選擇適切的學習材料，促進學生數學思維發展

□沈海美

數學為人們提供了一種理解與解釋現實世界的思考方式?！皶脭祵W的思維思考現實世界”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出的數學課程要培養的學生核心素養之一。通過數學思維，可以揭示客觀事物的本質屬性，建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系。學生的思維發展在數學教育中的重要性不言而喻。

教育理念要落實到課堂教學中才能真正發揮作用。學習材料是學生解決數學問題、獲得數學知識、提高數學能力的基本載體，是學生感受數學與生活的密切聯系，體驗數學價值，提高數學思維的重要資源。選擇適切的學習材料是通過教學發展學生思維的重要基礎。具體而言，教師應設計有層次、有結構、開放性強的學習材料，以幫助學生搭建思維發展的階梯，拓展思維發展的深度，滿足不同學生思維發展的個性需求。

一、設計有層次的學習材料，搭建思維發展的階梯

學生對知識的掌握與理解不是一蹴而就的，而是有層次、有梯度地逐步提升的。幫助學生搭建思維發展的階梯，需要設計有層次的學習材料。

有層次的學習材料不僅體現在難度的梯度變化上，還體現在學生對數學知識、數學方法本質的進階理解上?；诖嗽O計目標，筆者嘗試以“將大長方形卡紙剪切成相等的若干小塊”為基礎材料，一材多用，讓學生在“初步感知—探究明晰—掌握提升”的過程中，更加深入地理解數學知識，使思維走向深刻。

（一）設計基礎材料，銜接思維起始點

基于學生的學習起點，設計基礎性、針對性強的材料，找到學生思維發展的銜接點，搭建思維發展的階梯，可有效地幫助他們認識數學本質。

【材料1】小南有一張長8 厘米、寬6 厘米的長方形卡紙，要剪成邊長為2 厘米的正方形卡片，一共可以剪多少張？

學生獨立嘗試，簡單地寫出（畫出）思考過程。

預設方法1：8×6=48（平方厘米），48÷2=24（張）。

預設方法2：8×6=48（平方厘米），2×2=4（平方厘米），48÷4=12（張）。

預設方法3：8÷2=4（張），6÷2=3（張），4×3=12（張）。學生畫圖表示，說明得到結果。

教師引導學生思考“上述方法分別體現了怎樣的思路”，學生馬上意識到方法1錯誤的原因。

以上案例中的問題本身難度不大，但解題過程能幫助學生通過不同方法的對比，更加深入地理解知識。通過分享辨析，學生從考慮不周、應變不足到具體問題具體分析，其思維逐步走向多元、走向清晰。

（二）變換關鍵信息，萌發思維生長點

在學生初步掌握知識后，變換問題情境中的關鍵信息，讓學生的認知產生沖突，感受挑戰，是促進學生思維提升的有效手段。

【材料2】小北有一張長10厘米、寬9厘米的長方形卡紙，要剪成邊長為3 厘米的正方形卡片，不允許拼接，可以剪多少張？

學生獨立嘗試，簡單地寫出（畫出）思考過程。

預設方法1：10×9=90（平方厘米），3×3=9（平方厘米），90÷9=10（張）。

預設方法2：10÷3≈3（張），9÷3=3（張），3×3=9（張）。學生畫圖表示，說明得到結果。

利用問題串引導學生思考：究竟可以剪幾張？哪種方法是對的？為什么？“小北剪卡片問題”與“小南剪卡片問題”看起來差不多，但“小南剪卡片問題”用兩種解法都能得到正確的答案，而“小北剪卡片問題”卻不行？什么情況下可以用“大圖形面積÷小圖形面積”這種方法？

在前一問題的基礎上，通過對比辨析，學生體會到當直接用“大圖形面積÷小圖形面積”不能解決問題時，就需要深入思考大、小圖形長、寬之間的關系。在這一過程中，他們對解決問題的兩種思路的理解逐步加深。

