光學干涉教學中噪聲因素的探究
——以散射光聚焦為例

洪佩龍，易明芳

（安慶師范大學 數理學院，安徽 安慶 246133）

光學在現代信息技術、先進制造和精密測量等領域發揮著重要作用，已成為推動科技進步和社會發展的關鍵驅動力[1-2]。隨著光學技術的不斷發展，世界主要創新型國家對光學技術人才的需求日益迫切，產業界亦面臨著光學技術人才短缺的困境[3]。近年來，我國施行“新工科”教育改革，對培養光學領域創新型人才提出了更高要求[4-6]。在這一背景下，光學人才的培養既要深化理論功底，又要緊扣工程創新能力[7-8]。然而，傳統光學課堂往往偏重基礎理論的傳授，而缺乏對理論知識與工程應用聯系的討論[9-10]。因此，在光學教學中，引入既具有理論深度又能與工程實際相結合的案例成為新的挑戰。

光場干涉是光學課程的核心概念[11]。光場干涉教學一般從最基礎的兩路徑疊加出發，講清楚楊氏雙縫干涉、邁克爾遜干涉儀、牛頓環等；然后深入到多路徑疊加，講解多縫光柵、法布里珀羅干涉儀、薄膜干涉等。無論是在兩路徑疊加還是在多路徑疊加中，光學路徑間的相對相位是決定和分析干涉增強或減弱的關鍵。這一關鍵點也體現在光子學前沿研究中，為了將散射光場匯聚到某一特定的觀測點，必須使得多條散射路徑間的相位差為2π的整數倍。目前，先進的波前整形技術正是基于該原理，先通過實驗測定散射路徑間的相位差，然后利用光場調控設備來補償該相位差，進而實現散射光的聚焦。

此外，光場干涉也是眾多先進光子學技術所涉及的基本原理，包括光譜探測、表面形貌精密測量、光學成像等。然而，在實際光學裝置中，噪聲會不可避免地影響實驗的測量結果，并在很大程度上決定著光學裝置的靈敏度乃至可行性[12]。盡管傳統課堂對光場干涉基本原理的講解較為詳實，但對干涉特性與噪聲內在聯系的討論尚有欠缺。為此，本文將光學前沿研究中的散射光聚焦引入到課程教學中，并基于仿真實驗系統地探討噪聲對聚焦效果的影響，以期闡明噪聲對光學干涉裝置的重要作用。該案例結合光學前沿來探究光學干涉中的噪聲因素，一方面引導學生將理論知識與實際應用相結合，從而培養學生的工程思維；另一方面促使學生將課本知識和前沿研究聯系起來，從而形成對光子學技術中非理想因素進行系統性思考的習慣，并最終促進高水平光學人才的培養。

1 散射光場聚焦的基本理論

無序介質是指結構具有一定無序度的材料，在自然界中廣泛存在，如生物組織、云層、墻面等。光在無序介質中傳播時，會經歷多重散射過程，最終在出射端呈現出散斑現象；實現散射光場聚焦是復雜光場調控領域的前沿熱點問題[13]。目前，波前整形技術是實現散射光場聚焦的核心技術，其基本原理為光學課程中重點講述的多路徑干涉增強。本文首先闡述了波前整形的工作原理，隨后討論了實際裝置中噪聲對散射光聚焦效果的影響。

光場的多重散射是一個線性光學過程，可以用散射矩陣來描述。假設將入射光場和透射端散射光的每一個空間模式按順序排列，分別構成列矢Ein和Eout。如果入射端可調的空間模式數目為N，則Ein為一個包含N個元素的列矢。同理，列矢Eout大小取決于出射端光場的空間模式數目。那么，可以引入一個二維透射矩陣T來描述無序介質對光場的散射，而且透射端和入射端散射光場存在如下數學關系[14]：

其中，針對無序散射介質，透射矩陣T的每一個矩陣元是隨機且滿足高斯分布的復數[14]。

從公式（1）可知，Eout的一個元素表示某一出射位置的散射光場，由Ein中的不同入射模式經過T所表示的不同散射路徑疊加形成。由于這些散射路徑之間的相位隨機分布，散射光場表現為明暗不同且無序的散斑，其光強滿足瑞利分布。為了實現散射光的聚焦，一般通過控制入射光的復振幅分布來實現：

其中，Etar代表在目標位置產生聚焦點的目標列矢量，T+是T的轉置共軛矩陣。這時，將Efoc代入公式（1）的入射列矢Ein，則不同散射路徑之間的相位保持一致，并產生多路徑干涉增強。

因為T通常不是完備的散射矩陣，所以散射光的聚焦并不完美。經過波前整形，散射光場除了會在目標位置產生一個干涉增強的聚焦點，其它位置依然會存在如圖1所示的剩余散斑。此外，在波前整形裝置中，光場調控設備如空間光調制器往往只控制入射光的波前相位，而不是復振幅，因而在入射光波前引入了額外的誤差，從而導致剩余散斑進一步增強。為了表征散射光的聚焦效果，一般采用聚焦位置光強的增強倍數來定量描述，即聚焦增強系數η：

