的振動。

圖13 外圈溝曲率半徑系數對軸承振動加速度的影響Fig.13 Effect of outer groove curvature radius cofficients on vibration acceleration

圖14 外圈溝曲率半徑系數對軸承振動的影響Fig.14 Effect of outer groove curvature radius cofficients on vibration value

3.4 內圈溝曲率系數對軸承振動的影響

當四點接觸球軸承內圈轉速為3 240 r/min，軸向載荷為3 500 N，徑向游隙為75 μm，鋼球數量為15個，外圈溝曲率系數為0.529時，內圈溝曲率半徑系數對軸承振動加速度的影響，如圖15所示。對比圖13和圖15可以看出，內圈溝曲率半徑系數變化對軸承振動加速度幅值變化的影響沒有外圈溝曲率半徑變化時顯著。由圖16可知，當內圈溝曲率半徑系數從0.505變化到0.535時，軸承的振動加速度級也呈現出先減小后增大的特性，且當內圈溝曲率半徑系數大于0.52時，軸承的振動加劇。因此將四點接觸球軸承的內圈溝曲率半徑系數控制在0.505～0.515更有利于降低軸承的振動。

圖15 內圈溝曲率半徑系數對軸承振動加速度的影響Fig.15 Effect of inner groove curvature radius cofficients on vibration acceleration

圖16 內圈溝曲率系數對軸承振動的影響Fig.16 Effect of inner groove curvature radius cofficients on vibration value

3.5 潤滑對軸承振動的影響

當四點接觸球軸承內圈轉速為3 240 r/min，軸向載荷為3 500 N，徑向游隙為75 μm，鋼球數量為15個時，考慮潤滑與不考慮潤滑時軸承的振動加速度變化，如圖17所示。不考慮軸承潤滑時，忽略了潤滑油膜厚度和潤滑阻尼，此時軸承振動加速度的波動明顯，考慮潤滑時，振動加速度的波動得到抑制。因此，潤滑劑可以有效緩和沖擊，降低軸承的振動。

圖17 潤滑對軸承振動加速度的影響Fig.17 Effect of lubrication on bearing vibration acceleration

潤滑劑阻尼對軸承振動加速度級的影響，如圖18所示。由圖18可知，隨著潤滑劑阻尼的增大，軸承的振動隨之降低，且振動降低的幅度也在逐漸減小。潤滑劑阻尼與潤滑劑的黏度呈正相關，潤滑劑黏度越大，潤滑劑的阻尼也越大。從降低軸承振動的角度，應該選用較大黏度的潤滑劑，但是軸承中潤滑劑的流體動力損耗Mν也與黏度有關[22]

(30)

式中：fν為與軸承類型和潤滑方式有關的系數；ν為潤滑劑的運動黏度，運動黏度與動力黏度之間的關系為

ν=η0/ρ

(31)

式中，ρ為潤滑劑的密度。

圖18 潤滑阻尼對軸承振動的影響Fig.18 Effect of lubricant damping on bearing vibration value

由式(30)和式(31)可知，潤滑劑黏度越大，潤滑劑引起的流體動力損耗也越多，從而會導致軸承的總功率損耗增大，因此選擇潤滑劑時應該考慮軸承的綜合性能指標。

4 試驗驗證

本文利用軸承動態性能試驗臺采集四點接觸球軸承的徑向振動加速度信號，通過與仿真結果進行對比分析來驗證數值仿真模型的可靠性。軸承動態性能試驗臺如圖19所示。

圖19 軸承動態性能試驗臺Fig.19 Bearing dynamic performance test bench

4.1 試驗方案

試驗軸承為QJ214四點接觸球軸承，試驗過程令內圈旋轉，轉速為3 240 r/min，潤滑油溫度為30 ℃。通過液壓加載裝置，分別給軸承施加1 500 N，3 500 N，5 500 N，7 500 N，9 500 N的軸向載荷，每種工況下軸承的運轉時間為30 min。為了減小測量誤差，每種工況重復3次試驗，并利用振動信號采集儀采集每種工況下的振動加速度信號，采樣頻率為25.6 kHz，每次采集1 s的數據。

4.2 試驗對比

不同軸向載荷下的試驗結果如表2所示，將三次試驗測量的軸承振動加速度級的平均值與仿真結果進行對比，對比結果如圖20所示。由圖20可知，隨著軸向載荷的增大，軸承的振動水平降低，且仿真值與試驗值誤差在7%以內，驗證了仿真模型的可靠性。

表2 試驗結果Tab.2 Test results

圖20 試驗結果對比Fig.20 Comparison of test results

5 結 論

(1) 合理優化四點接觸球軸承的結構參數，能從設計角度降低軸承的振動。如通過減小軸承的徑向游隙和滾動體數量可以降低軸承的振動值，對于QJ214軸承，將外圈溝曲率半徑系數控制在0.515～0.525，內圈溝曲率半徑系數控制在0.505～0.515更有利于降低軸承的振動。

(2) 潤滑劑的阻尼越大，軸承的振動越小，選擇較大黏度的潤滑劑可以進一步降低軸承的振動。

(3) 對四點接觸球軸承施加合理的軸向載荷，可以抑制軸承的振動，且在一定范圍內軸向載荷越大，軸承的振動越小。