阻抗和厚度梯度變化準周期結構水下聲學特性研究

杜逸眉，胡 博,2,3，李明杰，時勝國,2,3，時 潔,2,3

(1. 哈爾濱工程大學 水聲工程學院，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學 水聲技術重點實驗室，哈爾濱 150001；3. 哈爾濱工程大學 工業和信息化部 海洋信息獲取與安全工信部重點實驗室，哈爾濱 150001)

周期結構是由兩種或兩種以上的彈性介質按照一定的周期性排列組合而成的，其基本特征就是它的帶隙特性[1-4]。功能梯度變化材料是物理特性或功能沿厚度方向呈梯度變化的一種新型復合材料，它具有物理特性連續變化、適應環境性好和可設計性的特點,表現出獨特的物理特性，被廣泛應用于航空、能源、電子、醫學等領域[5-8]。準周期結構是在周期結構中人為地引入一定的缺陷使其原本的周期性被破壞后形成的結構，其不僅具備周期結構原本的帶隙特性，且材料可選擇范圍廣、帶隙變化能力強、還能夠實現頻率的選擇性等，因此在減振降噪、濾波、光學、電學等方面具有很大的潛力[9-12]。

國內外學者已經進行了許多關于周期或準周期結構、功能梯度材料的研究工作。Liu等[13-14]提出了一種由多孔材料、微穿孔板及空氣層構成的周期復合材料，復合結構顯著增強了微穿孔板的中低頻吸聲性能，并采用等效模型描述振子系統，利用薄板理論和Biot理論建立了相應的聲振耦合理論模型，為寬頻減振降噪和中低頻隔聲應用提供參考。喬厚等[15]結合多孔介質和周期結構，討論研究了一種新型含多孔介質的周期復合結構，維中低頻隔聲和寬頻減振降噪提供了參考。趙宏剛等[16]研究了含有周期球形空腔的橡膠覆蓋層的消聲性能，設計了雙層消聲覆蓋層，有效拓展了消聲帶寬。祁鵬山等[17]設計了一種層狀五組元雙周期結構聲子晶體，并采用傳遞矩陣法推導了結構的能帶，在帶隙范圍內彈性聲波的傳播能夠得到有效抑制，在降低帶隙頻率的同時有效減輕了結構質量。Sun等[18-20]研究了聲波斜入射阻抗梯度變化介質的水中聲學特性，通過在結構表面覆蓋阻抗梯度介質可以有效降低低頻聲反射，并分析了阻抗失配條件對結構聲學特性的影響。Wang等[21]提出了含有半徑和間距梯度變化的圓柱空腔的軟彈性介質的吸聲特性，通過傳遞矩陣法和數值仿真進行研究，實現了低頻寬帶的聲吸收，對聲學覆蓋層設計和減振降噪有重要意義。一部分學者則通過在周期結構中引入梯度化思想形成準周期結構。準周期結構的理論研究主要分為機理研究與計算方法兩個方面[22-25]，對于計算方法，其中最基礎的方法為傳遞矩陣法，該方法計算方便，物理含義明確且公式推導容易。在材料組成方面，準周期結構材料的可選擇范圍較廣，可以利用梯度折射率材料、InSb材料、均勻材料和流體材料等[26-27]，通過多種不同均勻材料交替排列周期復合成材料常數在宏觀上連續變化的功能梯度材料，拓寬了功能梯度材料的使用范圍。 Badreddine等[28]研究了由周期性的階梯柱和孔組成的混合聲子晶體，產生了低頻寬帶的聲禁帶。D’Alessandro等[29]研究了通過在聚酰胺中加入添加劑制造了單一材料構成的三維聲子晶體，通過有限晶體結構實現了超寬完整帶隙。Lee等[30]研究了由阻抗非均勻鏡像分布的單元構成的一維寬帶聲子晶體濾波器；研究表明，與利用常規材料構成的周期結構相比，利用阻抗梯度材料構成的準周期結構在相同頻段內將會出現更多的帶隙結構，能夠有效地改變準周期結構帶隙的起始頻率。

