基于改進復合三角函數的伺服壓力機軌跡規劃研究

徐道春 呂明青 邵珠峰 陳涵玉 胡益瑋 王傳英

(1.北京林業大學工學院，北京 100083；2.北京林業大學林業裝備與自動化國家林草局重點實驗室，北京 100083；3.清華大學摩擦學國家重點實驗室，北京 100084；4.清華大學精密超精密制造裝備及控制北京市重點實驗室，北京 100084；5.濟南二機床集團有限公司，濟南 250022)

0 引言

隨著汽車工業的高速發展，高強度鋼板、鋁合金板材、非等厚拼焊鋼板等在汽車中的應用日益普及。機械壓力機的滑塊運動特性單一、柔性差，難以適用不同材料的沖壓成形工藝。伺服壓力機是基于伺服控制技術的一種新型沖壓成形設備，可靈活調整滑塊的運動曲線，能夠滿足不同材料的多種成形工藝要求，具有加工柔性好、成形精度高、節能增效等特性[1-2]。同時，大型伺服壓力機滑塊等主傳動部件的慣性較大，且速度變化劇烈，合理的運動軌跡能有效降低系統能耗，提高加工精度[3]。伺服壓力機主傳動機構軌跡規劃的重點是主驅動伺服電機的加減速控制。

目前加減速控制算法主要包括S形曲線加減速[4-8]、多項式加減速[9]、三角函數加減速[10]、NURBS曲線[11]、Bezier曲線[12-14]、B樣條曲線[15-16]等。其中，S形曲線加減速存在加加速度突變，三角函數和多項式加減速滿足加速度和加加速度連續的要求，避免了加工的柔性沖擊[17]，NURBS和B樣條曲線具有局部可調性，使對關鍵點的建模更靈活，但會在求解中導致最優關鍵點的不唯一，Bezier曲線的每個控制點均影響曲線形狀，求解復雜。郝齊等[6]采用S形曲線優化了軌跡的最大加速度，降低了最大驅動力及對電動機的要求。劉志峰等[7]采用五階段S形曲線優化了加加速度幅值來抑制同步帶傳動印刷機系統的扭振。張相勝等[8]將傳統S形曲線加減速控制模型的加加速度變化規律設計為三角形狀，以此解決算法本身存在的加加速度階躍的問題。宋清玉等[18]采用2個不同周期的三角函數疊加進行加減速模型構造，從而降低對電動機功率的要求，但該算法固定了變速區間的時間占比。

在伺服壓力機拉深工藝的軌跡規劃中，壓力機質量最大的運動部件滑塊做變速運動時所產生的慣性力會造成較大的振動，進而影響沖壓件的精度與模具的壽命。生產節拍即一個沖壓周期完成的沖壓件數量，直接影響生產效率。為了降低壓力機滑塊的變速沖擊，提高沖壓件的精度和模具壽命，QU[12]和尚萬峰等[13]以滑塊加速度和加加速度峰值最小化為優化目標，降低了滑塊的加速度從而降低其慣性力對沖壓件的沖擊。SONG等[19]以實現沖壓生產節拍最高為優化目標，縮短了伺服壓力機的沖壓周期，提高了生產效率。上述研究重點關注沖壓工作段的軌跡，分別研究了避免沖擊和提高效率等方面，但是缺乏綜合性能和能耗優化的考慮，大型伺服壓力機頻繁的加減速變化和克服工件的變形所需的能量完全由伺服電機提供，從而使伺服電機的能耗巨大，因此本文將降低能耗考慮在優化目標中以降低生產成本。

本文對大型伺服壓力機高效拉深工藝模式進行研究，首先需通過建立包含關節摩擦力的高精度動力學模型以保證后續軌跡規劃建模的精確性，同時為實現提高伺服壓力機的生產節拍要求，對現有的伺服電機柔性加減速控制方法進行改進。在此基礎上，為同時降低伺服電機的能耗，綜合沖壓生產節拍最大化和能耗最低為優化目標，建立大型伺服壓力機高效拉深工藝軌跡優化設計數學模型，并研究該優化問題的求解方法，以期完成伺服壓力機電機轉速優化和滑塊軌跡規劃。

