基于小波變換的精密測量點云多尺度分解

高凱元， 劉 雷， 崔海華*， 李鵬程， 劉曉旭， 劉 林

（1.南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016；2.北京航天計量測試技術研究所，北京 100076）

1 引 言

航空、航天，以及大型科學裝置等國家重大工程的建設與發展[1］，對零件提出了一系列新的性能要求，隨著制造業的不斷發展，大量零部件具有功能表面的特性，即同時具有宏觀尺度特征與微觀尺度特征。以航空發動機葉片為例，葉片的整體幾何精度直接影響整體的空氣動力學特性，表面的氣膜孔一般在0.25~0.5 mm，其幾何結構（包括孔間距、孔徑）直接影響承溫能力[2］，這種多尺度零件的檢測要求更高。大量研究表明，通過多傳感組合的檢測方式，充分發揮每個檢測設備的優勢，最終將多傳感數據進行配準融合，得到完整的數據集，從而滿足多尺度檢測的要求[3-5］。

由于不同檢測設備所獲取的數據存在尺度和數據量的差異，多尺度點云數據存在配準融合困難、精度低等問題。為了解決上述問題，對高分辨率、細節豐富的小尺度數據進行多尺度分解是一種有效的方法[6］，從小尺度數據中獲取大尺度數據的近似數據，以此作為配準的依據，最后將求解的關系應用于原始的點云數據，由此可見，數據的尺度分解是很重要的一步。為了解決跨尺度數據的差異，傳統的點云簡化方式包括隨機采樣法、體素網格采樣法、單一曲率采樣法、一致性采樣，以及改進的點云數據特征約束簡化算法[7-9］。然而，這類簡化方法并沒有考慮到測量過程中尺度的影響，只是降低了點云數據量。牛血娟[10］，莫程威等提出了基于二維離散小波變換的多尺度分解方法，二維小波多尺度分解主要用于圖像和深度圖中，但是二維小波變換應用到散亂點云上，需要對點云進行投影，因此對點云的全局形狀有一定的要求，投影后不能重疊。Julie等提出尺度空間算法[11］，通過設置不同的迭代次數將點云數據進行平滑，分離出不同尺度信息的點云數據，但是該算法僅僅考慮了尺度，沒有考慮點云的數據量。汪千金等提出了基于尺度空間的點云下采樣方法[12］，先通過平均曲率運動對點云整體進行平滑處理，然后再進行體素降采樣，但是此方法中平滑處理比較耗時。

針對現有方法存在的問題，本文提出一種基于三維小波的點云數據多尺度分解方法，實現小尺度點云數據的多尺度分解，并通過對尺度變化敏感的分形面維數和體維數表征與原始點云數據的相似程度。以某航空發動機葉片上氣膜孔為檢測對象，對顯微測量方式獲取的氣膜孔數據進行多尺度分解，獲得較好的分解效果。最后以分解的近似尺度數據與原始大尺度結構光測量點云進行配準[13］，并將變換關系應用于原始點云，實現了跨尺度點云的高準確度配準。

2 多尺度分解建模

2.1 離散點云柵格建模

在光學三維數字化測量領域中，尺度一般是指分辨率或者像元，即某種測量設備或者測量方法能夠檢測到的最小形貌的信息量。如圖1所示，O1與O2分別代表小尺度檢測設備與大尺度檢測設備，檢測數據具有尺度與數據量的差異。分辨率不同，所測得的數據包含的信息量也不同，分辨率變高時，數據包含的高頻成分越多，即細節更豐富，尺度越??；反之，數據包含的高頻信息越少，即輪廓越平滑，尺度越大。小尺度數據中包含對應部位的大尺度數據信息，因此可以對跨尺度測量中的小尺數據進行多尺度分解，從而逼近大尺度的對應位置數據。