針對周期結構帶隙寬度和低頻性能有限，功能梯度介質制備復雜等問題，本文將周期結構和功能梯度材料相結合，結構的阻抗與厚度均設置為梯度變化，提出了厚度和阻抗隨周期數梯度變化的準周期結構。首先建立基于梯度變化的準周期結構模型，利用傳遞矩陣方法，通過數值仿真分析了材料厚度及阻抗的對準周期結構帶隙特性的影響，同時實現了結構帶隙的低起始頻率和高截止頻率，并制備試驗樣品進行了相關水下驗證試驗。

1 梯度變化的準周期結構模型

1.1 模型結構設計

根據已知文獻的相關內容知道，在準周期結構中使用阻抗梯度材料能夠有效降低結構第一帶隙的起始頻率；將準周期結構中各層材料的厚度設置為梯度遞增能夠有效地提高結構第一帶隙的截止頻率。但是阻抗梯度材料制備的復雜性對準周期結構特性存在很大限制，為了實現準周期結構第一帶隙的低起始頻率與高截止頻率，本文在現有規律基礎上利用不同阻抗的均勻材料代替阻抗梯度材料，將具有不同厚度和阻抗的均勻材料與周期結構結合，設計了如圖1所示的阻抗與厚度梯度變化的準周期結構。

圖1 阻抗和厚度梯度變化的準周期結構模型Fig. 1 Model of quasi-periodic structure with gradient change of impedance and thickness

在圖1中平面聲波pi由介質1沿x軸正向垂直入射到準周期結構左側面，從準周期結構右側面處透射到介質2中，pr與pt分別表示反射聲波與透射聲波；該結構共包含N個周期，兩層材料An與Bn(n=1,2,…,N)構成一個周期，An與Bn沿x方向交替排列形成準周期結構；第n個周期中材料的層厚度dn隨周期數增大而增大，且厚度變化量為Δd=dn-dn-1；介質1和介質2的特性聲阻抗分別為Z1和Z2，材料An的阻抗ZAn隨周期數增大逐漸減小,且阻抗變化量為ΔZA=ZAn-ZAn-1，材料Bn的阻抗ZBn保持恒定；結構中各層材料界面處的坐標分別為0，xA1，xB1，xA2，xB2，…，xAN，xBN。

1.2 模型數值計算方法

為了進行圖1所示模型的仿真研究，分析其帶隙特性及參數變化對其帶隙的影響規律，本文借鑒喬厚等研究中的傳遞矩陣法分析模型的聲學特性。

對于圖1中準周期結構，在準周期結構左側邊界即介質1與層A1的分界面0處，P1(0)和PA1(0)分別為介質1和介質A1在坐標0處的聲壓，聲壓傳遞函數關系為

(1)

式中,q1=Z1/ZA1。同樣在準周期結構右側邊界即層BN與介質2的分界面xBN處，PBN(xBN)和P2(xBN)分別為介質BN和介質2在坐標xBN處的聲壓，聲壓傳遞函數關系為

(2)

式中，q2=ZBN/Z2。第i個周期介質Ai在左側界面處的聲壓PAi(xBi-1)與第i+1個周期介質Ai+1在左側界面處的聲壓PAi+1(xBi)之間的關系為

PAi(xBi-1)=FAiHAiFBiHBiPAi+1(xBi)

(3)

Mi=FAiHAiFBiHBi,(i=1,2,…,N-1)

根據傳遞關系，該結構總的傳遞矩陣為M

M=H1M1…MN-1FANHANFBNH2

(4)

聲波由介質1經過準周期結構進入到介質2時，P1(0)和P2(xBN)關系為

(5)

R=m21/m11,T=1/m11

(6)

2 結構帶隙特性研究

2.1 模型帶隙特性驗證

為了研究阻抗和厚度梯度變化的準周期結構的帶隙特性，分析材料厚度和阻抗參數的對準周期結構帶隙的影響，根據式(1)～式(6)所示的傳遞矩陣法，利用MATLAB軟件對準周期結構帶隙特性進行相關仿真研究。

介質1和介質2均為水，定義傳統周期結構1周期數同為5，每層材料厚度均為3 cm，層的阻抗為An(n=1,2,3,4,5)，Bn層的阻抗為43.2×106kg/(m2·s)-1；定義僅厚度梯度變化的準周期結構2周期數同為5，An(n=1,2,3,4,5)層的阻抗為2.2×106kg·(m2·s)-1，Bn層的阻抗為43.2×106kg·(m2·s)-1，各層材料的厚度參數d1與Δd與表1中準周期結構的厚度參數一致；定義阻抗和厚度梯度變化的準周期結構3的參數如表1所示。圖2為三種結構的帶隙特性對比圖。