1 伺服壓力機拉深工藝模式

研究的六連桿式伺服壓力機結構如圖1所示，其主傳動機構及簡圖如圖2和圖3所示，曲柄為主動桿件，三角桿起到調速作用，偏心輪與三角桿中點為搖桿。

圖1 六連桿伺服壓力機

圖2 六連桿主傳動機構

圖3 六連桿主傳動機構簡圖

主驅動伺服電機通過傳動機構驅動下方滑塊進行沖壓工作，其工序成型能量為800 kJ，公稱力為8 500 kN的行程為8 mm，載荷作用范圍為0～250 mm。通過前期研究的運動學建模和遺傳算法優化得到機構尺寸。針對機構運動穩定性、傳力性能、位置精度及增力特性進行分析，以滑塊速度波動、壓力角、側向力和機構的機械增益為優化性能指標，通過統一量綱和線性加權的方式構造出反映綜合性能的多目標優化函數，引入幾何以及行程約束，并添加壓力機的工作空間和桿件不干涉等約束條件，采用遺傳算法完成多目標優化設計，如圖4～7所示。由圖4～7可知，其尺寸優化后，機構運動穩定性更好、側向力減小即對滑塊位置精度影響更小、傳力性能及增力特性更優。從傳動機構的基本結構構型進行尺寸優化設計，利于壓力機基本的運動性能提升，同時為了充分發揮伺服壓力機高能效和高效率的優勢，需對伺服電機加減速控制和其滑塊的運動軌跡進行規劃。以優化后尺寸為基礎，建立包含關節摩擦力的高精度動力學模型。

圖4 滑塊速度曲線

圖5 滑塊側向力曲線

圖6 機械增益曲線

圖7 滑塊處壓力角曲線

伺服壓力機工藝模式分為4個階段[19-20]，如圖8所示，空載高速向下進給Ⅰ，工作行程勻速向下運動Ⅱ，空載快速返回Ⅲ，曲柄低速運行段Ⅳ，t41為機械手取件并傳輸所需的安全時間。

圖8 伺服壓力機運動分相圖

由關鍵點進行控制，關鍵點1：設置滑塊閉合角θ1，據此可得滑塊下移高度s1。θ1為讓機械手安全離開壓力機時的曲柄轉角，對應的s1是機械手離開需要的高度空間。關鍵點2：設置沖壓起始的轉速N2以及需要的沖壓起始角θ2，并根據方程計算出對應滑塊高度s2以及滑塊速度v2。關鍵點3：設置沖壓結束轉速N3以及沖壓結束角θ3，同樣計算出對應滑塊速度v3，以及沖壓結束時滑塊高度s3。關鍵點4：設置滑塊開啟角θ4，據此計算出該角度下滑塊所處的高度s4。

為了提高生產效率，伺服壓力機通常采用連續工作模式。即在機械手傳輸時伺服電機低速運行，而不是停在上死點處。因此工作段Ⅱ需要滑塊勻速沖壓，非工作段Ⅰ和Ⅲ為高速運動段，提高生產節拍，非工作段Ⅳ為低速運動段，為機械手傳輸沖壓件留出時間。伺服壓力機的連續工作模式避免了伺服電機頻繁啟停操作。

2 動力學分析

2.1 動力學建模

對該伺服壓力機的六連桿系統進行動力學分析，如圖9所示。采用達朗貝爾原理，引入慣性力建立各桿的力和力矩平衡方程，建模中考慮滑塊自接觸板料時輸出的工作載荷壓力F、曲柄扭矩M、滑塊下方所受氣壓裝置平衡力Fp、滑塊處摩擦力、各轉動關節摩擦力和力矩。

圖9 六連桿機構的動力學受力圖

在大型機械傳動中，關節間的摩擦損耗不可避免，并且對能耗的影響很大。因此在動力學建模中考慮關節間摩擦。在壓力機主傳動六連桿機構中，摩擦主要是由于關節鉸鏈之間的轉動和滑塊移動產生，故在此機構的動力學分析中，將關節間摩擦力用“庫倫-粘性”摩擦模型進行計算，使模型更接近實際情況。

以桿OA為研究對象，對其進行受力分析可得

F11x+F12x+f11sinθ11+f12sinθ12=

-m1at1sinθ1-m1an1cosθ1

(1)

F12y+F11y-m1g-f11cosθ11-f12cosθ12=

m1at1cosθ1-m1an1sinθ1

(2)

考慮平衡力矩，計算得

M-(F12x+f12sinθ12)r1sinθ1+

(F12y-f12cosθ12)r1cosθ1-m1gRC1cosθ1=Jz1α1

(3)

其中at1=α1RC1=α1λC1r1

式中RC1——桿OA質心到轉動中心O的距離

Jz1——桿OA繞點O的轉動慣量

F11x——桿OA在轉動副O處所受力的水平分量

F11y——桿OA在轉動副O處所受力的垂直分量

F12x——桿OA在轉動副A處所受力的水平分量

F12y——桿OA在轉動副A處所受力的垂直分量

m1——桿OA質量

f11——點O處關節摩擦力

f12——點A處關節摩擦力

θ11——合力F11與X軸的夾角

α1——桿OA角加速度

ω1——桿OA角速度

λC1——桿OA質心位置系數

r1——桿OA長度

θ12——合力F12與X軸的夾角

an1——桿OA法向加速度

at1——桿OA切向加速度

η11——桿OA在轉動副O處的粘性摩擦系數

η12——桿OA在轉動副A處的粘性摩擦系數桿BC和桿DE的分析過程類似，不再贅述。

以三角桿ABD為研究對象，對其進行受力分析可得

F56x+F23x-F12x+f56sinθ56-

f12sinθ12+f23sinθ23=m2ax2

(4)