圖1 多尺度三維測量原理Fig.1 Schematic diagram of multi-scale 3D measure?ments

由于三維離散點云無序的特性，點與點之間的拓撲關系不明確，無法像二維圖像那樣寫出以具體空間相對位置為自變量的全局函數，通過體素柵格建模，建立無序離散點云的全局表達函數。柵格建模分為兩步：第一步，通過手動交互的方式刪除不必要的點，然后對整體點云進行主成分分析（Principle Component Analysis， PCA），建立最小矩形包圍盒，并變換整體點云的主方向與坐標軸重合；第二步，計算每個點與點之間的最小距離s，作為體素的邊長，將最小的矩形包圍盒變成以體素邊長為單位進行劃分，保證每個體素內只有一個點，建立柵格模型與離散點云之間一一對應的可逆關系，即：

其 中：points[i].x，points[i].y，points[i].z分別表示經過變換后位于最小包圍盒中第i個點的坐標，s為柵格邊長，xmin，ymin，zmin表示最小包圍盒頂點的最小坐標，作為柵格的頂點，[]表示向下取整，X，Y，Z表示對應點在柵格中的坐標。

通過柵格模型來間接表達整片點云，整片點云的三元二值函數表達式如下：

其中：k為分解次數，A為定值，Fk(X，Y，Z)為點云的全局表達函數，函數值為對應柵格中的值。

2.2 小波變換多尺度分解理論

本文分析的目標是離散點云，是三維數據的一種具體表達形式，可將它看作是一種能量有限、并且頻段有限的離散信號，即點云全局表達函數具有能量有限的特性?；谛〔ɡ碚撨M行多尺度分解，大小尺度點云由于數據量和精度的差異，數據包含的細節豐富程度不一樣，小尺度數據具有更多的高頻信息。為了實現跨尺度點云的精確配準，最核心的問題就是解決尺度之間的差異，需要對小尺度數據進行低通濾波，并通過降采樣減小兩片點云之間的數據量差異，即同時實現濾波和降采樣。

由一維連續小波變換的定義有：

其中：a，b∈R，通過伸縮和平移尺度函數實現對局部數據的提取與分析。根據香農采樣定理與奈奎斯特率對數據進行二進離散采樣，取a=2j，b=2jk，k∈Z，j∈N，即形成離散小波變換，形式如下：

根據Mallet算法，利用小波具有低通和帶通的特性，將一個能量有限函數f(t)∈L2(R)拆成尺度函數與小波函數的線性組合，即低頻函數與高頻函數的線性組合。以小波函數作為濾波函數，對低頻信息進行逐級分解，將原始信號空間分解成多個互相正交的子空間，分解形式如下：

式中：Vj表示第j級低頻信息空間，Wj表示第j級高頻信息空間，分解空間示意圖如圖2所示。

圖2 多級小波分解空間Fig.2 Multilevel wavelet decomposition space

將一維、二維小波變換推廣到三維，首先選取合適的小波基，即確定合適的尺度函數φ(x，y，z)和小波函數ψ(x，y，z)，三維尺度函數和小波函數均可由3個一維尺度函數與小波函數擴展而來。其中，尺度函數表示為：

離散小波變換的低頻尺度函數離散形式如下：

其中：M，N，K分別為x，y，z方向上離散點的行數、列數與頁數，j0為任意尺度，Wφ(j0，m，n，k)為在尺度j0上的近似。

獲取整片三維柵格點云表達函數的近似表達，將式（8）計算轉化成3D卷積運算，其中卷積核是通過一維離散小波尺度函數系數張量運算而成，如圖3所示。

圖3 卷積核Fig.3 Convolutional nuclei

多尺度分解流程如圖4所示，主要分為兩步，首先將卷積核按行、列、頁滑過整個柵格點云函數，實現整體數據平滑；然后，由于采用的小波屬于二進小波，對整個柵格進行等間隔采樣，取出偶數行、偶數列、偶數頁，此時柵格整體尺寸變成原來的八分之一，變換到下一個尺度空間。在數據量滿足小波分析的條件下，重復以上兩個步驟即可實現整個柵格的多尺度分解。