表1 準周期結構相關參數

圖2 三種結構的帶隙特性對比Fig.2 Band gap characteristics comparison of three structures

從圖2中可以得到，傳統周期結構1、準周期結構2、準周期結構3的分別在較寬的頻率范圍7 240～27 380 Hz，6 650～41 550 Hz，4 880～45 660 Hz出現了明顯的第一帶隙，帶隙內聲波發生高反射和低透射。準周期結構3與傳統周期結構1和準周期結構2相比較具有較低的第一帶隙起始頻率，同時具有更高的第一帶隙截止頻率從而得到更寬的帶隙寬度。準周期結構2第一帶隙的起始頻率較同等厚度的傳統周期結構1降低了8.15%，截止頻率提高了51.75%，帶隙寬度增加了73.29%；準周期結構3第一帶隙的起始頻率較同等厚度的傳統周期結構1降低了32.60%，截止頻率提高了66.76%，帶隙寬度增加了102.48%。

當結構的周期數為5時，與傳統周期結構1相比，在阻抗和厚度梯度變化的準周期結構3中，厚度隨周期數遞增會使得反射波在前兩個周期內的波程差減小而在后兩個周期內的波程差增大，從而使得頻率更低和更高的波都更容易發生Bragg散射，帶隙變寬；而當第An(n=1,2,…,N)層材料的阻抗隨周期數的增大而減小時，相鄰兩層材料之間的阻抗差值逐漸增大，從而使得反射波的反射量增大，導致全頻段上的聲波都將更容易發生Bragg散射，表現為第一帶隙的起始頻率和截止頻率同時降低；阻抗與厚度同時梯度變化，厚度梯度變化在一定程度上抵消了阻抗梯度變化導致的截止頻率的降低，使得結構整體上具有較好的帶隙特性。利用阻抗和厚度梯度變化的準周期結構第一帶隙低頻寬帶的帶隙特性，可以實現對聲波的有效調控，解決相關的減振降噪問題。下面針對阻抗和厚度變化對準周期結構帶隙特性的影響規律進行仿真研究。

2.2 參數變化對模型帶隙特性的影響。

帶隙的頻率范圍、對聲波的衰減能力與準周期結構的阻抗和厚度密切相關。以圖1中的模型與表1中的相關參數為例，設定介質1和介質2均為水，研究在相同厚度條件下，厚度與阻抗參數不同對準周期結構帶隙特性的影響，對準周期結構在不同條件下的透射系數曲線進行仿真研究。

2.2.1 厚度對帶隙特性的影響

僅改變表1中的材料厚度參數d1和Δd得到厚度變化規律不同的三種結構，結構1的d1和Δd為1 cm和1 cm、結構2的d1和Δd為2 cm和0.5 cm、結構3的d1和Δd為2.6 cm和0.2 cm，圖3為三種不同厚度梯度的準周期結構的透射系數曲線，以及低頻起始頻率處和高頻截止頻率處的局部透射系數圖。

圖3 三種準周期結構的透射系數曲線Fig.3 Transmission coefficient curves of three quasi-periodic structures

從圖3可以看出，當準周期結構的總厚度相同時，結構1的第一帶隙起始頻率最低，相鄰兩個周期間厚度的差值Δd越大，準周期結構第一帶隙起始頻率越低；反射系數極小值對應透射峰，相鄰兩個周期間厚度的差值Δd越大，在第一帶隙前透射峰總體像低頻方向移動且峰值逐漸減小，當透射峰值減小幅度的較大時出現透射峰數目越少。與帶隙起始頻率變化規律相同，結構厚度梯度Δd為1 cm時的第一帶隙截止頻率最低為45 800 Hz左右，Δd為0.5 cm和0.2 cm時的第一帶隙截止頻率為67 970 Hz左右。從Bragg散射分析其機理，當Δd越大時發生相長干涉的兩束波的波程差越大，根據Bragg方程D=kλ，(D為波程差，k為正整數，λ為散射波的波長)，波長較長即頻率較低的聲波將更容易出現全反射即零透射，表現在帶隙上即為第一帶隙起始頻率和透射峰向低頻方向移動。根據式(6)中的透射系數計算公式，假設材料中聲速相等，在同一頻率下波數也相等，推測出厚度梯度變化的準周期結構具有n個周期時，透射系數為