（三）提升普適效能，突破思維關鍵點

對學生來說，掌握更多的解題方法本身不是目的，他們的思維也不應僅停留于“解題方法的多元化”，而是要逐步學會因題而異，靈活地將不同方法應用于真實的問題解決過程中。因此，學習材料也需要從特殊走向一般，從典型走向普適，使學生的思維在“問題鏈”中“淺入深出”。

【材料3】小東有一張長10厘米、寬9厘米的長方形卡紙，要剪成長3厘米、寬2厘米的長方形小卡片，不允許拼接，最多可以剪多少張？

預設1：橫向截取。沿著大長方形卡紙的長邊剪3厘米，一行可剪10÷3=3（張）……1（厘米），余1代表長邊最后余下1 厘米成為下腳料。沿著寬邊，一列可剪9÷2=4（張）……1（厘米），余1代表寬邊最后余下1厘米成為下腳料。最后共可剪：3×4=12（張）。

預設2：縱向截取。沿著大長方形卡紙的長邊剪2 厘米，一行可剪10÷2=5（張）。沿著寬邊，一列可剪9÷3=3（張）。最后共可剪5×3=15（張）。

“小東剪卡片問題”看起來難度更大了。解決這道題既要滿足截取整塊小卡片的條件，又要滿足“最多”的要求。但實際上，解決問題的思路依舊延續前面兩個問題。有了前面“小南、小北剪卡片問題”的基礎，學生通過自主探索是可以很快得到答案的。在解決問題的過程中，學生不僅再次應用了所學方法，而且學會了結合題目靈活應用，即截取方式要合理，截取張數“最多”而又沒有多余的下腳料。在類比討論中，學生的思維逐步向全面發展。

二、組建有結構的學習材料，拓展思維發展的深度

有結構的學習材料可以更好地體現數學知識之間的關聯性。它能夠幫助學生將松散的知識點勾連成有聯系的知識塊，助力學生在實際中的遷移應用，從而幫助學生建立思維發展的結構。

（一）求同與求通，突破本質，在類比中理解

學生的遷移學習是有條件的。數學知識間共同要素的發現，能夠幫助學生把握表面異質知識間的內在聯系，促進對知識的理解與掌握。例如，引導學生理解分數意義時，可呈現以下這組有結構的學習材料。

圖1

圖2

圖3

對分數乘法計算方法的探索與理解是學生學習中的難點。引導學生借助直觀模型，參與折紙、涂色等操作活動，用數形結合思想打通知識間的聯系，可以促進學生在類比中深層理解知識，從“舉三反一”走向“舉一反三”。

（二）回溯與展望，連點成線，在序列中建構

數學是一門邏輯性很強的學科。教學時，教師可以帶領學生回溯既往學習的內容，將零散的、碎片的知識聯結起來，連點成線，然后再引導學生將新知納入原有的知識體系中，并進一步展望知識的后續生長。

【材料6】千米是繼米、分米、厘米、毫米之后學習的第五個長度單位。自主整理過往的四個長度單位，在此基礎上，圍繞“如果人們再創造出第五個長度單位，這個長度單位該處在什么位置？跟學過的長度單位之間又是什么關系？”這一核心問題展開探究。

通過獨立思考、小組合作，學生呈現多種“創造”結果：有比單位“米”大的十米、百米、千米等，有比單位“米”小的絲米、忽米、微米等。

最后根據相鄰長度單位間的進率，將學生“創造”的長度單位進行結構化排列（如圖4），讓學生清晰地知道“千米”所在的位置，明白“1千米=1000米”的意義。

圖4

在小組合作探究中，學生“創造”了多種長度單位，并根據相鄰長度單位間的進率，將這些長度單位進行了結構化排列，從而理解了“1 千米=1000米”的意義。這是一個同化新知、建構序列的過程，學生從中感受到長度單位序列蘊含的整體性。

