基于柔性鉸鏈的大口徑望遠鏡并聯調整機構

于 陽， 王學問，2， 徐振邦，2*， 韓春楊， 曹玉巖， 王建立，2*

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049）

1 引 言

隨著空間遙感技術的迅速發展和空間探測精度的不斷提高，大口徑高分辨率光學望遠鏡在民用、軍工、商業、天文等領域發揮著重要作用[1］。但望遠鏡觀測姿態的變化會引起結構重力變形，環境溫度的變化會引起熱變形，從而導致主、次鏡之間產生失調誤差，極大地降低了望遠鏡的成像質量。因此，在望遠鏡跟蹤成像過程中，需要對光學系統的失調誤差進行主動補償。原理上，這種失調誤差主要是機構的離焦偏差和彗差[2］。假設z軸為光軸方向，離焦偏差可以通過光軸方向的移動來補償而彗差則需要沿x，y方向移動以及繞x，y方向轉動進行補償。因此，需要在空間5個自由度上進行調整。

Stewart平臺由于具有高精度、剛度大、高承載能力、自由度多等優點，目前已廣泛應用于地基大型望遠鏡的主次鏡對準和校正[3］。雖然Stewart平臺能夠解決機構運動自由度和運動精度問題，但大口徑地基望遠鏡在進行天文綜合觀測的過程中，次鏡組件的空間姿態隨觀測角度的變化而變化，支撐次鏡組件的并聯調整機構的工作姿態通常為“倒立”或“傾斜”。這種重力變形會影響成像質量。為降低機構的變形量，并聯調整機構需具有較高的側向剛度和軸向剛度。以虎克鉸鏈為代表的傳統六自由度并聯機構，雖然具有較大的軸向承載能力，但受構型的影響，側向剛度明顯不足。為了提高機構的側向剛度，通常通過構型優化（設計成“矮”構型）來降低運動機構質心。雖然“矮”構型在側向剛度上比“高”構型有優勢，但在支腿長度和剛度確定的情況下，降低平臺質心高度，下平臺鉸點半徑增大，軸向剛度也會有所下降。

柔性鉸鏈具有結構緊湊、無摩擦、無機械間隙、無噪聲等特點，被廣泛地應用于小角位移、高精度轉動的場合中，如精密調整機構、望遠鏡支撐機構、壓電陶瓷驅動器和機器人等領域[4-7］。

大型望遠鏡并聯機構已采用柔性鉸鏈，如The Large Synoptic Survey Telescope （LSST）[8］和暗能量相機（The Dark Energy Camera）[9］的相機組件，均采用柔性鉸鏈Hexapod并聯調整機構進行支撐和調整。該機構具有中等運動范圍（±21 mm），小角度轉動（±1.5°），高分辨率（1 μm）及高重復定位精度（±7.5 μm）。相關文獻只測試了機構的性能指標，但沒有對引入柔性鉸鏈對機構精度和剛度的影響進行分析。

本文針對柔性鉸鏈對并聯機構精度和剛度的影響，以2.5 m大視場光學望遠鏡為背景，綜合考慮精度、剛度、承載能力和結構尺寸等技術要求，研究一種具有高側向剛度、亞微米精度、大承載能力的柔性鉸鏈并聯調整機構。設計了一種兩自由度柔性鉸鏈，建立了并聯調整機構等效運動學模型和剛度模型，通過動力學軟件Adams與有限元分析軟件Patran&Nastran搭建剛柔耦合聯合仿真系統，分析柔性鉸鏈對精度的影響。最后，通過實驗來驗證柔性鉸鏈設計的合理性以及運動學建模和剛度建模的準確性。

2 系統組成及柔性鉸鏈設計

基于柔性鉸鏈的并聯調整機構如圖1所示，該并聯調整機構由定平臺、動平臺、6個傳動機構以及12個柔性鉸鏈組成。其中，傳動機構采用直流電機驅動諧波減速器旋轉，諧波減速器的轉動帶動與其固連的行星滾柱絲杠螺母轉動，螺母的轉動帶動滾柱絲杠的伸縮和旋轉，因此該傳動機構是一種無導向滾珠絲杠機構。并聯機構實現上平臺的六自由度運動需保證每個支鏈的自由度數≥6。本文設計的并聯機構支鏈，兩端柔性鉸鏈各2個自由度，中間無導向滾柱絲杠結構為滾珠絲杠副，等效為2個自由度，但這兩個自由度存在耦合關系（即導程），可通過運動學進行位姿解耦。此外，該傳動機構有兩個編碼器，一是位于直流電機后端的增量式編碼器，用于電機計數；另一個是固定在絲杠螺母上的絕對式磁柵編碼器，用于位置閉環反饋。