圖1 基于波前整形實現的散射光聚焦

其中，Ifoc是經波前整形后目標位置聚焦點的光強大小，Ibg是目標位置散斑光強的系綜平均值。為了得到系綜平均后的透射光場，可在入射光加載若干個隨機波前，對獲得的透射光強求平均。根據平均透射場分布，可得到目標位置的系綜平均值Ibg。如果在波前整形中只控制入射光的波前相位，那么多次實驗得到的聚焦增強系數平均值和可控自由度N之間的理論關系為[15]

一般而言，入射光波前可控自由度N的大小取決于實驗中空間光調制器的有效像素數目，即用多少像素來獨立地調控所在位置的波前相位。在反饋式波前整形實驗中，為了實現散射光的聚焦，可采用一個相機探測透射端目標位置的光強，并監測其隨調控模式的可控相位KA的變化[15]：

其中，IA和ΦA分別表示來自入射光調控位置的散射光強度和相位，而IB和ΦB則分別表示來自其它非調控位置的散射光強度和相位。通過監控Itar隨KA的變化，可以提取出最佳相位Km，其中最佳相位滿足Km+ΦA-ΦB=0。隨后，將該過程遍歷每一個入射模式，即可獲得一個結構化的相位圖，并將其通過空間光調制器加載到入射光波前，則可實現散射光場聚焦。

本文根據反饋式波前整形理論，采用Matlab對散射光的聚焦過程進行了仿真。在反饋式波前整形過程中，背景光場IB和ΦB隨調控位置的改變有細微的變化。為消除該變化所引入的誤差，我們針對入射波前的N個單元進行了兩輪相位測量，并得到一個優化的結果。由于每次獨立的波前整形都改變了透射矩陣T，其對應著實驗中對樣品不同位置的散射光進行聚焦，因而每次得到的聚焦增強系數η各不相同。在仿真實驗中，對不同N分別進行10 次獨立的波前整形，從而得到聚焦增強系數的平均值ηˉ和標準差，結果如圖2 所示。對這些數據點進行線性擬合，得到其斜率為0.81，與公式（4）的理論值π/4接近。

圖2 無噪聲下聚焦增強系數ηˉ與波前整形自由度N的關系

2 噪聲對散射光聚焦效果的影響

前文的理論和仿真實驗并沒有考慮實際裝置中的噪聲，故與實際的實驗結果差異明顯。具體而言，在典型的波前整形裝置中需要考慮空間光調制器的相位噪聲、光場的探測噪聲及樣品去相干引入的噪聲?；诖?，我們分別對各種噪聲的影響進行了討論，以期明晰各種噪聲對散射光聚焦的影響特點。

2.1 空間光調制器的相位噪聲

空間光調制器具有大量的像素點，可單獨控制入射光的波前相位。然而，空間光調制器的相位控制具有一定的誤差。通常假設不同像素點的相位誤差滿足高斯分布：

其中，φ0表示預期的精確相位，φ表示空間光調制器實際加載的相位，σs表示相位誤差的大小。

為了明晰該相位噪聲對聚焦效果的影響，我們在仿真程序中引入了不同強度的相位誤差，并保持其它條件一致，得到了如圖3（a）所示的ηˉ隨調控模式數N的變化情況。

圖3 存在相位噪聲時聚焦增強系數與波前整形自由度（a）和噪聲強度（b）的關系

由圖可知，隨著相位噪聲的增加，ηˉ與N之間依然保持線性關系，但是斜率變小。這意味著實際裝置中的散射光聚焦依然可通過增加入射端的調控自由度來增強，但是聚焦效果較理論情況有一定減弱。隨后，選定入射端調控自由度N為100，通過改變空間光調制器的噪聲強度σs來研究增強系數ηˉ隨σs的變化規律。如圖3（b）所示，隨著σs的增大呈現高斯線型衰減，即=+1。當σs趨于無窮時，聚焦增強系數趨近于1，表示無法實現散射光的聚焦。

2.2 光場的探測噪聲

在反饋式波前整形中，探測器測量到的光強是推導優化相位的依據。然而，探測器測量的光強既依賴于入射模的相位變化，也存在著一些隨機變化的噪聲，噪聲主要來源包括激光功率噪聲和散粒噪聲。激光功率噪聲由激光器功率不穩定所引起，可模型化為一個高斯分布的隨機噪聲：

其中，Ic是激光的平均光強，I是激光的瞬時光強，σc是激光噪聲的大小。

散粒噪聲是激光的量子噪聲，該噪聲始終存在，其變化滿足泊松分布[16]：

本文在探測信號中引入了功率噪聲及散粒噪聲。通過改變入射端調控的模式數N，可獲得不同功率噪聲下的聚焦增強系數如圖4（a）所示，當僅存在散粒噪聲而不存在功率噪聲時(σc=0)隨N的變化不再是線性增加的，而是出現飽和的趨勢，其滿足=η0(1-e-k(N-1))+1。這一變化規律在激光功率噪聲的引入和增加時表現得更加明顯。為了進一步確定激光功率噪聲對聚焦增強系數的影響，本文研究了在N=100時隨功率噪聲強度σc的變化情況。如圖4（b）所示，隨著σc的增加指數下降，其滿足=η0e-kσc+η1。由此可見，低功率噪聲激光器在波前整形裝置中極為重要。