圖4 柵格卷積Fig.4 Grid convolution

2.3 點云多尺度近似體生成

基于分形理論的相似維數的思想，多尺度分解后的點云對整個柵格空間的占用率應保持不變，因此經過一次采樣后，點云數據量應變成上一次分解點云數據量的八分之一左右。經過小波核卷積和采樣后每個體素記錄的值已經不是原來的值，即已經不是一個3D的二值圖像，因此需要對小波變換后的3D圖像進行二值化，才能根據柵格中的值確定是否應該保留該柵格中的點。由于卷積運算實現的是低通濾波，濾除高頻，因此濾波后的數據在未進行平滑前的值周圍波動。以最初給定的值為中心，并設定偏離中心距離θth來確定閾值范圍，最終數據量的遞推關系如下：

其中：k是分解的次數，Fw k-1表示經過k-1次小波核卷積并下采樣后的柵格表達函數，θth為二值化的閾值。當滿足式（9）的非零柵格數量大致為原始點云數量的(18)k時，即可確定閾值θth。

具體的二值化步驟如下：

（1） 統計整個柵格中數據偏離定值A的最小距離dmin和最大距離dmax。

（2） 從最小距離以一定的步長進行迭代，直到滿足式（9）的柵格數目近似等于原始點云數量的(18)k，確定閾值，并將新的閾值帶入式（9），重新遍歷整個柵格，滿足式（9）的置為A，其余置為0。

經過3D圖像的二值化，柵格模型滿足點云的全局表達函數，由于柵格模型與點云存在一一對應關系，因此可以通過式（10）求解點云的實際坐標，從而獲得原始點云的近似體，即：

2.4 近似體的相似度表征

在點云數據處理中，點云數據形狀表達是很重要的一步，比如點云特征點的提取、點云數據集的相似度等領域中都需要對點云的全局或者局部形狀進行表達。傳統的點云表達方式主要有直方圖統計法、變換法等，但是這些方法對于形狀的尺度變化不敏感。在分形幾何中對于點云形狀的表達主要有差分盒子維、多尺度分數維等[14-16］，但是兩片點云的相似性可以通過相似維數進行評判，主要有面相似維數和體相似維數兩種[17］，定義如下：

其中：R代表整片點云的最小包圍球半徑，SR代表整片點云經過三角化后的表面積[18-19］，VR代表整片三維Delaunay三角剖分后的體積[20］；DfS代表面形狀相似參量，即面相關維數，簡稱面維數；DfV代表體相似參量，即體相關維數，簡稱體維數。求出原始點云兩種相似維數與每次分解采樣后的兩種相似維數，通過兩種相似維數的差異判定數據的相似程度。

3 實驗與結果分析

3.1 多尺度數據獲取實驗

以某具有多尺度特征的航空發動機葉片為實驗對象，圖5（a）為葉片實物，需要檢測整體葉形以及表面微小的氣膜孔，葉片整體長度大約為85 mm，所測氣膜孔的直徑大約為1.1 mm。單一的檢測設備無法滿足多尺度檢測，用面結構光方式測量整體葉形，顯微測量方式測量氣膜孔，最終將兩種設備的數據進行配準融合，得到完整的數據集。圖5（b）是顯微測量方式得到的微觀形貌數據，測量視場為1.5 mm×2 mm，分辨率為0.001 5 mm，顯微測量數據有1 073 591個點。圖5（c）是結構光測量方式得到的宏觀型面數據，分辨率為0.09 mm，其中對應氣膜孔測量部位的結構光數據大約有1 300個。兩種設備在尺度與分辨率上存在很大差異，導致特征點提取困難與配準精度低等問題，因此需要對小尺度數據進行多尺度分解，獲取近似尺度的數據作為與結構光數據配準的依據。

圖5 葉片宏微組合式測量結果Fig.5 Macro-micro combined measurement results of blade

3.2 多尺度分解實驗

由于分解采樣過程中不涉及點云的坐標變換，可直接與原始點云比對，計算均方誤差，分析采樣特點。計算每一次分解采樣結果的面維數與體維數，并與原始點云的體維數與面維數進行比較，用于表征與原始點云的相似性。