圖1 大口徑望遠鏡重載并聯平臺Fig.1 Heavy-duty parallel platform for large-aperture telescopes

2.5 m望遠鏡次鏡組件對并聯調整機構的負載要求是1 200 kg以上，平臺轉動±1°，平動±8 mm，精度優于±1 μm/±1″，橫向剛度大于60 N/μm。為了保證并聯機構的大承載能力，傳動組件要具有足夠大的推力，同時為減小重力變形，機構還要具有較高的剛度，尤其是剛度相對薄弱的環節（即柔性鉸鏈），也應具有較高的軸向剛度。此外，考慮機構高負載、長壽命的使用要求，柔性鉸鏈應具有較低的彎曲剛度。因此，首先對柔性鉸鏈進行設計與建模。

圖2為直梁圓角型柔性鉸鏈的幾何結構示意圖。其幾何參數包括端面長度b、最大厚度d、最薄處厚度t，寬度w，圓角半徑r，以及直梁圓角總長度l。沿x軸拉伸或壓縮柔度與繞z軸旋轉的彎曲柔度[10］分別為：

圖2 直梁圓角型柔性鉸鏈示意圖Fig.2 Schematic diagram of corner-filleted flexure hinge

根據柔度公式，可得出柔性鉸鏈的剛度公式為：

其中：Kt為拉伸或壓縮剛度，Kb為轉動剛度。

直梁圓角型柔性鉸鏈具有一個轉動自由度。為滿足并聯機構鉸鏈兩自由度的需求，將柔性鉸鏈設計成垂直交叉軸形式，如圖3所示。該柔性鉸鏈的最大轉動角度小于2.5°，通過對限位槽的設計，來保證機構在極限轉角位置不產生塑性變形或斷裂。通過有限元分析，小角度柔性鉸鏈的旋轉中心基本不變。因此，小角度轉動的兩自由度柔性鉸鏈可以等效為圖3（b）所示的傳統萬向鉸鏈，等效旋轉中心為o。

圖3 兩自由度柔性鉸鏈示意圖Fig.3 Schematic diagram of 2-DOF flexible hinge

為了確定柔性鉸鏈的轉動剛度，采用集總參數的分析方法，Kφx，Mx為柔性鉸鏈繞x軸的轉動剛度，Kφy，My為 繞y軸 的 轉 動 剛 度，則 等 效 轉 動 剛度為：

鉸鏈材料選用沉淀硬化性不銹鋼17-4PH，泊松比為v，其材料性能與結構參數如表1中所示。根據式（5），鉸鏈的轉動剛度為1.159×106N·mm·rad-1。

表1 柔性鉸鏈參數Tab.1 Parameters of flexible hinge

3 運動學建模

由于小角度轉動的柔性鉸鏈轉動中心不變，柔性鉸鏈的轉動可以等效為萬向鉸鏈的運動，因此并聯調整機構的等效運動學構型如圖4所示。建立定坐標系B-OXYZ與動坐標系P-OXYZ，其中動定坐標系分別固定在上下平臺中心處，動坐標系隨上平臺運動。動坐標相對于定坐標系的位姿關系為q=[xyzαβγ］T，上、下平臺各鉸鏈用Pi，Bi（i=1~6）表示，上、下平臺鉸點圓半徑為RP，RB，鉸點P1與P6，B1與B6的圓心角分別為θP和θB。支腿的閉環矢量方程表示為：

圖4 重載并聯平臺構型Fig.4 Configuration of heavy-duty parallel platforms

其中：Blni為桿在定坐標系中的單位矢量；li為桿長（i=1，…6）。坐標變換矩陣為：

其中ω為動平臺角速度矢量。

進而有：

根據上平臺的受力關系及虛功原理，當各支鏈剛度均為k時，并聯機構的剛度矩陣K可表示為：

由于本文研究的并聯機構采用無導向滾柱絲杠的結構形式，滾柱絲杠副中的轉動副和移動副并不是相互獨立的，螺母每旋轉一圈，絲杠就移動一個導程，即滾柱絲杠副的運動是耦合的，這種耦合會產生一種衍生運動，使動平臺產生位姿偏差。因此，該運動中每個支鏈存在兩個串聯的螺旋運動，一是伺服電機驅動絲杠的主動螺旋運動，另一個是由于支鏈沿軸向相對轉動而引起的被動螺旋運動。支鏈的實際伸長量可以表示為：