F56y-F12y+F23y-f56cosθ56+

f12cosθ12-f23cosθ23=m2ay2

(5)

考慮平衡力矩，計算得

-(F23x+f23sinθ23)r2sinθ2+(F23y-f23cosθ23)r2cosθ2-

(F56x+f56sinθ56)r5sinθ5+(F56y-f56cosθ56)r5cosθ5-

m2gRC2cos(θ2+γ1)=Jz2α2

(6)

式中m2——三角桿ABD質量

γ1——桿BD的中線與桿AB的夾角

μ23——桿BC在轉動副B處的粘性摩擦系數

μ56——桿DE在轉動副D處的粘性摩擦系數

η23——桿BC在轉動副B處的庫倫摩擦系數

η56——桿DE在轉動副D處的庫倫摩擦系數

RC2——三角桿ABD質心到轉動中心A的距離

Jz2——三角桿ABD繞點A的轉動慣量

θ2——桿AB與X軸夾角

r2——桿AB長度

θ5——桿AD與X軸夾角

r5——桿AD長度

f23——點B處關節摩擦力

f56——點D處關節摩擦力

θ23——合力F23與X軸的夾角

θ56——合力F56與X軸的夾角

ax2——三角桿ABD質心加速度的水平分量

ay2——三角桿ABD質心加速度的垂直分量

以滑塊E為研究對象，對其進行受力分析可得

F67x+f67sinθ67=Fn

(7)

Fp+F-m7g+f67cosθ67-F67y+f77=-mia

(8)

其中

f77=μ77Fnsgn(v)

mi=λmiρr(i=1,2,3,6,7)

Fp=(λ1m1+λ2m2+λ3m3+λ6m6+λ7m7)g

式中λi——平衡力系數

ρ——桿系材料線密度

λmi——桿系質量系數

m3——桿BC質量

m6——桿DE質量

m7——滑塊質量

f77——滑塊處滑動摩擦力

v——滑塊速度

a——滑塊加速度

θ67——合力F67與X軸的夾角

2.2 模型參數選取

建立的桿系動力學方程中包含桿系質量、關節摩擦系數、平衡力和工作段載荷模型等影響參數。因此需要對這些模型參數進行合理地選擇和辨識，以提高系統優化的準確性。

2.2.1桿系質量

伺服壓力機制造過程中，桿系材料一般為45鋼或Q235，其材料密度為7 800～7 850 kg/m3。查閱現有的壓力機圖紙，近似認為桿件的線密度為500 kg/m。而實際伺服壓力機由4個結構相同、空間位置對稱的桿系組成，所以在計算中取桿件線密度為2 000 kg/m。對于六連桿當中的三角桿，由于其實心的三角形結構，且上面附有質量較大的偏心輪，因此在計算時乘以系數λm2。查閱已有的三角桿圖紙并計算其質量，取λm2=12。

2.2.2關節摩擦系數

選用“庫倫-粘性”摩擦模型對各轉動副關節進行動力學建模，摩擦力為f=μN+ηωr，其中的庫倫摩擦系數μ和粘性摩擦系數η都需要根據實際情況進行合理的取值，以確保模型盡可能地貼合實際。

曾宇翔[21]曾對伺服壓力機桿系動力學中的摩擦力進行了系統性的建模與分析，并利用實驗數據對庫倫-粘性摩擦系數進行了辨識。根據其研究成果，本文庫倫摩擦系數μ取0.1，粘性摩擦系數η取0.25。

2.2.3平衡力

為了消除桿系質量和轉動副間隙對壓力機工作性能的影響，保證傳動機構平穩運動，壓力機通常會使用平衡器對重力進行平衡。在此次建模中，近似認為平衡力作用在滑塊上，其大小恒定，為Fp=λ∑mig。其中λ為平衡系數，需要根據實際情況和仿真結果進行選取。圖10為不同平衡系數下的曲柄轉矩，可以看出隨著平衡系數的改變，非工作段內的曲柄轉矩會受到較大影響。在與實際的工作數據進行比對后，選擇平衡系數λ=0.95。

