增強四種意識，高效解答數學問題

劉春波

解數學題需要講究技巧，否則，即便獲解，解題過 程也會很繁瑣.這就要求我們在解題時，要增強目標意 識、求簡意識、轉化意識、反思意識，以便快速、順利地 求得問題的答案.

一、目標意識

解數學題沒有固定的方法，但必須要有目標意 識，因為明確了解題的目標，才知道要求什么，要列什 么樣的式子，要運用什么公式、定理、性質，才能快速確 定解題的思路和方向.沒有解題目標就會失去解題方 向，導致盲目解題，這樣往往很難順利獲解.

例1

解：

要判斷是否存在滿足題意的定點 B ，不妨先假設 B點存在，并設出B點的坐標；然后根據題設條件建立 關系式，只要滿足條件“ | MB| | MA| 為常數”，那么B點就存 在，若不滿足該條件，那么B點就不存在.這樣明確了 解題的目標，便可快速確定解題的思路.

二、求簡意識

眾所周知，很多數學問題的解法不唯一，若選擇 方法不當，則往往會使解題的過程變得繁瑣，且計算 量變大.我們要有求簡意識，通過讀題提煉有用的信 息，將文字用數學符號、圖形表示出來；運用通分、開 方、分解因式、換元等技巧將代數式簡化；從多方面進 行思考，選擇最為簡潔的一種方法進行求解.這樣以簡 捷的方式將問題中的信息、數學式子、解題的思路呈現 出來，不僅能簡化解題的過程，還能節省解題的時間.

例2

解：

本題若采用代數法求解，需通過恒等變換，將函 數式化為關于 x 或 y 的一元函數式，再利用二次函數和冪函數的性質進行討論，其過程較為復雜.本題為一 道填空題，最忌“小題大做”.可從代數式的幾何意義入 手 ，把 4x - 3y + 12 = 0 看 作 直 線 的 方 程 ，把 F = （x - 1） 2 +（y + 2） 2 看作直線 l ： 4x - 3y + 12 = 0 上的任意 一點 P（x，y） 與定點 Q（1，-2） 之間的距離，將問題轉化為 求點到直線的距離的最小值，通過數形結合，快速求 得函數式的最小值.

三、轉化意識

如果根據題設條件，不便于或不能直接分析、求 解，那么就需要將題設條件進行適當的轉化，運用數 形結合法、換元法、特殊化方法、構造法等方法進行求 解；或將問題轉化為其他形式的問題，如將不等式恒 成立問題轉化為函數最值問題，將求三角函數值問題 轉化為單位圓中點之間的距離問題.這樣就能達到化 繁為簡、化難為易的目的.

例3

解：

根據三角形三邊之間的關系：兩邊之和大于第三 邊 可 知 ，要 使“ 對 任 意 實 數 x1，x2，x3 ， 均 存 在 以 f （x1），f （x2），f （x3） 為三條邊長的三角形”，需使 f （x）max < 2f （x）min ，這樣便通過等價轉化，將問題轉化為熟悉的 函數最值問題，根據基本不等式求其最值即可解題.對 于不等式恒成立問題，通?？傻葍r轉化為函數最值問 題，如 f （x）> a 恒成立 ? f （x）min > a ；f （x）< a 恒成立 ? f （x）max < a．將問題進行巧妙的轉化，不僅可以給解 題開辟新途徑，還有利于迅速找到解題的思路，從而提升解題的效率.

四、反思意識

俗話說：“人非圣賢，孰能無過”.在解題的過程中， 一不小心，往往會出現這樣或那樣的錯誤，因此解完 一道題后，對其進行反思是很重要的.那么，如何反思 呢？一般來講，我們應該認真審查自己的解題過程是 否正確；運算過程是否正確；是否忽視了特殊情形；是 否忽視了題設中的隱含條件；邏輯是否嚴密；是否還 有其他的解法；等等.增強反思意識，有利于我們及時 修正存在的錯誤，找出遺漏的問題，從而提高解題的 準確性.

例4

錯解：

反思：該錯解出錯的根源在于對等差數列前 n 項 和公式的結構特征把握不準確，誤以為等差數列前 n 項和公式為 Sn = an + b（ab ≠ 0） ，實際上，該公式為 Sn = na1 + n（n - 1） 2 d = d 2 n2 +（a1 - d 2 ）n ，其形式為 Sn = an2 +bn.

正解：

等差數列的前 n 項和公式是關于 n 的二次函數 式，且常數項為零，這是等差數列的前 n 項和式的結 構特征.在解題時不能受命題者的影響，將兩個數列的 和式看作 Sn = 7n + 2，Tn = n + 3 .一般地，若等差數列 {an}、{bn} 前 n 項和分別是 Sn、Tn ，則 an bn = S2n - 1 T2n - 1 .

總之，為了提升解題的效率，就需要切實增強目 標意識、求簡意識、轉化意識、反思意識，只有這樣，我 們才能確保以最快的速度找到最便捷、最佳的解題方 案，從而有效地提升解題的效率.

（作者單位：山東省博興第二中學）