(7)

式中，C1，C2，…，Cn為一系列常數，其絕對值逐漸減小，且常數的差值Cn-Cn+1逐漸增大。當結構的總厚度恒定，厚度逐漸遞增大時的透射系數小于每層材料的厚度相等時的透射系數，且厚度梯度Δd不能太大，一般不大于第一周期的層厚度d1?？梢缘玫浇Y論：對于厚度和阻抗梯度變化的準周期結構，相鄰兩個周期間厚度的差值Δd越大，準周期結構的第一帶隙起始頻率越低帶隙特性越好。

2.2.2 阻抗對帶隙的影響

改變表1中的材料特性阻抗參數ZA1和ΔZ得到阻抗變化規律不同的三種結構，結構1的ZA1和ΔZ分別為2.2×106kg·(m2·s)-1和0.2×106kg·(m2·s)-1、結構2的ZA1為2.6×106kg·(m2·s)-1，ΔZ為0.3×106kg·(m2·s)-1、結構3的ZA1和ΔZ為2.2×106kg·(m2·s)-1和0.3×106kg·(m2·s)-1，三種不同阻抗梯度的準周期結構所對應的透射系數曲線以及低頻起始頻率處和高頻截止頻率處的局部透射系數圖，如圖4所示。

圖4 三種準周期結構的透射系數曲線Fig.4 Transmission coefficient curves of three quasi-periodic structures

從圖4可以發現，當An層材料中阻抗的最小值相等，ΔZA越大準周期結構的第一帶隙起始頻率和截止頻率更高，第一通帶中透射峰的中心頻率將向高頻方向移動，透射峰峰值小幅度減??；當An層材料中阻抗的最大值相等，ΔZA越大準周期結構第一帶隙起始頻率越低截止頻率更高，第一通帶中透射峰中心頻率將向低頻方向移動，透射峰峰值仍小幅度減??；此外從圖4中還可以看出，阻抗的梯度變化ΔZA增大，第一通帶中透射峰的峰值減小。由于ΔZA越大，使得相鄰兩層材料之間的阻抗差值逐漸增大，聲波在各交界面處的反射與散射量越大導致反射系數增大，阻抗差導致的反射變化與頻率無關，最終進入到介質2中的聲波越少導致透射系數減小，表現在帶隙上即為帶隙起始頻率的降低和截止頻率的升高即帶隙寬度增加，第一帶隙前的通帶中的各個透射峰的峰值也均會減小。第An層材料阻抗最大值的改變對結構聲學特性的影響小于第An層材料的阻抗最小值改變的影響。

對于阻抗和厚度梯度變化的準周期結構，當結構的總厚度恒定時可以得到：若第An層材料的阻抗最大值恒定，ΔZA越大，準周期結構第一帶隙起始頻率越低，第一帶隙前的通帶中透射峰峰值更小，且透射峰整體頻率更低；若第An層材料的阻抗最小值恒定，ΔZA越大，準周期結構第一帶隙起始頻率越高，第一帶隙前的通帶中透射峰峰值更小，且透射峰整體頻率更低。

對比圖3中的結構1和結構2、圖4中的結構1和結構3可以得到，當厚度的變化量Δd較表1變化50%即由1 cm變為0.5 cm時，準周期結構第一帶隙起始頻率的變化量小于1 kHz，而當阻抗的變化量ΔZA較表1變化50%，0.2×106～0.3×106kg·(m2·s)-1時，其第一帶隙起始頻率的變化量大于1 kHz，所以ΔZA即阻抗變化量對準周期結構的第一帶隙起始頻率的影響將大于厚度變化量Δd。