圖10 不同平衡系數對曲柄轉矩的影響

2.2.4載荷模型

在工作段，滑塊會受到巨大的工作力，而工作力會隨著與下死點距離發生改變。在板料成型的過程中，通常認為對于同種材料、同一個模具來說，板材變形的能量是固定的，由此再根據實際測量的部分關鍵點工作力數據，可以推導工作載荷的近似模型。原載荷模型分段采集呈階梯狀，由于存在一定的間斷點，并不能完全貼合實際情況。在考慮到實際問題的性質，選用F(s)=asb+c作為載荷模型，由載荷參數得邊界條件為

(9)

解得F(s)=46 779s-0.97+2 279.5(kN)。圖11為修改前后載荷模型的載荷，從圖11中可以看到，修改后載荷模型能夠在有效貼合實際情況，同時提高了模型光滑性，有利于后續計算和優化。

圖11 不同載荷模型載荷對比

3 伺服電機轉速優化及滑塊軌跡規劃建模

3.1 復合三角函數加減速控制模型改進

加減速過程采用復合三角函數進行建模，即采用兩個不同周期的三角函數疊加作為伺服電機加減速的構造函數，如圖12所示。宋清玉等[18]采用加速區間分階段的x為0.25的加減速曲線，并成功降低了系統對伺服電機功率的要求，在此基礎上，對占比進行優化以獲得更加良好的轉速曲線。

圖12 復合三角函數的角加速度示意圖

函數角加速度方程為

(10)

通過積分得到角速度函數為

ω(t)=

(11)

根據邊界條件ω(0)=ω1,ω(t0)=ω2，以及函數連續的條件，求解得

(12)

因此角速度表達式為

(13)

對式(13)進行積分，求解角度隨時間變化的關系，同時代入邊界條件進行計算，最后得到

(14)

同時有

(15)

伺服電機在工作過程中的角速度曲線如圖13所示。根據θ1、θ2、θ3、θ4確定選取的角速度極值角度范圍即θ12、θ34、θ41。其中，θ1、θ2、θ3、θ4以及ω2、ω3為已知參變量，而其余3個極值位置角度θ12、θ34、θ41，角速度ω12、ω34、ω41，5個角度θ12、θ2、θ3、θ34、θ41之間的x12、x23、x34、x45、x51取值為需要優化的參變量。

圖13 伺服電機整周工作的角速度曲線及關鍵點

3.2 滑塊軌跡規劃約束條件

(16)

(17)

式中tc——伺服壓力機沖壓周期

u——傳動比

電機要滿足T(Nmean,Trms)≤T(Sl)，前者為伺服電機實際熱極限點，后者為伺服電機理論熱極限曲線。

3.3 滑塊軌跡規劃目標函數

為實現效率與能耗的綜合優化，確定綜合優化目標函數為

(18)

其中

T=t12+t23+t34+t41

式中W——壓力機周期能耗

w1、w2——權重

T——壓力機周期節拍時間

Wmax=5.4×106J，Tmax=6 s，w1、w2在此優化中均取0.5，視為二者的優化效果相當，可根據實際需求進行調整。

4 優化結果分析

采用上述數學模型和遺傳算法[22]進行電機轉速和滑塊軌跡的優化，得到優化結果如表1所示。

表1 六連桿伺服電機的轉速軌跡參數

由表1取由目標函數得到的優化值，求解過程如圖14所示。

圖14 多目標求解過程圖

將表1優化后的數值建模得到電機優化后的曲柄轉速和能耗對比見表2。

表2 目標值對比

優化前后生產節拍時間如圖15所示，其時間減小3.23%。

圖15 曲柄角速度曲線

優化前后曲柄轉矩如圖16所示，其能效提升4.54%。

圖16 曲柄轉矩曲線

圖17為伺服電機在一個沖壓周期內的動態限和熱極限校核結果，伺服電機理論加載轉矩和熱極限點滿足邊界要求，伺服電機校核結果安全。

圖17 伺服電機動態限和熱極限校核結果

5 結論

(1)建立了伺服壓力機主傳動機構的動力學模型，以庫倫-粘性摩擦模型為基礎考慮了其關節摩擦力，同時完善了滑塊處的工作載荷模型，提高了模型的準確性。

(2)改進了基于復合三角函數的伺服電機柔性加減速控制模型，既保留曲柄轉速、加速度和加加速度變化連續的優勢，避免了加減速過程對伺服壓力機的柔性沖擊,又優化了變速區間的時間占比，提高了生產效率，可用于伺服壓力機拉深軌跡規劃。

(3)建立了大型伺服壓力機高效拉深工藝軌跡規劃數學模型，提出了綜合沖壓生產節拍最大化和能耗最低的優化目標，并提出了更全面有效的實際工程約束條件，優化結果表明，滑塊運動軌跡更優。