其中：Δli1為主動螺旋運動引起的伸長量；Δli2為被動螺旋運動引起的伸長量。衍生運動的具體求解可參考文獻[12］。

4 仿真及實驗

為了驗證柔性鉸鏈的轉動剛度和運動學建模的正確性，進行了針對性的仿真分析與實驗驗證。

4.1 柔性鉸鏈仿真分析

用UG軟件對柔性鉸鏈進行三維建模，使用Patran/Nastran軟件劃分網格，鉸鏈的一端施加固定約束，另一端施加1×105N·mm的彎矩，有限元分析結果如圖5（a）所示。其轉動角度為8.57×10-2rad，折算成轉動剛度為1.167×106N·mm·rad-1，理論值與有限元分析結果的相對誤差為0.69%。鉸鏈的一端施加固定約束，另一端施加1×104N的軸向力，有限元結果如圖5（b）所示，折算成軸向剛度約為321.5 N/μm。

圖5 柔性鉸鏈的有限元模型Fig.5 Finite element model of flexible hinge

4.2 剛柔耦合聯合仿真

本文設計的并聯調整機構是由剛性單元（傳動機構）和柔性單元（柔性鉸鏈）構成的，需要進行剛柔耦合運動學仿真來驗證運動學模型的準確性。并聯機構的構型參數如表2所示。

表2 運動學構型參數Tab.2 Kinematic configuration parameters

利用Patran/Nastran軟件對柔性鉸鏈進行模態分析，提取10階模態信息，創建接口并導出MNF模態中性文件。將并聯調整機構模型導入動力學仿真軟件ADAMS中，將裝配體中的柔性鉸鏈替換為MNF模態中性文件，建立各個關節的運動副關系，進而搭建剛柔耦合聯合仿真系統，如圖6所示。

圖6 剛柔耦合仿真模型Fig.6 Rigid-flexible coupling simulation model

在剛柔耦合模型中，對Z軸的負方向施加重力場，機構動平臺沿X，Y，Z軸的移動范圍為-8~8 mm，轉動范圍為-1°~1°。為了證明運動學理論模型的正確性，在工作空間內選取6個方向的單方向運動進行仿真驗證。單方向運動分別為[x0 0 0 0 0］， [0y0 0 0 0］， [0 0z0 0 0］， [0 0 0α0 0］， [0 0 0 0β0］和[0 0 0 0 0γ］。通過給定平臺的位姿來確定各個支腿的輸入長度。然后，使用支腿的輸入長度L進行剛柔耦合聯合仿真。最后，將仿真得到的上平臺位姿與q0比較。仿真結果如圖7~圖8所示。

從圖7可以看出，仿真結果與理論結果的偏差在微米量級，具有較好的一致性。由圖8可知，動平臺在±8 mm平移運動時，位置最大偏置為4.501 μm，±1°轉 角 運 動 的 最 大 姿 態 偏 差 為1.223″。仿真結果表明，在小行程范圍內運動時，運動偏差相對較小，但隨著運動范圍的增大，機構的運動偏差也不斷增大。仿真結果證明了柔性鉸鏈并聯機構在小角度范圍內運動的準確性和有效性。

圖7 剛柔耦合位姿Fig.7 Rigid-flexible coupling postures

圖8 位姿誤差Fig.8 Schematic diagram of posture errors

4.3 實驗驗證

4.3.1 柔性鉸鏈轉動剛度測試

為驗證柔性鉸鏈的性能，搭建了剛度測試系統，其原理如圖9所示。測試裝置包括高精度光柵尺、轉接工裝、柔性鉸鏈、轉接板以及質量塊。質量塊施加一個向下的力，利用光柵尺測量垂直位移Δz。其中，光柵尺的測量點與鉸鏈中心距離L1，質量塊施加力mg的點與鉸鏈中心距離L2。此時鉸鏈轉動角度θ近似為：

圖9 柔性鉸鏈實物和剛度檢測原理Fig.9 Photo of real flexible hinge and principle for stiff?ness measurement