3 試 驗

3.1 試驗概況

設計加工制作試驗樣品，依據國家標準GB/T 5266—2006，采用脈沖管法對樣品水中聲學性能進行試驗測量，主要針對樣品的反射系數進行測量。整個試驗儀器連接如圖5所示，試驗測試系統由脈沖聲管、標準反射體、收發合置換能器、Agilent33522A信號源、B & K2713功率放大器、B & K2636測量放大器、B & K1617帶通濾波器、Agilent3034A示波器組成。脈沖聲管內徑為5.6 cm半徑r為28 mm、外徑為11.6 cm、高度H為4 m；聲學末端的標準反射體為直徑5.5 cm、厚度7.1 cm的圓形鋼塊；樣品固定在距離管口的1/3處；收發合置換能器的工作頻率范圍為5～50 kHz，諧振頻率f0在39 kHz左右，品質因數Q，試驗測量頻率為6～22.5 kHz；信號源產生的脈沖信號的峰峰值為500 mV，脈沖寬度為50 ms，脈沖周期為100 ms；功率放大器放大量為54 dB，測量放大器放大量為10 dB。發射脈沖信號中穩態正弦波的個數有關，其測試頻率下限fLow為

(8)

總的脈沖寬度τ滿足

(9)

本次試驗所制備的樣品共由3個周期共6層材料組成，直徑均為5.5 cm，每個周期內兩種材料層厚度相等，3個周期中材料的層厚度分別為d1，d2，d3，6層材料中奇數層的材料分別為ZA1，ZA2和ZA3，偶數層的材料均為鋼，制備的樣品結構參數如表2所示。

圖5 試驗儀器Fig.5 Experimental instrument

3.2 試驗結果分析

為了驗證阻抗和厚度梯度變化的影響規律，將試驗測得的反射系數與仿真分析結果進行對比，試驗測量了樣品在6～22 kHz頻率范圍內的水下聲學性能。圖6(a)～圖6(c)分別給出了3塊樣品的仿真結果和試驗數據對比圖。

表2 樣品參數表

圖6 仿真和試驗結果對比Fig.6 Comparison of simulation and experimental results

如圖6所示，3塊準周期結構樣品的反射系數均在7 kHz左右存在一個谷值，帶隙的起始頻率分別為8.8 kHz，8.6 kHz和8.2 kHz，與仿真結果中帶隙的起始頻率位置基本相同。圖6中17 kHz以下的中低頻段，試驗測量結果圍繞仿真值振蕩，平均誤差小于0.15；在大于17 kHz高頻段樣品的試驗結果與仿真結果相差較大，其中樣品2最大誤差值大于0.3。由于頻率較高時波長較短，樣品制備時厚度的不精確和聲管中介質雜質等會對試驗測量結果產生影響，同時受試驗儀器設備、環境等限制，所以試驗與仿真結果之間存在一定誤差。

為了驗證厚度梯度和阻抗梯度不同對結構聲學特性的影響，比較樣品的反射系數測量結果如圖7(a)和圖7(b)所示。從圖7(a)中可以看出，樣品1的帶隙起始頻率為8.8 kHz高于樣品3的帶隙起始頻率8.2 kHz時。這是因為兩塊樣品的阻抗梯度相同，但是樣品1的Δd=0.2cm小于樣品3的Δd=0.5cm，可以說明相鄰兩個周期層厚度的差值Δd越大，準周期結構的第一帶隙起始頻率越低，與仿真結論一致。

圖7 試驗結果對比Fig.7 Comparison of experimental results

從圖7(b)可以看出樣品2和樣品3的帶隙分別在頻率8.8～18.5 kHz和8.3～19 kHz內，帶隙內反射系數大于0.7，樣品3的帶隙起始頻率更低且帶隙寬度更寬。這是因為兩塊樣品的厚度梯度相同，但是樣品2的ΔZA小于樣品3的相應值，可以說明相鄰兩個周期間的阻抗差值ΔZA越大，準周期結構第一帶隙起始頻率越低且帶隙更寬，與仿真結論一致。

4 結 論

本文提出了一種厚度和阻抗梯度變化的準周期結構模型。研究了阻抗梯度和厚度梯度對準周期結構帶隙特性的影響規律，進行了準周期結構水下聲學特性仿真和試驗研究。研究表明所設計的準周期結構比傳統周期結構具有頻率更低帶隙更寬的第一帶隙。準周期結構中相鄰周期的厚度和阻抗差值越大帶隙特性越好。本文提出的結構在減震、降噪、濾波及頻率的選擇等方面都具有一定的實用價值，且結構簡單、可設計性強，對水下吸聲隔聲結構設計具有一定參考意義。