以氣膜孔的顯微測量數據為實驗對象，用db4小波，采用補零延拓方式進行基于三維小波的多尺度分解，獲取多尺度近似體，分解結果如圖6所示，均方差、面維數與體維數的計算結果如表1所示。

圖6 小波方法的分解結果Fig.6 Decomposition results of wavelet method

基于表1的統計結果，根據小波分解采樣的特征，點數都大約等于上一次采樣點數的八分之一。由于小波分解采樣同時考慮了尺度和數據量的影響，分為濾波平滑與間隔采樣兩步完成，所以均方差逐步增大。根據每次分解采樣結果的面維數與體維數與原始點云的面、體維數的差異，可知隨著分解次數的增加，面、體維數的差異越來越大。分解采樣到第4次，均方差、面維數差與體維數差相比前面的分解結果急劇增大，面維數差占原始面維數的18.2%，體維數差占原始體維數的75.6%，即發生突變，第四次分解時原始數據信息被過度濾除。

表1 小波方法分解結果統計Tab.1 Statistic of wavelet method decomposition results

為了與小波分解結果進行對比，采用隨機采樣分解、曲率采樣分解與文獻[12］中方法進行分解，采樣分3次進行，并且每次采樣的點數是上一次采樣結果的八分之一，采樣結果分別如圖7~圖9所示，采樣參數的計算結果分別如表2~表4所示。

表4 尺度空間分解結果統計Tab.4 Statistics of scale spatial decomposition results

圖7 隨機采樣方法的分解結果Fig.7 Decomposation results of random sampling method

圖9 尺度空間分解方法的分解結果Fig.9 Results of scale spatial decomposition method

根據表2的統計結果，點數都大約等于上一次采樣點數的八分之一。由于隨機采樣只考慮數據量的影響，只是在原始數據上進行采樣，所以均方差都為0。根據各次分解采樣結果的面維數與體維數與原始點云的面、體維數的差異，隨著分解次數的增加，面維數差、體維數差越來越大。

表2 隨機采樣分解結果統計Tab.2 Statistics of random sampling decomposition results

由表3的統計結果可知，點數都大約等于上一次采樣點數的八分之一。由于曲率采樣只考慮數據量的影響，只是在原始數據上進行采樣，所以均方差都為0。根據各次分解采樣結果的面維數與體維數與原始點云的面、體維數的差異，隨著分解次數的增加，面維數差、體維數差越來越大。

表3 曲率采樣分解結果統計Tab.3 Statistics of curvature sampling decomposition results

圖8 曲率采樣方法的分解結果Fig.8 Decomposation results of curvature sampling method

由表4可知，點數都大約等于上一次采樣點數的八分之一。由于該采樣方法考慮了尺度和數據量的影響，首先對原始點云進行平滑，然后在平滑后的數據上進行采樣，所以均方差大致相等。根據各次分解采樣結果的面維數與體維數與原始點云的面、體維數的差異，隨著分解次數的增加，面維數差、體維數差越來越大。

對比4種分解方法的面維數和體維數差異，如圖10所示，4種采樣方法都是隨著采樣次數的增加，與原始點云的差異逐漸增大。由于結構光測量數據與顯微測量數據量差異較大，需要對小尺度數據進行多次分解，多次分解后，小波分解采樣的結果面維數與體維數差異均達到最小，因此小波分解采樣方法優于其他方法。由于小波分解方法在分解3次時達到最優，分解第4次時已經失效，因此其他方法在第4次分解時也會失效。

圖10 不同分解方法差異性對比Fig.10 Comparison of differences between different decomposition methods

3.3 跨尺度點云配準實驗

為了解決跨尺度點云因尺度與數據量上的差異而導致配準困難、配準精度低等問題，利用本文所提的方法對小尺度顯微測量數據進行多尺度分解。經過3次有效分解，將近似尺度分解的數據與面結構光點云進行配準。配準分兩步完成，首先通過手動交互式選取兩片點云對應點，通過奇異值分解（SVD）求解旋轉與平移變換矩陣，完成點云的粗配準；然后，利用迭代最近點（ICP）算法完成點云精配準，并將配準的變換關系應用于原始點云。經過3次分解與原始結構光的點云配準結果如圖11所示。