圖4 存在探測噪聲時聚焦增強系數與波前整形自由度（a）和聚焦增強系數（b）的關系

2.3 樣品去相干引入的噪聲

在實際裝置中，散射樣品的結構隨時間發生了改變，因而光場在樣品中的散射路徑也隨之改變，稱之為樣品的去相干效應。這種去相干效應使得透射矩陣T在波前整形過程中發生了變化，導致散射光聚焦時的最佳波前發生變化。因此，在波前整形裝置中，散射光聚焦效果必然受到樣品去相干引入的噪聲影響。為了定量研究去相干噪聲對散射光聚焦的影響，可以假設在波前整形過程的每一次光強探測后，透射矩陣的所有矩陣元都單獨受到了隨機復數的干擾，并假設該干擾復數滿足高斯分布[15]：

其中，ti是第i次波前整形的任意矩陣元值，δti+1是去相干引入的干擾項，σd是δti+1和ti標準方差比值。

如圖5（a）所示，仿真實驗控制了隨機干擾項的強度，并通過改變入射端調控的模式數N，獲得了不同條件下的聚焦增強系數隨N的變化特點。當存在去相干時，隨N的變化不再是線性增加，而是隨N的增加出現飽和趨勢，其滿足=η0(1-e-k(N-1))+1。隨著去相干效應的增強，聚焦增強系數明顯減小。為了進一步確定去相干噪聲的影響，我們探究了N=100時隨去相干強度的變化規律，發現隨著增加指數下降，其滿足=η0e-kσd2+1。由此可見，動態無序介質的散射光聚焦更為困難。

圖5 不同去相干條件下聚焦增強系數與波前整形自由度（a）和聚焦增強系數（b）的關系

3 各種噪聲對散射光聚焦效果的綜合影響

在實際光學裝置中，散射光聚焦受到各種噪聲的綜合影響。具體而言，散粒噪聲始終存在，激光功率噪聲和相位噪聲跟實驗設備性能相關，而去相干引入的噪聲和散射樣品的特性有關。根據實際裝置能夠達到的實驗參數，我們假設激光的功率噪聲為1%，空間光調制器的相位噪聲為1%，且激光的散粒噪聲始終存在。針對一個靜態無序介質和一個存在明顯去相干的動態無序介質，分別研究散射光場聚焦特性隨調控自由度N的變化。如圖6所示，聚焦增強系數ηˉ隨N的增加單 調遞增，直至趨 于飽和，其滿足=η0(1-e-k(N-1))+1。此外，樣品去相干效應會減弱的值，并導致的提前飽和。當反饋式波前整形受到較大噪聲影響時，雖然能夠實現散射光場的聚焦，但是聚焦增強系數ηˉ大大降低?？紤]ηˉ隨調控自由度N的變化特征，噪聲使得理論上的線性依賴轉變為非線性飽和趨勢，導致過度提高N并不能實現更強的聚焦。

圖6 各種噪聲綜合影響下聚焦增強系數與波前整形自由度的關系

明確各種噪聲對散射光聚焦的影響，將促進學生更好理解散射光場聚焦在保密認證[17]、光計算[18]和光學成像[19]等方面的應用。以保密認證為例[17]，較高的聚焦增強系數意味著可減弱照明光場，并提高裝置中單光子的概率，進而增強認證過程的安全性。顯然，噪聲的強弱在很大程度上影響著保密認證裝置的安全性。為提高量子認證裝置的安全性，有必要使用低噪聲的激光、空間光調制器和探測器等關鍵設備。此外，用于認證的無序介質的時間穩定性也極為重要，去相干效應明顯的無序介質只在有限的時間內完成安全認證。為提升教學效果，可進一步將噪聲因素的考量延伸至邁克爾遜干涉儀和法布里珀羅干涉儀等其它典型干涉裝置及應用中[11]，引導學生對噪聲的影響進行討論和分析。

4 結束語

本文以散射光聚焦為例，探討了聚焦增強系數ηˉ和空間光調制器的相位噪聲、探測噪聲及去相干噪聲的依賴關系。在光學課程教學中引入本案例，可以直觀而生動地闡明噪聲對多光束干涉效應的重要影響。通過結合保密認證等前沿光子學應用，可以加強對學生理論聯系實際等工程創新能力的培養。此外，以本案例為契機，可將噪聲因素的考量延伸至邁克爾遜干涉儀等其它典型干涉裝置，以課堂提問和討論等形式，引導學生思考噪聲在相關應用中的重要作用，有助于啟發學生從實際應用出發去理解光學理論，從而促進學生工程創新思維的培養。