式中L1=58 mm。

柔性鉸鏈的轉動剛度為：

式中L2=278 mm。

實驗系統如圖10所示。將質量塊進行搭配得到958，1 900，2 858，3 800，4 758，5 700，6 658，7 600，8 558 g。多次重復測量不同質量下柔性鉸鏈的垂直位移Δz，根據式（13）和式（14）得到彎矩與轉角實驗數據。數據擬合曲線的斜率就是柔性鉸鏈的轉動剛度。

圖10 剛度測試裝置Fig.10 Stiffness testing devices

柔性鉸鏈繞X軸與Y軸的旋轉角度α與β的數據以及擬合曲線如圖11所示。繞x軸的轉動剛度為：

圖11 力矩-角位移擬合曲線Fig.11 Fitting curves of moment and rotating angle

對比實驗結果與理論計算結果可以得出，繞X，Y軸的轉動剛度相對誤差分別為2.93%，3.54%，驗證了柔性鉸鏈理論推導及設計的合理性。

4.3.2 分辨率測試

為了驗證并聯調整機構運動學建模的準確性，搭建了重建平臺實驗測試系統。如圖12所示，負載為1 200 kg的光學組件，采用激光位移傳感器（分辨率為0.1 μm，測量范圍為2 mm）測量平臺的分辨率（小位移運動）和定位精度（大位移運動）。其中，分辨率為0.5 μm的最小機械步距。分辨率測試結果如圖13所示。

圖12 重載平臺測試系統Fig.12 Photo of heavy-duty platform test system

從圖13可以看出，并聯調整機構在X，Y，Z軸方向上0.5 μm步距的平動和0.5″步距的轉動能夠清晰辨識且具有很好的均勻性。移動分辨率和轉動分辨率通過數據統計得到。對比剛柔耦合仿真數據，平動和轉動分辨率的測試，可以證明機構在小位移（微米/角秒量級）運動中運動學建模方法的準確性。

圖13 分辨率測試結果Fig.13 Resolution test results

4.3.3 定位精度測試

為驗證剛柔耦合仿真模型在大位移范圍的準確性，對調整機構的定位精度進行測試，定位精度反應系統誤差和隨機誤差對機構的影響，機構動平臺沿X，Y，Z軸的移動范圍為-8~8 mm，轉動范圍為-1°~1°，測試結果如圖14所示。測試結果表明，隨著位移的增大，位置誤差不斷增大，行程內不超過±5 μm，角度范圍內，誤差不超過±1.2″，與仿真結果趨勢一致。

圖14 定位精度測試結果Fig.14 Test results of positioning accuracy

4.3.4 側向剛度測試

并聯平臺的剛度是機構抵抗重力變形和承載能力的重要指標。為降低2.5米地基望遠鏡在光學追蹤過程中重力變形對成像質量的影響，次鏡組件并聯調整機構的側向剛度應大于60 N/μm。因此，對并聯調整機構進行側向測試。沿動平臺的x和y向施加拉力，使用激光位移傳感器來實時獲取該方向的位移量。然后，對不同作用力下動平臺的位移量進行曲線擬合，所得到的曲線斜率就是機構的側向剛度。測試結果如圖15所示，并聯機構的X和Y向側向剛度分別為98.75 N/μm和98.27 N/μm，能夠滿足技術指標的要求。

圖15 剛度測試結果Fig.15 Stiffness test results

5 結 論

針對地基望遠鏡中重力載荷的變化對光學成像質量影響的問題，本文開展了基于柔性鉸鏈的并聯調整機構研究。根據技術要求設計了一種兩自由度柔性鉸鏈，推導出轉動剛度的計算公式并確定柔性鉸鏈的等效旋轉中心。接著，建立了并聯機構的等效運動學模型和剛度模型。然后，通過有限元仿真驗證了柔性鉸鏈的轉動剛度，并利用剛柔耦合聯合仿真系統驗證了等效運動學建模的準確性。仿真結果表明，柔性鉸鏈轉動剛度的理論值與有限元分析結果的相對誤差為0.69%，柔性鉸鏈并聯機構在小行程/小角度范圍內運動時，運動偏差在亞微米/角秒量級，而隨著運動范圍的增大，機構運動偏差也隨之增大；最后，搭建了分辨率、精度和剛度測試系統。實驗結果證明了機構在小行程（微米/角秒量級）和大行程（毫米/度）運動范圍內運動學建模方法的準確性，橫向剛度優于60 N/μm，能夠滿足預期使用要求。