圖11 氣膜孔配準結果Fig.11 Pore registration results

將未經過尺度分解與經過不同次數尺度分解的點云與結構光測量點云進行配準，精配準誤差與配準時間如圖表5所示。由于小波采樣在第二次采樣時，面維數差與體維數差都不是最好，但是對應部位結構光測量點云數據量與顯微測量近似尺度點云數據量還是存在較大差異，在保證不失效的情況下有必要再進行一次分解?；谌畏纸獬叨燃s束的配準，在保證面維數差與體維數差較小的情況下，時間與精度都得到進一步的改善。實驗證明，所提方法應用于多尺度點云配準融合中，能夠提高配準精度，與未經過尺度處理的點云直接配準相比，配準精度提升了61.36%。

表5 小波方法多次分解配準誤差對比Tab.5 Comparison of multiple decomposition registra?tion error for wavelet method

為了進一步驗證本文所提方法的可行性，選取航空發動機上的某柵格零件與某航空發動機葉片進行多尺度宏微組合式測量。對于柵格零件，通過面結構光測量整體的大尺度數據，顯微測量某條棱邊，并進行配準實驗；對于某航空發動機葉片，采用面結構光測量整體大尺度數據，顯微測量邊緣，并進行配準實驗。

柵格零件的整體長度大約為80 mm，棱邊寬度大約為0.4 mm，使用氣膜孔測量實驗中相同的計量設備檢測，顯微測量數據量為524 033，對應部位結構光數據量大約為1 000，檢測數據如圖12所示。通過本文方法進行多尺度有效分解3次，配準結果如圖13所示，配準時間與均方根誤差如表6所示，分別計算基于各次尺度約束的點云配準時間與均方根誤差，實驗證明分解3次時尺度約束配準效果較好，配準時間大幅度減少，精度提升了43.86%。

表6 柵格近似尺度約束配準誤差對比Tab.6 Approximate scale of raster constrains the com?parison of registration errors

圖12 柵格宏微組合式測量結果Fig.12 Macro-micro combined measurement results of raster

圖13 柵格棱邊配準結果Fig.13 Grid edge registration results

不帶氣膜孔葉片零件的整體長度大約為90 mm，葉片邊緣的測量尺寸大約為1 mm×1 mm，使用氣膜孔測量實驗中相同的計量設備檢測，顯微測量數據為581 525，對應部位的結構光數據大約為1 200，檢測數據如圖14所示。通過本文方法進行多尺度有效分解3次，配準結果如圖15所示，配準時間與均方根誤差如表7所示。分別計算基于各次尺度約束的點云配準時間與均方根誤差，實驗證明分解3次時尺度約束配準效果較好，配準時間大幅度減少，精度提升了48.59%。

圖14 不帶氣膜孔葉片檢測Fig.14 Inspection results of leaf without pores

圖15 葉片邊緣配準結果Fig.15 Leaf edge registration results

表7 葉片邊緣近似尺度約束配準誤差對比Tab.7 Comparison of approximate scale constraint regis?tration errors of blade edges

4 結 論

在具有跨尺度微納結構的高性能零部件光學測量領域中，宏微組合式方法利用多傳感的方式分別獲取不同尺度的數據，通過跨尺度數據配準融合技術實現宏微信息一體化。本文提出了一種基于離散小波變換的小尺度點云多尺度分解方法，此方法同時考慮了尺度與數據量的影響，每次分解后，數據量以大約8倍的速率減少，在與原始數據具有一定相似性的條件下，能夠對小尺度數據進行有效分解，實現小尺度數據向大尺度數據過渡。實驗結果表明，所提方法可以作為一種通用的小尺度點云多尺度分解方法，應用于航空發動機氣膜孔數據配準中，配準精度提升了61.36%，并在葉片邊緣與柵格零件檢測中得到了有效驗證。因此，所提方法對多傳感測量與跨尺度數據配準具有一定的指導意義。