（三）勾連與突破，跨越認知，在整合中重構

數學知識的建構其實是一種整體性建構活動。學生在建構知識時，通過喚醒已有的學習內容，把握學習內容之間的關系，完成一次全新的、不同于以往的新建構。

【材料7】在進行“圖形的面積”知識整理時，引導學生根據學過的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計算公式的內在聯系，利用學具袋中的多邊形擺出圖形面積之間的結構圖。學生操作，教師巡視，收集不同方法，集中展示（如圖5）。

圖5

在概括總結的基礎上，教師繼續呈現圖形的動態演變過程。先呈現一個上底4厘米、下底6厘米、高4厘米的梯形，然后演示在梯形的高保持不變的情況下，上底逐漸變短，下底逐步變長（上下底之和保持不變），逐漸變為上下底均為5 厘米的平行四邊形（或長方形），再變為上底為0 厘米，下底為10厘米的三角形的過程。

整體把握的一個重要方法是在必要時將原有的知識結構打破，重新組合，構成一個不同于以前的新結構，即整合重構。這組學習材料能幫助學生尋找圖形間的聯系，建構更加清晰完善的知識網絡。

三、采用開放性的學習材料，滿足個性發展的需求

開放性學習材料可以從“問題開放、策略開放”等維度進行設計，拓展材料的寬度，讓學生從不同角度、不同方向思考問題，使學生的思維由封閉狀態轉化為開放狀態。

（一）問題開放，感悟數學思想

設計教學材料時，可以將教材上靜態呈現、抽象概括、結論固定的數學知識，還原成可以動手操作的，內容更加具體豐富的，路徑更加開放的，成系列、有聯系的挑戰性問題，引領學習進程。設計教學材料時還要關注學生數學思想方法的形成，助力學生感悟數學知識的意義和價值。

【材料8】教學《不規則物體的體積》時，教師為學生準備學具：鵝卵石（大小不一）、鐵釘（一定數量）、橡皮泥和乒乓球（若干）；量杯、水槽、長尺等實驗器材（如圖6）。

圖6

請學生小組合作，以問題串的形式，選擇感興趣的學習材料開展探究。

（1）橡皮泥、鵝卵石、鐵釘、乒乓球的體積不能直接計算，該如何測量？請自己設計實驗。

（2）測量過程中有什么收獲？有什么困惑？

（3）今天的學習對你測量生活中不規則物體的體積有什么啟發？讓學生充分經歷不規則物體體積測量的發生和發展過程。

不同的不規則物體體積的具體測量策略不同，但是都蘊含了“轉化”的思想；學生在對問題的探究中不斷感悟“轉化”思想，在思想的統領下，對不規則物體的體積測量進行意義建構。在此過程中，學生用手操作和記錄實驗過程，用眼觀察實驗現象，用口討論實驗結論，用耳傾聽其他小組的結論，用頭腦對結論進行反思，調動了多種感官參與，獲得了殊途同歸的“轉化”思想。

（二）策略開放，促進多元思維

如何運用解決問題的策略是衡量學生數學學習成效的一個很重要的方面，也是培養學生創新思維和創新能力的重要途徑。多種解題策略、多種結果能促使學生運用各種數學知識與數學方法解決實際問題，從而促進學生思維的多元發展。

【材料9】呈現問題：有一個用9 個小三角形搭成的三層大三角形，請你移動幾個小三角形的位置，將大三角形“反轉”過來，你有什么辦法？怎樣移動可以使移動的小三角形數量更少？

學生自主嘗試，合作交流后發現：比較反轉前后三角形的位置，移動前后，兩個大三角形中重疊的小三角形越多，需要移動的小三角形就越少（如圖7）。

圖7

上述教學過程，既是學生展示解決問題方法多樣性的過程，也是學生不斷進行反思、感悟知識本質屬性的過程。

數學是思維的體操，發展學生思維能力是數學教學中永恒的主題。培養學生的數學思維素養離不開學習材料的依托與支撐。設計有層次、有結構、開放性的學習材料，在一定程度上能夠促進學生思維品質的提升，讓課堂教學充滿思維含量。