對一道相互獨立事件問題的解法的探究

金紅立

相互獨立事件是概率板塊中的重要內容.若事件 A（或B）是否發生對事件B（A）發生的概率沒有影響， 則這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.設A、B是兩個 事件，如果滿足等式 P（A ∩ B）= P（AB）= P（A）P（B） ，則稱 事件A、B相互獨立.相互獨立事件問題的常見命題形 式有：（1）判斷兩個事件是否相互獨立；（2）求相互獨 立事件的概率.下面通過剖析一道例題，探討一下判斷 兩個事件是否相互獨立的方法.

例題：已知袋中有除顏色外都相同的 3 個白球和 2 個黑球，依次不放回地摸出2個球，設事件A為“第1 次摸到白球”，事件B為“第 2 次摸到白球”.試判斷事 件A、B是否為相互獨立事件．

仔細分析題意可知，取出一個白球或一個黑球， 相互不影響，所以事件 A 是否發生對事件 B 的發生沒 有影響.由相互獨立事件的定義可知，需先求得事件 A 、B 的概率，然后判斷P（AB）與P（A）P（B）的關系，才能 判斷出事件 A、B 是否相互獨立.解答本題主要有以下 幾種方法.

一、枚舉法

枚舉法是將所有的情況一一列舉出來的方法.采 取枚舉法，可以快速明確事件發生與否的所有情況， 從而快速確定樣本空間中的每個樣本點和問題中所 求事件的樣本點，再根據概率公式即可求得事件的概 率.

解：

在采用枚舉法解題時，不能重復、不能遺漏任何 情況，以確保答案的正確性.

二、列表法

該方法較為簡單.運用列表法判斷兩個事件是否 相互獨立，需通過列表，找出樣本空間中的每個樣本 點和問題中所求事件的樣本點，統計出相應的數據， 即可求得事件的概率.

解：

對于數據不多，或可能出現的情況較少的問題， 都可以采用列表法求解.但需注意合理設計表格，并做 好數據統計.

三、坐標法

對于含有雙變量的概率問題，通?？刹捎米鴺朔?求解.該方法與列表法較為相似，不同的是，需將變量 的取值作為坐標軸上的點.先畫出坐標系，確定坐標系 上所有可能取的點，然后進行統計，即可根據概率公 式求出概率.

解：

由于事先無法確定兩次摸到的球的編號，因此把 它看作兩個變量，并且所有的變量都為正整數.然后畫 出坐標系，在坐標系中統計出兩次摸到編號為1、2、3 的球的次數，即可求出取得白球的概率.

四、畫樹狀圖

運用樹狀圖法解題，需用樹狀圖列出樣本空間中 的每個樣本點和問題中所求事件的樣本點.在畫樹狀 圖時，要按照一定的順序羅列出各種情形，確保不重 復、不遺漏任何情形，再求出事件的概率，進而利用相 互獨立事件的定義判斷事件的獨立性.

解：將袋中的 3 個白球分別編號為 1，2，3 ，2 個黑 球分別編號為 4，5 .

通過畫樹狀圖來求事件A、B、AB的概率，比較便 捷，且不容易出錯.

五、利用計數原理

在求事件的概率時，通常要用到兩個計數原理： 加法計數原理和乘法計數原理.在解題時，要先考慮清 楚完成一件事件是否要分步、分類，若要分步進行，則 需采用乘法計數原理求解；若需要分類進行，則需采 用加法計數原理求解.

解：

在解題時，要先明確事件發生的各個環節中是否 有順序、類別要求；再選用與之相應的計數原理解題.

總之，判斷兩個事件是否相互獨立，關鍵在于判斷 兩個事件是否相互影響，根據概率公式，明確 P（AB） 與 P（A）?P（B） 之間的關系.同學們在求兩個事件的概率時 可以根據解題需求，選取合適的方法進行求解.

（作者單位：江蘇省徐州市銅山區夾河中學）